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2019-2020年高中数学第二章平面向量章末检测新人教A版必修4
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 A.e1=00,e2=1,-2B.e1=-12,e2=57C.e1=35,e2=610D.e1=2,-3,e2=2.已知a=24,则与a垂直的单位向量的坐标为 A.或B.或C.或D.或3.已知A
71、B14,直线y=ax与线段AB交于C,且=2,则实数a等于 A.2B.1C.D.4.若向量a=11,b=1,-1,c=-12,则c等于 A.-a+bB.a-bC.a-bD.-a+b5.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知A3,1,B-1,3,若点C满足=α+β,α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为 A.3x+2y-11=0B.x-12+y-22=5C.2x-y=0D.x+2y-5=06.若a=λ,2,b=-35,且a与b的夹角是钝角,则λ的取值范围是 A.B.C.D.7.已知点A-12和B61,按向量a平移后的坐标分别为A′-3,m和B′n4,则a等于 A.-23B.2,-3C.-32D.3,-28.在菱形ABCD中,若AC=2,则·等于 A.2B.-2C.||cosAD.与菱形的边长有关9.平面向量a=12,b=-2,m,且a∥b,则2a+3b等于 A.-2,-4B.-3,-6C.-4,-8D.-5,-1010.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是 A.B.C.D.11.已知|p|=2,|q|=3,p、q夹角为,则以a=5p+2q,b=p-3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为 A.15B.C.14D.1612.在△OAB中,=a,=b,OD是AB边上的高,若=λ,则实数λ等于 A.B.C.D.
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分13.设e
1、e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a、b的线性组合,则e1+e2=______a+______b.14.已知O00和A63,若点P在线段OA上,且=,又点P是线段OB的中点,则点B的坐标是________.15.已知平面上直线l的方向向量d=3,-4,点O00和A4,-2在l上的射影分别是O1和A1,则||=________.
16.如图所示,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点.若P为半径OC上的动点,则+·的最小值是____________.
三、解答题本大题共6小题,共70分17.10分已知a⊥b,且|a|=2,|b|=1,若对两个不同时为零的实数k,t,使得a+t-3b与-ka+tb垂直,试求k的最小值.18.12分已知|a|=1,a·b=,a-b·a+b=,求1a与b的夹角;2a-b与a+b的夹角的余弦值.
19.12分已知正方形ABCD,E、F分别是CD、AD的中点,BE、CF交于点P.求证1BE⊥CF;2AP=AB.20.12分已知向量、、满足条件++=0,||=||=||=
1.求证△P1P2P3是正三角形.
21.12分设a,b是两个不共线的非零向量t∈R.1若a与b起点相同,t为何值时a,tb,a+b三向量的终点在一直线上?2若|a|=|b|且a与b夹角为60°,那么t为何值时,|a-tb|的值最小?22.12分平面直角坐标系xOy内有向量=17,=51,=21,点Q为直线OP上一动点.1当·取得最小值时,求坐标;2当点Q满足1中条件时,求cos∠AQB值.第二章 章末检测答案1.B
2.D3.A [设Cx,y,则=x-7,y-1,=1-x4-y∵=2,∴,解得.∴C33.又∵C在直线y=ax上,∴3=a·3,∴a=
2.]4.B5.D [∵=α+β,α+β=1,∴点A,B,C共线,即点C的轨迹是直线AB.]6.A [a·b=-3λ+100,∴λ.当a与b共线时,=,∴λ=-.此时,a与b同向,∴λ.]7.A [设a=x0,y0,则由A-12→A′-3,m.∴-3--1=x0,∴x0=-
2.由B61→B′n4,∴4-1=y
0.∴y0=3,∴a=-23.]8.B [如图,设对角线AC与BD交于点O,∴=+.·=·+=-2+0=-2,故选B.]9.C [∵a∥b,∴1·m-2·-2=0,∴m=-4,∴b=-2,-4.∴2a+3b=-4,-8.]10.B [Δ=|a|2-4a·b=|a|2-4|a||b|cos〈a,b〉=4|b|2-8|b|2cos〈a,b〉≥
0.∴cos〈a,b〉≤,〈a,b〉∈[0,π].∴≤〈a,b〉≤π.]11.A [a+b=6p-q,对角线长为|a+b|====
15.]12.B [∵=λ,∴=+=+λ=1-λa+λb,∴·=[1-λa+λb]·b-a=0,∴1-λa·b+λb2-1-λa2-λa·b=
0.∴λa-b2=a2-a·b,∴λ=.]
13. -解析 设e1+e2=xa+yb,即e1+e2=x-ye1+2x+ye
2.∴∴x=,y=-.14.42解析 ∵=,∴=2,∴+=3,∴==21,∴=2=42.15.4解析 ||等于在d方向上投影的绝对值,即||=|||cos〈,d〉|====
4.16.-解析 设PC长为x0≤x≤1,则PO长为1-x,依题意,O为AB中点,所以+=2,+·=2·=-2x1-x0≤x≤1.问题转化为求函数t=2x2-2x,x∈
[01]的最小值问题.t=2x2-2x=22-.当x=时,t有最小值为-.故+·的最小值为-.17.解 因为a⊥b,所以a·b=0,又由已知得[a+t-3b]·-ka+tb=0,所以-ka2+tt-3b2=0,因为|a|=2,|b|=1,所以-4k+tt-3=0,所以k=t2-3t=2-t≠0,故当t=时,k取最小值-.18.解 1∵a-b·a+b=|a|2-|b|2=1-|b|2=,∴|b|2=,∴|b|=,设a与b的夹角为θ,则cosθ===.∴θ=45°.2∵|a|=1,|b|=,∴|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2×+=.∴|a-b|=,又|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×+=.∴|a+b|=设a-b与a+b的夹角为α,则cosα===.19.证明 如图建立直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,则A00,B20,C22,E12,F01.1=-=12-20=-12,=-=01-22=-2,-1,∵·=-1×-2+2×-1=0,∴⊥,即BE⊥CF.2设Px,y,则=x,y-1,=-2,-1,∵∥,∴-x=-2y-1,即x=2y-
2.同理由∥,得y=-2x+4,代入x=2y-
2.解得x=,∴y=,即P.∴2=2+2=4=2,∴||=||,即AP=AB.20.证明 ∵++=0,||=||=||,∴+=-,∴+2=-2,∴||2+||2+2·=||2,∴·=-,cos∠P1OP2==-,∴∠P1OP2=120°.同理,∠P1OP3=∠P2OP3=120°,即、、中任意两个向量的夹角为120°,由余弦定理可得,|P1P2|=|P2P3|=|P1P3|,故△P1P2P3是正三角形.21.解 1a-tb=m,m∈R,化简整理得a=b,∵a,b为不共线的非零向量,∴解之得∴当t=时,三向量的终点在一直线上.2|a-tb|2=a-tb2=|a|2-2ta·b+|tb|2=|a|2+|tb|2-2t|a||b|cos60°=1-t+t2|a|2=|a|2,∴当t=时,|a-tb|有最小值|a|.22.解 1设=x,y,∵点Q在直线OP上,∴向量与共线,又=21,∴x-2y=0,即x=2y,∴=2y,y,又=-=1-2y7-y,=-=5-2y1-y,∴·=1-2y7-y·5-2y1-y=1-2y5-2y+7-y1-y=5y2-20y+12=5y-22-8,故当y=2时,·有最小值-8,此时=42.2由1知=-35,=1,-1,·=-8,||=,||=,∴cos∠AQB==-.。