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2019-2020年高中数学第三章不等式章末知识总结新人教A版必修5
一、本章概述不等关系是中学数学中最基本、最广泛、最普遍的关系.不等关系起源于实数的性质,产生了实数的大小关系、简单不等式、不等式的基本性质,如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系,又产生了重要不等式、基本不等式等.不等式是永恒的吗?显然不是,由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题.解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件,不同类型的不等式又有不同的解法.不等式证明则是推理性问题或探索性问题.推理性即在特定条件下,阐述论证过程,揭示内在规律,基本方法有比较法、综合法、分析法;探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题,常采用观察—归纳—猜想—证明的思路,以数学归纳法完成证明.另外,不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等.不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程.不等式的知识渗透在数学中的各个分支,相互之间有着千丝万缕的联系,因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题,诸如集合问题,方程组的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,以及三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题,这些问题无一不与不等式有着密切的联系.不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题,许多问题最终归结为不等式的求解或证明.解决这类综合问题的一般思维方法是引参,建立不等关系,解某一主元的不等式实为分离变元,适时活用基本不等式.其中建立不等关系的常用途径是
①根据题设条件;
②判别式法;
③基本不等式法;
④依据某些变量如sinx,cosx的有界性等.
二、主干知识1.不等式与不等关系.不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关系.不等式的性质包括“单向性”和“双向性”.单向性主要用于证明不等式,双向性是解不等式的基础.因为解不等式要求的是同解变形.要正确理解不等式的性质,必须先弄清每一性质的条件和结论、注意条件和结论的放宽和加强,以及条件与结论之间的相互联系.双向性主要有1不等式的基本性质这是比较两个实数的大小的依据;2ab⇔ba;3ab⇔a+cb+c.单向性主要有1ab,bc⇒ac;2ab,cd⇒a+cb+d;3ab,c0c0⇒acbcacbc;4ab0,cd0⇒acbd;5ab0,0cd⇒>;6ab0,m∈N*⇒ambm;7ab0,n∈N*,n1⇒.特别提醒1同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.即若a>b,c>d,则a+c>b+d;若a>b,c<d,则a-c>b-d.但异向不等式不可以相加,同向不等式不可以相减.2左右同正不等式,同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘.即若a>b>0,c>d>0,则ac>bd;若a>b>0,0<c<d,则>.3左右同正不等式,两边可以同时乘方或开方.即若a>b>0,n∈N*,n1,则an>bn或>.4若ab>0,a>b,则<;若ab<0,a>b,则>.如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.2.一元二次不等式及其解法.解一元二次不等式常用数形结合法,基本步骤如下
①将一元二次不等式化成ax2+bx+c>0的形式;
②计算判别式并求出相应的一元二次方程的实数解;
③画出相应的二次函数的图象;
④根据图象和不等式的方向写出一元二次不等式的解集.设相应二次函数的图象开口向上,并与x轴相交,则有口诀大于取两边,小于取中间.解含参数的不等式的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键”.要注意对字母参数的讨论,如果遇到下述情况则一般需要讨论1在解含有字母的一元二次不等式时,需要考虑相应的二次函数的开口方向,对应的一元二次方程根的状况有时要分析Δ,比较两个根的大小,设根为x1,x2,要分x1>x
2、x1=x
2、x1<x2讨论.2不等式两端乘或除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正负.3求解过程中,需用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底数进行讨论.注意解完之后要写上“综上,原不等式的解集是…”.若按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;若按未知数讨论,最后应求并集.一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0a>0的解集设相应的一元二次方程ax2+bx+c=0a>0的两根为x
1、x2且x1≤x2,Δ=b2-4ac,则不等式的解的各种情况如下表所示 特别提醒1解题中要充分利用一元二次不等式的解集是实数集R和空集∅的几何意义,准确把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的内在联系.2解不等式的关键在于保证变形转化的等价性.简单分式不等式可化为整式不等式求解先通过移项、通分等变形手段将原不等式化为右边为0的形式,然后通过符号法则转化为整式不等式求解.转化为求不等式组的解时,应注意区别“且”、“或”,涉及最后几个不等式的解集是“交”,还是“并”.注意不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.3在解决实际问题时,先要从实际问题中抽象出数学模型,并寻找出该数学模型中已知量与未知量,再建立数学关系式,然后用适当的方法解决问题.4解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型,解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类.分类相当于增加了题设条件,便于将问题分而治之.在解题过程中,经常会出现分类难以入手或者分类不完全的现象.强化分类意识,选择恰当的解题切入点,掌握一些基本的分类方法,善于借助直观图形找出分类的界值是解决此类问题的关键.3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题.1确定二元一次不等式表示的区域的步骤
①在平面直角坐标系中作出直线Ax+By+C=
0.
