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2019-2020年高中数学第一章解三角形第
9、10课时解三角形复习课
(1)新人教版必修5学习要求1.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形;2.能利用计算器解决三角形的计算问题【课堂互动】自学评价1.正弦定理1形式一=2R;形式二;;;(角到边的转换)形式三,,;(边到角的转换)形式四;(求三角形的面积)2解决以下两类问题1)、已知两角和任一边,求其他两边和一角;(唯一解)2)、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)3若给出那么解的个数为若,则无解;若,则一解;若,则两解;2.余弦定理1形式一,,形式二,,,(角到边的转换)2解决以下两类问题1)、已知三边,求三个角;(唯一解)2)、已知两边和它们得夹角,求第三边和其他两个角;(唯一解)【精典范例】
一、判定三角形的形状【例1】根据下列条件判断三角形ABC的形状1若a2tanB=b2tanA;2b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC;33sinA+sinB+sinC–cosA+cosB+cosC=
1.【解】1由已知及正弦定理得2RsinA2=2RsinB22sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B2cosA+BsinA–B=0∴A+B=90o或A–B=0所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.2由正弦定理得sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC∵sinBsinC≠0∴sinBsinC=cosBcosC即cosB+C=0∴B+C=90oA=90o故△ABC是直角三角形.3sinA+sinB+sinC–cosA+cosB+cosC=1[2sincos+sinA+B]–[2coscos+2cos2-1]=0[2sincos+sinA+B]–2coscos-2sin2=0sin-coscos-sin=0sin-sinsin=0△ABC是Rt△.
二、三角形中的求角或求边长问题【例2】△ABC中,已知AB=2,BC=1,CA=,分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F,使△DEF是等边三角形.设∠FEC=α,问sinα为何值时,△DEF的边长最短?并求出最短边的长分析要求最短边的长,需建立边长关于角α的目标函数【解】设△DEF的边长为x,显然∠C=90°,∠B=60°,故EC=x·cosα因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B,所以∠EDB=α在△BDE中,由正弦定理得,所以,因为BE+EC=BC,所以,所以当,注在三角形中,已知两角一边求其它边,自然应联想到正弦定理【例3】在△ABC中,已知sinB=cosA=试求cosC的值【解】由cosA=,得sinA=∵sinBsinA∴B中能是锐角∴cosB=又cosC=-cosA+B=sinAsinB–cosAcosB=.【例4】在△ABC中,已知边上的中线BD=,求sinA的值.分析本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.【解】设E为BC的中点,连接DE,则DE//AB,且DE=在△BDE中利用余弦定理可得BD2=BE2+ED2-2BE·EDcosBED,【例5】在ΔABC中,角A、B、C所对的边分别为、b、c,且.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,求bc的最大值.【解】Ⅰ====Ⅱ∵∴又∵∴当且仅当b=c=时bc=故bc的最大值是.
三、解平面几何问题【例6】已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积分析连结对角线BD,将四边形面积转化为三角形面积来求,而要求三角形面积,需求出∠A、∠C,这可由余弦定理列方程求得【解】四边形ABCD的面积S=.注在应用正弦定理解题时要注意方程思想的运追踪训练一
1.△ABC中a=6b=6A=30°则边C=(C)A、6B、、12C、6或12D、
62.△ABC中若sinA+B,则△ABC是(B)A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形
3.△ABC中若面积S=则C=(C)ABCD
4.△ABC中已知∠A=60°,AB=AC=85,面积为10,则其周长为20;
5.△ABC中A BC=123则a bc=1::
2.【选修延伸】
四、解实际应用问题【例7】某观测站C在A城的南偏西20°方向,由A城出发有一条公路定向是南偏东40°,由C处测得距C为31km的公路上B处有1人沿公路向A城以v=5km/h的速度走了4h后到达D处,此时测得C、D间距离为21km问这人以v的速度至少还要走多少h才能到达A城【解】由已知得CD=21,BD=20,CB=31,∠CAD=60°设AD=x,AC=y在△ACB和△ACD中,分别由余弦定理得,人以v的速度至少还要走3h才能到达A城
五、证明三角恒等式【例8】在△ABC中,求证++=
0.【证明】因为====4R2cosB–cosA同理=4R2cosC–cosB=4R2cosA–cosC.所以左边=4R2cosB–cosA+4R2cosC–cosB+4R2cosA–cosC=0得证.【例9】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为abc证明【证明】由余弦定理知,两式相减得所以,所以由正弦定理,,所以=故等式成立追踪训练二1.△ABC中若面积sinA·cosB-sinB=sinC-sinA·cosC且周长为12,则其面积最大值为363-;2.△ABC中已知sinA+B+sinA+B=cosA+B+cosA+B=求角A和B【解】3.△ABC中已知∠A=30°cosB=2sinB-
①求证△ABC是等腰三角形
②设D是△ABC外接圆直径BE与AC的交点且AB=2求的值【解】
①°从而△ABC是顶角为A的等腰三角形
②在△ABC中由正弦定理在△BCD中由正弦定理听课随笔听课随笔听课随笔听课随笔听课随笔听课随笔【师生互动】学生质疑教师释疑。