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2019-2020年高中数学第三章空间向量与立体几何例题解析新人教版选修2-1
一、选择题1.xx·南昌模拟在空间中,已知=240,=-130,则∠ABC的大小为 A.45° B.90° C.120° D.135°【解析】 由=-2,-40,=-130得cos〈,〉===-,又0°≤〈,〉≤180°,∴∠ABC=135°.【答案】 D2.xx·山东高考已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面积是边长为的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为 A.B.C.D.【解析】 画出三棱柱ABC—A1B1C1,作出PA与平面ABC所成的角,解三角形求角.如图所示,P为正三角形A1B1C1的中心,设O为△ABC的中心,由题意知PO⊥平面ABC,连接OA,则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角.在正三角形ABC中,AB=BC=AC=,则S=×2=,VABC—A1B1C1=S×PO=,∴PO=.又AO=×=1,∴tan∠PAO==,∴∠PAO=.【答案】 B3.在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥平面ABCD,AB=PD=a.点E为侧棱PC的中点,又作DF⊥PB交PB于点F.则PB与平面EFD所成角为 A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz,D为坐标原点.则P00,a,Ba,a0,=a,a,-a,又=,·=0+-=0,所以PB⊥DE.由已知DF⊥PB,又DF∩DE=D,所以PB⊥平面EFD,所以PB与平面EFD所成角为90°.【答案】 D4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为 A.B.C.D.【解析】 以A为原点建立空间直角坐标系,如图.设棱长为1,则A1001,E,D010,所以=01,-1,=,设平面A1ED的一个法向量为n1=1,y,z,则所以所以n1=122.设平面ABCD的一个法向量为n2=001,所以|cos〈n1,n2〉|==.即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.故选B.【答案】 B5.P是二面角α—AB—β棱上的一点,分别在α,β平面上引射线PM,PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α—AB—β的大小为 A.60°B.70°C.80°D.90°【解析】 不妨设PM=a,PN=b,作ME⊥AB于点E,NF⊥AB于点F,如图.因为∠EPM=∠FPN=45°,所以PE=a,PF=b,所以·=-·-=·-·-·+·=abcos60°-a×bcos45°-abcos45°+a×b=--+=
0.所以⊥,所以二面角α—AB—β的大小为90°.【答案】 D
二、填空题6.已知a=2,-11,b=-14,-2,c=115,λ.若向量a,b,c共面,则λ=________.【解析】 由向量a,b,c共面可得c=xa+ybx,y∈R,故有解得【答案】 17.xx·湛江模拟已知空间不共面四点O、A、B、C,·=·=·=0,且||=||=||,=,则OM与平面ABC所成角的正切值是________.【解析】 由题意可知,OA、OB、OC两两垂直,如图,建立空间直角坐标系,设OA=OB=OC=1,则A100,B010,C0,01,M,,0,故=-110,=-101,=,,0.设平面ABC的法向量为n=x,y,z,则由,得,令x=1,得平面ABC的一个法向量为n=111.故cosn,==,所以OM与平面ABC所成角的正弦值为,正切值为.【答案】 8.如图4-3-11,正方体ABCD—A1B1C1D1,则下列四个命题图4-3-11
①P在直线BC1上运动时,三棱锥A—D1PC的体积不变;
②P在直线BC1上运动时,直线AP与平面ACD1所成角的大小不变;
③P在直线BC1上运动时,二面角P—AD1—C的大小不变;
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点,则M点的轨迹是过D1点的直线.其中真命题的编号是________写出所有真命题的编号.【解析】 因为BC1∥AD1,所以BC1∥平面ACD1,BC1上任意一点到平面ACD1的距离为定值,所以VA—D1PC=VP—ACD1为定值,
①正确;P到面ACD1的距离不变,但AP的长在变化,所以AP与面ACD1所成角的大小是变量,
②错误;面PAD1即面ABC1D1,所以面ABC1D1与面ACD1所成二面角的大小不变,
③正确;M点的轨迹为A1D1,
④正确.【答案】
①③④
三、解答题9.xx·江门模拟如图4-3-12,直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+,过A作AE⊥CD,垂足为E.F、G分别是CE、AD的中点.现将△ADE沿AE折起,使二面角D—AE—C的平面角为135°.图4-3-121求证平面DCE⊥平面ABCE;2求直线FG与平面DCE所成角的正弦值.【解】 1证明∵DE⊥AE,CE⊥AE,DE∩CE=E,DE,CE⊂平面CDE,∴AE⊥平面CDE,∵AE⊂平面ABCE,∴平面DCE⊥平面ABCE.2以E为原点,EA、EC所在直线分别为x,y轴,建立空间直角坐标系∵DE⊥AE,CE⊥AE,∴∠DEC是二面角D—AE—C的平面角,即∠DEC=135°,∵AB=1,BC=2,折起前CD=1+,折起前后CE=1,DE=不变,∴A200,B210,C010,E000,D0,-11.∵F、G分别是CE、AD的中点,∴F,G∴=,=-200,由1知是平面DCE的法向量,设直线FG与平面DCE所成角为α,则sinα===,故直线FG与平面DCE所成角的正弦值为.10.xx·四川高考如图4-3-13,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD的中点.图4-3-131在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;2设1中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A-A1M-N的余弦值.【解】 1如图1,在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A1BC.因为AB=AC,D是BC的中点,所以BC⊥AD,则直线l⊥AD.因为AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥l.又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,所以直线l⊥平面ADD1A
1.12设A1A=1,则AB=AC=
2.如图,过点A1作A1E平行于C1B1,以点A1为坐标原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz点O与点A1重合,则A1000,A001.2因为P为AD的中点,所以M,N分别为AB,AC的中点,故M,N,所以=,=001,=,00.设平面AA1M的一个法向量为n1=x1,y1,z1,则即故有从而取x1=1,则y1=-,所以n1=1,-,0.设平面A1MN的一个法向量为n2=x2,y2,z2,则即故有从而取y2=2,则z2=-1,所以n2=02,-1.设二面角A-A1M-N的平面角为θ,又θ为锐角,则cosθ===.故二面角A-A1M-N的余弦值为.11.xx·济南模拟已知四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,G、H分别是CE、CF的中点.图4-3-141求证平面AEF∥平面BDGH.2若平面BDGH与平面ABCD所成的角为60°,求直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值.【解】 1G、H分别是CE、CF的中点,所以EF∥GH.连接AC与BD交与O,因为四边形ABCD是菱形,所以O是AC的中点,连接OG,OG是三角形ACE的中位线,OG∥AE.又EF∩AE=E,GH∩OG=G,则平面AEF∥平面BDGH.2BF⊥BD,平面BDEF⊥平面ABCD,所以BF⊥平面ABCD.取EF的中点N,连接ON,则ON∥BF,∴ON⊥平面ABCD,建立空间直角坐标系如图所示,设AB=2,BF=tt>0,则B100,C0,,0,F10,t,H,=100,=.设平面BDGH的法向量为n1=x,y,z,即n1=0,-t,,平面ABCD的法向量n2=001,|cos〈n1,n2〉|==,所以t2=9,t=3,所以=1,-,3,设直线CF与平面BDGH所成的角为θ,sinθ=|cos〈,n1〉|==.。