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2019-2020年高中数学第一章解三角形过关测试卷新人教A版必修5
一、选择题每题6分,共36分)
1.在△ABC中,A=60°,且最大边长和最小边长是方程的两个根,则第三边的长为A.2B.3C.4D.
52.在△ABC中A=60°,AB=2且△ABC的面积为则BC的长为()A.B.3C.D.
73.已知在△ABC中三个内角ABC的对边分别为abc若△ABC的面积为S且则tanC等于()A.B.C.D.
4.△ABC的周长等于20,面积是,A=60°,则角A的对边长为A.5B.6C.7D.
85.在△ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,如果,B=30°,△ABC的面积为,那么b等于A.B.C.D.
6.为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图1,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1m,且AC比BA长
0.5m,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,AC最短为()A.mB.mC.2+mD.2m图1图2
二、填空题(每题5分,共20分)
7.如图2,用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角是和,已知B,D间的距离为a,测角仪的高度是b,则气球的高度为.
8.在Rt△ABC中,C=90°,且A,B,C所对的边a,b,c满足,则实数x的取值范围是.
9.若在△ABC中,AB=2,AC=BC,则S△ABC的最大值是.
10.在正三角形ABC的边AB,AC上分别取D,E两点,使沿线段DE折叠三角形时,顶点A正好落在边BC上,在这种情况下,若要使AD最小,则.
三、解答题(13题16分,其余每题14分,共44分)
11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知bsinA=3csinB a=3.1求b的值;2求的值.
12.在△ABC中,tanA=,tanB=.1求角C的大小;2若△ABC最大边的长为,求最小的边长.
13.已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是abc,设向量m=abn=sinBsinA,p.1若m∥n,求证△ABC为等腰三角形;2若m⊥pc=2,求△ABC的面积S.参考答案及点拨
一、
1.C点拨由A=60°,不妨设△ABC中最大边长和最小边长分别为b,c,故b+c=7,bc=
11.由余弦定理得,∴a=
4.
2.A点拨S△ABC所以AC=1所以所以.
3.C点拨由得即所以,又所以即所以即.
4.C点拨∵a+b+c=20,∴,即,∴.
①又∴.
②又S△ABC∴bc=
40.
③由
①②③可知a=
7.
5.B点拨由2b=a+c,得.又S△ABC且,∴S△ABC,得ac=6,∴.由余弦定理得,又b0,解得b=1+.
6.C点拨设BC=ama>1,AB=cm,AC=bm,则在△ABC中,.将代入上式得,化简得,.∵a>1∴.∴令,则,设由函数知识可得,当x∈[)时,fx为增函数,当时,fx为减函数,∴当,即时,b有最小值为.因此AC最短为m.
二、
7.点拨在△ACE中,AC=BD=a,根据正弦定理,得.在Rt△AEG中,.所以.
8.点拨:.又,∴,∴,即.
9.点拨设BC=x,则AC=,根据面积公式得S△ABC,
①根据余弦定理得,将其代入
①式得S△ABC,由三角形三边关系有解得,故当时,S△ABC取得最大值.
10.点拨如答图1,设折叠后A点落在边BC上的点P处,连接AP,显然A,P两点关于直线DE对称,设∠BAP=θ,∴∠DPA=θ,∠BDP=2θ,再设AB=a,AD=x,∴DP=x.在△ABP中,由正弦定理得∴.在△PBD中,,∴,从而,∴.∵0°<θ<60°,∴60°<60°+2θ<180°.∴当60°+2θ=90°,即θ=15°时,sin60°+2θ=1,此时x取得最小值,即AD最小,此时.答图1
三、
11.解
(1)在△ABC中,由正弦定理得,即bsinA=asinB又由bsinA=3csinB可得a=3c又a=3故c=1由且可得.
(2)由得进而得到.所以.点拨1根据正弦定理及bsinA=3csinBa=3求出ac的值再由余弦定理求出b的值.
(2)根据同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求出cos2Bsin2B再由两角差的正弦公式求值.
12.解1∵C-(A+B),∴.又∵0<C<π,∴.2∵,∴AB边最大,即.又∵tanA<tanB,A,B∈,∴角A最小,BC边为最小边.由且,得.由得,.∴最小边BC=
2.
13.1证明∵m∥n∴asinA=bsinB即其中R是三角形ABC外接圆半径,∴a=b.∴△ABC为等腰三角形.
(2)解由题意可知=0,即.∴a+b=ab由余弦定理可知,即.∴ab=4或舍去.∴.。