②在直线的一侧任取一点Px0,y0,当C≠0时,常把原点作为特殊点.
③将Px0,y0代入Ax+By+C求值,若Ax0+By0+C>0,则包含点P的半平面为不等式Ax+By+C>0所表示的平面区域,不包含点P的半平面为不等式Ax+By+C<0所表示的平面区域.也可把二元一次不等式改写成y>kx+b或y<kx+b的形式,前者表示直线的上方区域,后者表示直线的下方区域.2线性规划的有关概念
①满足关于x,y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件;
②关于变量x,y的解析式叫目标函数,关于变量x,y一次式的目标函数叫线性目标函数;
③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,称为线性规划问题;
④满足线性约束条件的解x,y叫可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域;
⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.特别提醒1画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,区域包括边界线,因此,将边界直线画成实线;无等号时区域不包括边界线,用虚线表示不包含直线l.2Ax+By+C>0表示在直线Ax+By+C=0B0的上方,Ax+By+C<0表示在直线Ax+By+C=0B0的下方.3设点Px1,y1,Qx2,y2,直线l Ax+By+C=0,若Ax1+By1+C与Ax2+By2+C同号,则P,Q在直线l的同侧,异号则在直线l的异侧.4在求解线性规划问题时要注意
①将目标函数改成斜截式方程;
②寻找最优解时注意作图规范.4.基本不等式≤.1基本不等式设a,b是任意两个正数,那么≤.当且仅当a=b时,等号成立.
①基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
②如果把看做是正数a,b的等差中项,看做是正数a,b的等比中项,那么基本不等式也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
③基本不等式≤几何意义是“半径不小于半弦”.2对基本不等式的理解
①基本不等式的左式为和结构,右式为积的形式,该不等式表明两正数a,b的和与两正数a,b的积之间的大小关系,运用该不等式可作和与积之间的不等变换.
②“当且仅当a=b时,等号成立”的含义a.当a=b时等号成立的含意是a=b⇒=;b.仅当a=b时等号成立的含意是=⇒a=b;综合起来,其含意是=⇔a=b.3设a,b∈R,不等式a2+b2≥2ab⇔ab≤⇔ab≤.4基本不等式的几种变式设a>0,b>0,则a+≥2,+≥2,≥2a-b.5常用的几个不等式
①≥≥≥根据目标不等式左右的运算结构选用;
②设a,b,c∈R,则a2+b2+c2≥ab+bc+ca当且仅当a=b=c时,取等号;
③真分数的性质若a>b>0,m>0,则<糖水的浓度问题.特别提醒1用基本不等式求函数的最值时,要特别注意“一正、二定、三相等,和定积最大,积定和最小”这17字方针.常用的方法为拆、凑、平方.2用基本不等式证明不等式时,应重视对所证不等式的分析和化归,应观察不等式左右两边的结构,注意识别轮换对称式,此时可先证一部分,其他同理可证,然后再累加或累乘.题型1 恒成立问题1若不等式fx>A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmin>A;2若不等式fx<B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmax<B. 例1设函数fx=,gx=x+aa0,若x∈[1,4]时不等式≤1恒成立,求a的取值范围.解析由≤1⇔-1≤≤1,得0≤≤2,即≤2在x∈[1,4]上恒成立,也就是ax+a2≤2在x∈[1,4]上恒成立.令t=,则t≥0,且x=t2,由此可得at2-2t+a2≤0在t∈[1,2]上恒成立,设gt=at2-2t+a2,则只需⇒解得0a≤2-2,即满足题意的a的取值范围是0,2-2].题型2 能成立问题1若在区间D上存在实数x使不等式fx>A成立,则等价于在区间D上的fxmax>A;2若在区间D上存在实数x使不等式fx<B成立,则等价于在区间D上的fxmin<B. 例2若存在x∈R,使不等式|x-4|+|x-3|<a成立,求实数a的取值范围.解析设fx=|x-4|+|x-3|,依题意fx的最小值小于a.又fx=|x-4|+|x-3|≥|x-4-x-3|=1等号成立的条件是3≤x≤4.故fx的最小值为1,∴a>
1.即实数a的取值范围是1,+∞.题型3 恰成立问题1若不等式fx>A在区间D上恰成立,则等价于不等式fx>A的解集为D;2若不等式fx<B在区间D上恰成立,则等价于不等式fx<B的解集为D.例4 已知函数y=的最小值为1,求实数a的取值集合.解析由y≥1即≥1⇒x2-a+4x+4≥0恒成立,∴Δ=a+42-16≤0,解得-8≤a≤0必要条件.再由y=1有解,即=1有解,即x2-a+4x+4=0有解,∴Δ=a+42-16≥0,解得a≤-8或a≥
