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2019-2020年高中数学第三章直线与方程单元测试题新人教A版必修2
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.给出以下命题
①任意一条直线有唯一的倾斜角;
②一条直线的倾斜角可以为-30°;
③倾斜角为0°的直线只有一条,即x轴;
④按照直线的倾斜角的概念,直线集合与集合{α|0°≤α180°}建立了一一对应的关系.正确的命题的个数是 A.1B.2C.3D.4解析 仅有
①正确,其他均错.答案 A2.过点A4,y,B2,-3的直线的倾斜角为135°,则y等于 A.1B.-1C.5D.-5解析 由题意可知=tan135°=-1,∴y=-
5.答案 D3.与原点距离为,斜率为1的直线方程为 A.x+y+1=0或x+y-1=0B.x+y+=0或x+y-=0C.x-y+1=0或x-y-1=0D.x-y+=0或x+y-=0解析 可设直线方程为y=x+b,则=,∴|b|=1,b=±1,故直线方程为x-y+1=0或x-y-1=
0.答案 C4.如果点5,a在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0之间,则整数a的值为 A.5B.4C.-5D.-4解析 由题意可知5,a到两平行线间距离之和等于两平行线间的距离,∴+=,即|31-8a|+|40-8a|=9,把选项代入,知a=4,a=5舍去.答案 B5.过点52且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是 A.2x+y-12=0B.2x+y-12=0或2x-5y=0C.x-2y-1=0D.x+2y-9=0或2x-5y=0解析 解法1验证知D为所求.解法2当直线过原点时,设y=kx,代入点52求得k=,∴y=x,即2x-5y=0;当直线不过原点时,可设方程为+=1,代入点52求得a=.∴方程为x+2y-9=
0.故所求方程为x+2y-9=0,或2x-5y=
0.答案 D6.直线2x-y+k=0与4x-2y+1=0的位置关系是 A.平行B.不平行C.平行或重合D.既不平行又不重合解析 因为2x-y+k=0与4x-2y+1=0可变形为y=2x+k和y=2x+,所以当k=时,两直线重合;当k≠时,两直线平行.故应选C.答案 C7.方程ax+by+c=0表示倾斜角为锐角的直线,则必有 A.ab1B.ab0C.a0且b0D.a0或b0解析 由题意知直线的斜率存在,且k=-0,∴ab
0.答案 B8.已知点Ax1,y1,Bx2,y2在斜率为k的直线上,若|AB|=a,则|y2-y1|等于 A.|ak|B.aC.D.解析 设AB的方程为y=kx+b,则a=|AB|==|y2-y1|,∴|y2-y1|=.答案 D9.如图,在同一直角坐标系中表示直线y=ax与y=x+a,正确的是 解析 当a0时,由y=ax可知,C、D错误;又由y=x+a又知A、B也不正确.当a0时,由y=ax可知A、B错误;又由y=x+a可知D也不正确.答案 C10.已知直线l xsinθ+ycosθ=1,点1,cosθ到l的距离为,且0≤θ≤,则θ等于 A.B.C.D.解析 由点到直线的距离公式,可得=,即|sinθ-sin2θ|=,经验证知θ=满足题意.答案 B11.一条线段的长是5,它的一个端点A21,另一端点B的横坐标是-1,则B的纵坐标是 A.-3B.5C.-3或5D.-5或3解析 设点B的坐标为-1,y,由题意得-1-22+y-12=52,∴y-12=
16.解得y=5或-
3.答案 C12.若A-42,B6,-4,C126,D212,下面四个结论正确的个数是
①AB∥CD;
②AB⊥AD;
③|AC|=|BD|;
④AC⊥BD.A.1个B.2个C.3个D.4个解析
①kAB==-,kCD==-,∴AB∥CD.
②kAB=-,kAD==,∵kAB·kAD=-1,∴AB⊥AD.
③|AC|==,|BD|==.∴|AC|=|BD|.
