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2019-2020年高中数学第一章导数及其应用章末检测新人教版选修2-2
一、选择题本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.函数fx在x=1处的导数为1,则的值为 A.3B.-C.D.-2.对任意的x,有f′x=4x3,f1=-1,则此函数解析式可以为 A.fx=x4B.fx=x4+1C.fx=x4-2D.fx=-x43.设函数fx=gx+x2,曲线y=gx在点1,g1处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=fx在点1,f1处切线的斜率为 A.4B.-C.2D.-4.曲线y=e-2x+1在点02处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形面积为 A.B.C.D.15.下列函数中,在区间-11上是减函数的是 A.y=2-3x2B.y=lnxC.y=D.y=sinx6.如图,抛物线的方程是y=x2-1,则阴影部分的面积是 A.x2-1dxB.|x2-1dx|C.|x2-1|dxD.x2-1dx-x2-1dx7.已知函数fx=x3-px2-qx的图象与x轴相切于点10,则fx的极值情况为 A.极大值,极小值0B.极大值0,极小值C.极大值0,极小值-D.极大值-,极小值08.已知曲线方程fx=sin2x+2axa∈R,若对任意实数m,直线l x+y+m=0都不是曲线y=fx的切线,则a的取值范围是 A.-∞,-1∪-10B.-∞,-1∪0,+∞C.-10∪0,+∞D.a∈R且a≠0,a≠-19.设fx、gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数,gx恒不为0,当x<0时,f′xgx-fxg′x>0,且f3=0,则不等式fxgx<0的解集是 A.-30∪3,+∞B.-30∪03C.-∞,-3∪3,+∞D.-∞,-3∪
0310.函数fx=axm1-xn在区间
[01]上的图象如图所示,则m,n的值可能是 A.m=1,n=1B.m=1,n=2C.m=2,n=1D.m=3,n=1∴fx在上单调递增,不符合题意.
二、填空题本大题共5小题,把答案填在题中横线上11.设函数fx是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=fx在x=5处的切线的斜率为________.
12.dx=________.13.已知二次函数fx=ax2+bx+c的导数为f′x,f′0>0,对于任意实数x都有fx≥0,则的最小值为________.
14.如图所示,A1,A2,…,Am-1m≥2将区间
[01]m等分,直线x=0,x=1,y=0和曲线y=ex所围成的区域为Ω1,图中m个矩形构成的阴影区域为Ω
2.在Ω1中任取一点,则该点取自Ω2的概率等于________.15.若以曲线y=fx任意一点Mx,y为切点作切线l,曲线上总存在异于M的点Nx1,y1,以点N为切点作切线l1,且l∥l1,则称曲线y=fx具有“可平行性”.下列曲线具有可平行性的编号为________.写出所有满足条件的函数的编号
①y=x3-x
②y=x+
③y=sinx
④y=x-22+lnx
三、解答题本题共5小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.求由曲线xy=1及直线x=y,y=3所围成平面图形的面积.17.已知fx=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,求常数a,b的值.18.设曲线fx=x2+1和gx=x3+x在其交点处两切线的夹角为θ,求cosθ.19.设函数fx=a2lnx-x2+axa0.1求fx的单调区间;2求所有的实数a,使e-1≤fx≤e2对x∈[1,e]恒成立.20.设函数fx=aex++ba>0.1求fx在[0,+∞内的最小值;2设曲线y=fx在点2,f2处的切线方程为y=x,求a,b的值.参考答案
1、解析选D.由题意知f′1==1,∴==[-f′1-f′1]=-.
2、解析选C.由f′x=4x3,可设fx=x4+cc为常数,由f1=-1得-1=1+c,∴c=-
2.
3、解析选A.由已知g′1=2,而f′x=g′x+2x,所以f′1=g′1+2×1=4,故选A.
4、解析选A.y′=-2e-2x,y′|x=0=-2,点02处的切线方程为y-2=-2x.令y=0得x=
1.由得∴S=××1=.
5、解析选C.对于函数y=,其导数y′=<0,且函数在区间-11上有意义,所以函数y=在区间-11上是减函数,其余选项都不符合要求.
6、解析选C.由图形可知阴影部分的面积为1-x2dx+x2-1dx.而|x2-1|dx=1-x2dx+x2-1dx.故选C.
7、解析选A.f′x=3x2-2px-q.根据题意,得则∴∴fx=x3-2x2+x,f′x=3x2-4x+1,令f′x=0,得x=或x=
1.通过分析得,当x=时,y取极大值;当x=1时,y取极小值
0.
8、解析选B.若存在实数m,使直线l是曲线y=fx的切线,∵f′x=2sinxcosx+2a=sin2x+2a,∴方程sin2x+2a=-1有解,∴-1≤a≤0,故所求a的取值范围是-∞,-1∪0,+∞,选B.