0.综上即知a=-8或a=0时,ymin=1,故所求实数a的取值集合是{-8,0}.题型4 利用基本不等式求最值基本不等式通常用来求最值问题一般用a+b≥2a>0,b>0解“定积求和,和最小”问题,用ab≤求“定和求积,积最大”问题,一定要注意适用的范围和条件“一正、二定、三相等”,特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法,构造定值条件的方法,和对等号能否成立的验证.若等号不能取到,则应用函数单调性来求最值,还要注意运用基本不等式解决实际问题.例5 已知0<x<2,求函数y=x8-3x的最大值.解析∵0<x<2,∴0<3x<6,8-3x>0,∴y=x8-3x=·3x·8-3x≤=,当且仅当3x=8-3x,即x=时,取等号,∴当x=时,y=x8-3x有最大值为. 设函数fx=x+,x∈[0,+∞.求函数fx的最小值.解析fx=x+=x+1+-1,∵x∈[0,+∞,∴x+1>0,>0,∴x+1+≥
2.当且仅当x+1=,即x=-1时,fx取最小值.此时fxmin=2-
1.题型5 简单线性规划问题求目标函数在约束条件下的最优解,一般步骤为一是寻求约束条件和目标函数,二是作出可行域,三是在可行域内求目标函数的最优解,特别注意目标函数z=ax+by+c在直线ax+by=0平移过程中变化的规律和图中直线斜率关系.简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛应用也是高考的热点.例6 若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是 A. B. C. D.解析不等式组表示的平面区域如图所示由于直线y=kx+过定点,因此只有直线过AB中点时,直线y=kx+能平分平面区域,因为A1,1,B0,4,所以AB中点M.当y=kx+过点时,=+,所以k=.答案A题型6 三个二次二次函数、二次不等式、二次方程问题一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者之间形成一个关系密切、互为关联、互为利用的知识体系.将二次函数看作主体,一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零零点和不为零的两种情况,一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论,而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数的图象揭示解集的几何特征.例7 当m为何值时,方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负根?解析方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负根,则有即∴当m∈时,原方程有两个负根.题型7 不等式与函数的综合问题例8 定义在-1,1上的奇函数fx在整个定义域上是减函数,且f1-a+f1-a2<0,求实数a的取值范围.解析∵fx的定义域为-1,1,∴∴∴0<a<,
①原不等式变形为f1-a<-f1-a2.由于fx为奇函数,有-f1-a2=fa2-1,∴f1-a<fa2-1.又fx在-1,1上是减函数,∴1-a>a2-1,解得-2<a<
1.
②由
①②可得0<a<1,∴a的取值范围是0,1.题型8 求分式函数的最值例9 求函数y=的最小值.解析y==x2+1++1≥2+1=3,当且仅当x2+1=,即x2+1=1,即x=0时等号成立.题型9 数轴标根法1将不等式化为标准形式一端为0,另一端为一次因式因式中x的系数为正或二次不可约因式的乘积.2求出各因式为0的实数根,并在数轴上标出.3自最右端上方起,用曲线自右至左,依次由各根穿过数轴,遇奇次重根一次穿过,遇偶次重根穿而不过奇过偶不过.4记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集.例10 解不等式x+2x+1x-1x-2≤
0.分析本题考查高次不等式的解法,应用等价转化的方法显得较繁琐,可利用数轴标根法来解.解析设y=x+2x+1x-1x-2,则y=0的根分别是-2,-1,1,2,将其分别标在数轴上,并画出示意图如下∴不等式的解集是{x|-2≤x≤-1或1≤x≤2}.点评利用数轴标根法解不等式,需注意1要注意所标出的区间是否是方程根的取值范围,可取特殊值检验,以防不慎造成失误.2有些点是否要舍掉,要仔细检验.题型10 变换主元法例11 设fx=mx2-mx-6+m.1若对于m∈[-2,2],fx<0恒成立,求实数x的取值范围;2若对于x∈[1,3],fx<0恒成立,求实数m的取值范围;分析根据题意,fx可看作是m的一次函数,也可以看作是x的二次函数来解.解析1依题意,设gm=x2-x+1m-6,则gm是关于m的一次函数且一次项系数x2-x+1=+>0,∴gm在[-2,2]上递增.∴欲使fx<0恒成立.需gmmax=g2=2x2-x+1-6<0,解得-1<x<
2.∴实数x取值范围是-1,2.2方法一 ∵fx=m+m-6<0,在x∈[1,3]上恒成立.∴或或解得m<.方法二 要使fx=mx2-x+1-6<0在[1,3]上恒成立,则有m<在x∈[1,3]上恒成立.而当x∈[1,3]时,=≥=.∴的最小值为.∴m<.点评若给出m的取值范围,则看作是m的一次函数,若给出x的取值范围,则看作是x的二次函数.。