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2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程综合素质检测新人教A版选修1-1
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.顶点在原点,且过点-44的抛物线的标准方程是 A.y2=-4x B.x2=4yC.y2=-4x或x2=4yD.y2=4x或x2=-4y[答案] C[解析] ∵抛物线过点-44,∴设其方程为y2=-2px或x2=2pyp0,将-44代入可得p=2,∴抛物线方程为y2=-4x或x2=4y.2.已知两定点F150,F2-50,曲线上的点P到F1,F2的距离之差的绝对值是6,则该曲线的方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1[答案] A[解析] ∵||PF1|-|PF2||=610=|F1F2|,∴曲线为双曲线,且a=3,c=5,∴b=4,∴方程为-=
1.3.3m5是方程+=1表示的图形为双曲线的 A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件[答案] A[解析] 当3m5时,m-50,m2-m-60,∴方程+=1表示双曲线.若方程+=1表示双曲线,则m-5m2-m-60,∴m-2或3m5,故选A.4.xx·全国卷Ⅰ文已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|= A.3B.6C.9D.12[答案] B[解析] 如图∵抛物线y2=8x的焦点为20,∴椭圆E的右焦点为20,∴c=2,∵=,∴a=4,∴b2=a2-c2=
12.∵抛物线的准线为x=-2,∴|AB|===
6.5.xx·福州月考已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合,且其渐近线的方程为3x±4y=0,则该双曲线的标准方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1[答案] C[解析] 设双曲线的标准方程为-=1,因为双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合,所以双曲线的焦点在y轴上,且c=5,又因为双曲线的渐近线方程为3x±4y=0,所以=,所以a=3,b=4,所以双曲线的标准方程为-=
1.6.若直线mx+ny=4与圆O x2+y2=4没有交点,则过点Pm,n的直线与椭圆+=1的交点个数为 A.至多一个B.2C.1D.0[答案] B[解析] ∵直线与圆无交点,∴2,∴m2+n24,∴点P在⊙O内部,又⊙O在椭圆内部,∴点P在椭圆内部,∴过点P的直线与椭圆有两个交点.7.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A、B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为 A.18B.24C.36D.48[答案] C[解析] 设抛物线为y2=2px,则焦点F,准线x=-,由|AB|=2p=12,知p=6,所以F到准线距离为6,所以三角形面积为S=×12×6=
36.8.xx·广东理已知双曲线C-=1的离心率e=,且其右焦点为F250,则双曲线C的方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1[答案] C[解析] 由于e==,由右焦点可得c=5,故a=4,从而b2=c2-a2=9,故双曲线方程为-=1,选C.
9.xx·吉林省实验中学一模如图,F
1、F2是双曲线C1x2-=1与椭圆C2的公共焦点,点A是C
1、C2在第一象限的公共点,若|F1F2|=|F1A|,则C2的离心率是 A.B.C.或D.[答案] B[解析] 设椭圆方程为+=1ab0,由题意得,|AF1|=|F1F2|=2c=2=4,∴c=2,|AF1|-|AF2|=2,∴|AF2|=2,∴2a=|AF1|+|AF2|=6,∴a=3,∴e==.
10.过双曲线C-=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点O为坐标原点,则双曲线C的方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1[答案] A[解析] 如图设双曲线的右焦点F,右顶点B,设渐近线OA方程为y=x,由题意知,以F为圆心,4为半径的圆过点O,A,∴|FA|=|FO|=r=
4.∵AB⊥x轴,A为AB与渐近线y=x的交点,∴可求得A点坐标为Aa,b.∴在Rt△ABO中,|OA|2===c=|OF|=4,∴△OAF为等边三角形且边长为4,B为OF的中点,从而解得|OB|=a=2,|AB|=b=2,∴双曲线的方程为-=1,故选A.11.F是抛物线y2=2x的焦点,P是抛物线上任一点,A31是定点,则|PF|+|PA|的最小值是 A.2B.C.3D.[答案] B[解析] 如图,|PF|+|PA|=|PB|+|PA|,显然当A、B、P共线时,|PF|+|PA|取到最小值3--=.
12.若椭圆+=1ab0和圆x2+y2=+c2c为椭圆的半焦距有四个不同的交点,则椭圆的离心率e的取值范围是 A.,B.,C.,D.0,[答案] A[解析] 要保证椭圆与圆有4个交点,只要保证b+ca即可.⇒⇒由
①得4c2b2=a2-c25c2a2,,即e2,故e.由
②得4a2+c2-2acb2=a2-c2,即3a2-8ac+5c
20.两边同除以a2,得5e2-8e+30,即e-15e-30,解得e1舍去或e,则e.