④kAC==,kBD==-4,∵kAC·kBD=-1,∴AC⊥BD.综上知,
①、
②、
③、
④均正确.故选D.答案 D
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上13.已知Aa3,B33a+3两点间的距离是5,则a的值为________.解析 =5,即3-a2+9a2=25,解得a=-1或.答案 -1或14.两条平行直线分别过点A62和B-3,-1,各自绕A,B旋转.若这两条平行线距离取最大时,两直线方程是________.解析 根据题意,当这两条直线平行旋转到与直线AB垂直时,距离取得最大值.∵kAB=,∴两直线分别为y-2=-3x-6和y+1=-3x+3,即3x+y-20=0和3x+y+10=
0.答案 3x+y-20=03x+y+10=015.已知直线l1与直线l2x-3y+6=0平行,与两坐标轴围成的三角形面积为8,则直线l1的方程为________.解析 ∵l1与l2平行,故可设l1的方程为x-3y+m=
0.与两坐标轴的交点0,,-m0.由题意可得|-m×|=
8.∴m=4,或m=-
4.答案 x-3y±4=016.设点P在直线x+3y=0上,且P到原点的距离与P到直线x+3y-2=0的距离相等,则点P坐标是________.解析 ∵点P在直线x+3y=0上,可设P的坐标为-3a,a.依题意可得=,化简得10a2=,∴a=±.故P的坐标为,或.答案 ,或
三、解答题本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.10分已知直线l经过点0,-2,其倾斜角为60°.1求直线l的方程;2求直线l与两坐标轴围成三角形的面积.解 1依题意得斜率k=tan60°=.又经过点0,-2,故直线l的方程为y+2=x-0,即x-y-2=
0.2由1知,直线l x-y-2=0在x轴、y轴上的截距分别为和-2,故直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为S=××2=.18.12分直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P43到直线l的距离为3,求直线l的方程.解 1当所求直线经过坐标原点时,设其方程为y=kx,由点到直线的距离公式,可得3=,解k=-6±.故所求直线的方程为y=-6±x.2当直线不经过坐标原点时,设所求直线为+=1,即x+y-a=
0.由题意可得=3,解a=1,或a=
13.故所求直线的方程为x+y-1=0或x+y-13=
0.综上,可知所求直线的方程为y=x,或x+y-1=0,或x+y-13=
0.19.12分当m为何值时,直线2m2+m-3x+m2-my=4m-
1.1倾斜角为;2在x轴上的截距为
1.解 1倾斜角为,则斜率为
1.∴-=
1.解得m=1,或m=-
1.当m=1时,m2-m=0,不符合题意.当m=-1时,直线方程为2x-2y-5=0符合题意,∴m=-
1.2当y=0时,x==1,解得m=-,或m=
2.当m=-,或m=2时都符合题意,∴m=-,或m=
2.20.12分求经过直线l13x+4y+5=0与l22x-3y-8=0的交点M,且满足下列条件的直线方程.1经过原点;2与直线2x+y+5=0平行;3与直线2x+y+5=0垂直.解 由得交点M的坐标为1,-2.1直线过原点,可得直线方程为2x+y=
0.2直线与2x+y+5=0平行,可设为2x+y+m=0,代入M1,-2,得m=
0.∴直线方程为2x+y=
0.3直线与2x+y+5=0垂直,∴斜率为k=,又过点M1,-2.故所求方程为y+2=x-1.即x-2y-5=
0.21.12分已知两条直线l1ax-by+4=0,l2a-1x+y+b=
0.求分别满足下列条件的a和b的值.1求直线l1过点-3,-1,并且直线l1与直线l2垂直;2直线l1与l2平行,并且坐标原点到l1,l2的距离相等.解 1∵l1⊥l2,∴a-1a+-b×1=
0.即a2-a-b=
0.
①又点-3,-1在l1上,∴-3a+b+4=
0.
②由
①②解得a=2,b=
2.2∵l1∥l2,且l2的斜率为1-a,∴l1的斜率也存在,即b≠
0.∴=1-a.∴b=a≠1.故l
1、l2的方程分别可以表示为l1a-1x+y+=0,l2a-1x+y+=
0.∵原点到l1和l2的距离相等.∴4||=||,解得a=2,或a=,因此或22.12分等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x-y=0,一条直角边所在的直线l的斜率为,且经过点4,-2,且此三角形的面积为10,求此直角三角形的直角顶点的坐标.解 设直角顶点为C,C到直线y=3x的距离为d.则·d·2d=10,∴d=.又l的斜率为,∴l的方程为y+2=x-4.即x-2y-8=
0.设l′是与直线y=3x平行且距离为的直线,则l′与l的交点就是C点,设l′的方程是3x-y+m=0,则=,∴m=±10,∴l′的方程是3x-y±10=0,由方程组及得C点坐标是,或.。