9、解析选D.令Fx=,则Fx为奇函数,F′x=.∵当x<0时,F′x>
0.∴Fx在区间-∞,0上为增函数.又F3==0,∴F-3=
0.∴当x<-3时,Fx<0;当-3<x<0时,Fx>
0.又Fx为奇函数,∴当0<x<3时,Fx<0;当x>3时,Fx>
0.而不等式fxgx<0和<0为同解不等式gx恒不为0,∴不等式fxgx<0的解集为-∞,-3∪03.
10、解析选B.观察图象易知,a0,fx在
[01]上先增后减,但在上有增有减且不对称.对于选项A,m=1,n=1时,fx=ax1-x是二次函数,图象应关于直线x=对称,不符合题意.对于选项B,m=1,n=2时,fx=ax1-x2=ax3-2x2+x,f′x=a3x2-4x+1=ax-13x-1,令f′x≥0,得x≥1或x≤,∴fx在上单调递增,符合题意,选B.对于选项C,m=2,n=1时,fx=ax21-x=ax2-x3,f′x=a2x-3x2=ax2-3x,令f′x≥0,得0≤x≤,∴fx在上单调递增,不符合题意.对于选项D,m=3,n=1时,fx=ax31-x=ax3-x4,f′x=a3x2-4x3=ax23-4x,令f′x≥0,得0≤x≤,
11、解析fx=f-x⇒f′x=-f′-x⇒y=f′x为奇函数,故f′0=
0.又fx=fx+5⇒f′x=f′x+5⇒y=f′x为周期函数,周期为
5.由于f′0=0,从而f′5=
0.答案
012、解析fx==-,取Fx=lnx-lnx+1=ln,则F′x=-,所以dx=dx==ln.答案ln
13、解析f′x=2ax+b,有f′0>0⇒b>
0.由于对于任意实数x都有fx≥0,从而得c>0,从而==1+≥1+≥1+=2,当且仅当a=c时取等号.答案
214、解析依题意,阴影区域Ω2的面积为SΩ2=1+e+e+…+e=·;区域Ω1的面积为SΩ1=exdx=e-1,由几何概型的概率计算公式,得所求的概率答案
15、解析由题意可知,对于函数定义域内的任意一个x值,总存在x1x1≠x使得f′x1=f′x.对于
①,由f′x1=f′x可得x=x2,但当x=0时不符合题意,故不具有可平行性;对于
②,由f′x1=f′x可得=,此时对于定义域内的任意一个x值,总存在x1=-x,使得f′x1=f′x;对于
③,由f′x1=f′x可得cosx1=cosx,∃x1=x+2kπk∈Z,使得f′x1=f′x;对于
④,由f′x1=f′x可得2x1-2+=2x-2+,整理得x1x=,但当x=时不符合题意,综上,答案为
②③.答案
②③
三、解答题
16、解作出曲线xy=1,直线x=y,y=3的草图,所求面积为图中阴影部分的面积.由得,故A,3;由得或舍去,故B11;由得,故C33.
17、解∵fx在x=-1时有极值0,且f′x=3x2+6ax+b,∴即解得或当a=1,b=3时,f′x=3x2+6x+3=3x+12≥0,∴fx在R上为增函数,无极值,故舍去.当a=2,b=9时,f′x=3x2+12x+9=3x+1x+3,当x∈-∞,-3时,fx为增函数;当x∈-3,-1时,fx为减函数;当x∈-1,+∞时,fx为增函数;∴fx在x=-1时取得极小值.∴a=2,b=
9.
18、解由得x3-x2+x-1=0,即x-1x2+1=0,∴x=1,∴交点为12.又f′x=2x,∴f′1=2,∴曲线y=fx在交点处的切线l1的方程为y-2=2x-1,即y=2x,又g′x=3x2+
1.∴g′1=
4.∴曲线y=gx在交点处的切线l2的方程为y-2=4x-1,即y=4x-
2.取切线l1的方向向量为a=12,切线l2的方向向量为b=14,则cosθ===.
19.、解1因为fx=a2lnx-x2+ax,其中x0,所以f′x=-2x+a=-.由于a0,所以fx的增区间为0,a,减区间为a,+∞.2由题意得f1=a-1≥e-1,即a≥e.由1知fx在[1,e]内单调递增,要使e-1≤fx≤e2对x∈1,e恒成立.只要解得a=e.解1f′x=aex-,当f′x0,即x-lna时,fx在-lna,+∞上递增;当f′x0,即x-lna时,fx在-∞,-lna上递减.
①当0a1时,-lna0,fx在0,-lna上递减,在-lna,+∞上递增,从而fx在[0,+∞上的最小值为f-lna=2+b;
②当a≥1时,-lna≤0,fx在[0,+∞上递增,从而fx在[0,+∞上的最小值为f0=a++b.2依题意f′2=ae2-=,解得ae2=2或ae2=-舍去,所以a=,代入原函数可得2++b=3,即b=,故a=,b=.。