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2019-2020年高中数学第三章不等式专题训练(答案不全)新人教B版必修5
一、关于不等式性质的问题不等式的性质包括四个性质定理及五个推论,它是解不等式和证明不等式的主要依据.1.对于实数,下列结论中正确的是( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,,则2.下面四个条件中,使成立的条件是( )A.B.C.D.3.如果,那么下列不等式成立的是( )A.B.C.D.4.如果实数满足且,那么下列选项中不一定成立的是( )A.B.C.D.
二、关于利用不等式性质求取值范围问题例1.已知函数,,,求的取值范围.解令可得即,∴
①+
②得,即仿照上例解以下几题.1.(青岛模拟)已知,,求的取值范围.2.(辽宁高考)已知且,求取值范围.
三、关于均值不等式条件考察问题(一正,二定,三相等)1.下列结论正确的是( )A.当且时,B.当时,C.当时,最小值是2D.当时,无最大值2.下列函数中,最小值为4的是( )A.B.C.D.3.下列函数中,最小值为2的是( )A.B.C.D.4.下列说法中,正确的是.
①的最小值为;
②最小值为2;
③的最小值为
2.
四、有关利用均值不等式求分式最值问题.例1.求函数的最小值.(可分离变量化为型函数,利用均值不等式求解)解令,则,所以即当且仅当,即,即时函数取最小值
3.练习1.当时,求最小值.2.求函数最小值及相应值.3.求函数最大值及相应值.4.求最大值及相应值.5.求最小值及相应值.6.已知,求最小值及相应值.
五、有关给定一等式条件,求最值问题例1.已知且,求的最小值.解法一∵,又,∴解法二(代换法)解法三(乘1法)解法四(减元法),则,∵,∴练习
1.且,求最小值.
2.已知正整数满足,当取得最小值时,试求实数对的取值.
3.若,求的最小值.
4.若且,求的最小值.
5.若正数满足,求最小值.
6.已知,求证
①;
②.例2.已知且,求的最大值及相应的值.解法一当即取“=”解法二配凑法 当且仅当,即,时取“=”解法三消元法 由,得当,即时,取“=”,此时练习1.若,求最大值.2.点在直线上运动,求它的横纵坐标之积的最大值以及此时的坐标.3.若且,求的取值范围.4.中,已知,°,求的最大值.5.已知,求的最小值.6.已知,
①求最小值;
②求的最小值.
六、有关运用均值不等式解应用题问题例如下图,动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼,一面可利用原有墙(墙足够长),其他各面用钢筋网围成.
(1)现有可围36m长的钢筋网材料,每间虎笼长、宽各设计多少时,可使每间虎笼面积最大?
(2)若使每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼长、宽各设计多少时,可使四间虎笼面积最大?练习1.(北京高考)某车间分批生产某种产品,每批生产准备费用为800元,若每批生产件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天仓储费用为1元,为使平均到每件产品生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )A.60件B.80件C.100件D.120件2.(辽宁高考)一批货物随17列货车从A市以km/h的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长400km,为了安全,两车之间距离不得小于km,那么这批货物全部到达B市,最快需要( )A.6hB.8hC.10hD.12h3.某单位用2160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层xx平方米的楼房,经测算,如果将楼房建为层,则每平方米的平均建筑费用为(单元元)
(1)写出楼房平均综合费用关于建造层数的函数关系式;
(2)该楼房应建多少层时,可使楼房每平方米平均综合费用最少;最少值是多少?(注平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=)4.设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面宽与高比为,画面的上、下各留8cm空白,左右各留5cm空白,问怎样确定画面高与宽的尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小?如果,那么为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小?
七、有关分式不等式的解法问题,,练习1.不等式的集为( )A.B.C.D.2.的解集为.3.的解集为.4.不等式的解集为.5.不等式的解集为.
八、三个“二次”关系的应用例若不等式的解集为,求不等式的解集.练习1.不等式的解集为,那么的值是.2.若不等式的解集为,则的值为.3.若关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集是.
九、有关不等式恒成立问题已知某不等式在某区间上恒成立,求其中参数范围的问题称为恒成立问题对恒成立问题往往从以下几个方面入手
(1)结合二次函数图象和性质用判别式法;
(2)从函数最值入手,如大于零恒成立可转化为最小值大于零;
(3)能分离变量尽量把参数和变量分离出来;
(4)数形结合,结合图形,从整体上把握图形.例1.若关于的不等式在R上恒成立,求实数的取值范围.解当时,解集不为R舍去当时,.综上,的取值范围是.练习1.关于的不等式对任意实数均成立,求的取值范围.2.不等式对任意实数都成立,求自然数的值.3.已知,求实数的取值范围.4.函数定义域为R,试求的取值范围.例2.试确定实数的取值范围,使对一切实数不等式恒成立.解令,原不等式可转化为恒成立.法一(分离参数求最值)当时,上式恒成立,此时当时,,又,,所以,即综上,法二(最值法),对称轴,二次函数图象还过定点
(01)当对称轴,即时,比为增函数恒成立,当即时,即,又,∴,综上,练习1.对于不等式,试求区间[02]上任意都成立的实数的取值范围.2.当时,恒成立,求的取值范围.
十、含参一元二次不等式的解法解含参一元二次不等式时,一般应对字母系数分类讨论,分类讨论源于以下三个方向.
(1)若二次项系项为字母,应分三种情况讨论.
(2)若一元二次方程判别式符号不确定,则应分三种情况讨论.
(3)若一元二次方程的两个不等实根大小不确定,应分两根相等与不等两种情况讨论.例.解关于的不等式解若,原式可化为,即若,即,又,此时的解集为若,,即,下面对两根讨论
(1)当,即时无解;
(2)当,即时,解集为;
(3)当,即时,解集为综上,当时解集为,当时解集为当时解集为,当时解集为,时解集为练习解关于的不等式,。