二、填空题本大题共4个小题,每小题5分,共20分,将正确答案填在题中横线上13.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|=______.[答案] 2[解析] 本题考查抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系.设点Ax1,y1,点Bx2,y2抛物线y2=4x的焦点为10,准线方程为x=-
1.|AF|=x1--1=2,所以x1=
1.则AF与x轴垂直,|BF|=|AF|=
2.14.已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的离心率为________.[答案] [解析] ∵AB=2c=4,∴c=
2.又AC+CB=5+3=8=2a,∴a=
4.∴椭圆离心率为=.15.xx·泗阳县模拟两个正数a、b的等差中项是,等比中项是2,且a>b,则双曲线-=1的离心率为________.[答案] [解析] ∵两个正数a、b的等差中项是,等比中项是2,且a>b,∴解得a=5,b=4,∴双曲线方程为-=1,∴c==,∴双曲线-=1的离心率e==.16.如图,在椭圆中,若AB⊥BF,其中F为焦点,A、B分别为长轴与短轴的一个端点,则椭圆的离心率e=________.[答案] [解析] 设椭圆方程为+=1,则有A-a0,B0,b,Fc0,由AB⊥BF,得kAB·kBF=-1,而kAB=,kBF=-代入上式得=-1,利用b2=a2-c2消去b2,得-=1,即-e=1,解得e=,∵e0,∴e=.
三、解答题本题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.本题满分10分求下列双曲线的标准方程.1与双曲线-=1有公共焦点,且过点3,2的双曲线;2以椭圆3x2+13y2=39的焦点为焦点,以直线y=±为渐近线的双曲线.[解析] 1∵双曲线-=1的焦点为±2,0,∴设所求双曲线方程为-=120-a20又点3,2在双曲线上,∴-=1,解得a2=12或30舍去,∴所求双曲线方程为-=
1.2椭圆3x2+13y2=39可化为+=1,其焦点坐标为±,0,∴所求双曲线的焦点为±,0,设双曲线方程为-=1a0,b0∵双曲线的渐近线为y=±x,∴=,∴===,∴a2=8,b2=2,即所求的双曲线方程为-=
1.18.本题满分12分方程x2sinα-y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆,求α的取值范围.[分析] 根据焦点在y轴上的椭圆的标准方程的特点,先将方程化为标准式,得到关于α的关系式,再求α的取值范围.[解析] ∵x2sinα-y2cosα=1,∴+=
1.又∵此方程表示焦点在y轴上的椭圆,∴,即,∴2kπ+α2kπ+k∈Z.故所求α的范围为k∈Z.19.本题满分12分已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线与直线y=2x+1交于P,Q两点,|PQ|=,求抛物线的方程.[解析] 设抛物线的方程为y2=2px,则消去y得4x2-2p-4x+1=0,x1+x2=,x1x2=.|PQ|=|x1-x2|===,则=,p2-4p-12=0,解得p=-2或p=
6.∴y2=-4x,或y2=12x.20.本题满分12分xx·天津理已知椭圆+=1ab0的左焦点为F-c0,离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.1求直线FM的斜率;2求椭圆的方程.[解析] 1由已知有=,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c
2.设直线FM的斜率为kk0,则直线FM的方程为y=kx+c,由已知,有2+2=2,解得k=.2由1得椭圆方程为+=1,直线FM的方程为y=x+c,两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c,或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为c,c.由|FM|==,解得c=1,所以椭圆的方程为+=
1.21.本题满分12分已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.1当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;2求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.[解析] 1由得5x2+2mx+m2-1=
0.因为直线与椭圆有公共点,所以Δ=4m2-20m2-1≥0,解得-≤m≤.2设直线与椭圆交于Ax1,y1,Bx2,y2两点,由1知,5x2+2mx+m2-1=
0.由根与系数的关系,得x1+x2=-,x1x2=m2-1.所以|AB|=====.所以当m=0时,直线被椭圆截得的弦最长,此时所求的直线方程为y=x.22.本题满分12分xx·陕西文如图,椭圆E+=1ab0经过点A0,-1,且离心率为.1求椭圆E的方程;2经过点11,且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q均异于点A,证明直线AP与AQ的斜率之和为
2.[解析] 1由题设知=,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=.所以椭圆的方程为+y2=
1.2由题设知,直线PQ的方程为y=kx-1+1k≠2,代入+y2=1,得1+2k2x2-4kk-1x+2kk-2=
0.由已知Δ0,设Px1,y1,Qx2,y2,x1x2≠0,则x1+x2=,x1x2=从而直线AP,AQ的斜率之和kAP+kAQ=+=+=2k+2-k+=2k+2-k=2k+2-k=2k-2k-1=
2.所以直线AP、AQ斜率之和为定值
2.。