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2019-2020年高中数学第二章平面解析几何初步章末总结苏教版必修2
一、待定系数法的应用待定系数法,就是所研究的式子方程的结构是确定的,但它的全部或部分系数是待定的,然后根据题中条件来确定这些系数的方法.直线、圆的方程常用待定系数法求解.例1 求在两坐标轴上截距相等,且到点A31的距离为的直线的方程.变式训练1 求圆心在圆x-2+y2=2上,且与x轴和直线x=-都相切的圆的方程.
二、分类讨论思想的应用分类讨论的思想是中学数学的基本方法之一,是历年高考的重点,其实质就是整体问题化为部分问题来解决,化成部分问题后,从而增加了题设的条件.在用二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时要分类讨论;直线方程除了一般式之外,都有一定的局限性,故在应用直线的截距式方程时,要注意到截距等于零的情形;在用到与斜率有关的直线方程时,要注意到斜率不存在的情形.例2 求与圆x2+y-22=1相切,且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程.变式训练2 求过点A31和圆x-22+y2=1相切的直线方程.
三、数形结合思想的应用数形结合思想是解答数学问题的常用思想方法,在做填空题时,有时常能收到奇效.数形结合思想在解决圆的问题时有时非常简便,把条件中的数量关系问题转化为图形的性质问题去讨论,或者把图形的性质问题用数量关系表示出来,数形结合既是一种重要的数学思想,又是一种常用的数学方法.例3 曲线y=1+与直线y=kx-2+4有两个交点,则实数k的取值范围是________.变式训练3 直线y=x+b与曲线x=有且仅有一个公共点,则b的取值范围是________.第二章章末总结答案重点解读例1 解 当直线过原点时,设直线的方程为y=kx,即kx-y=0.由题意知=,解得k=1或k=-.所以所求直线的方程为x-y=0或x+7y=0.当直线不经过原点时,设所求直线的方程为+=1,即x+y-a=0.由题意知=,解得a=2或a=6.所以所求直线的方程为x+y-2=0或x+y-6=0.综上可知,所求直线的方程为x-y=0或x+7y=0或x+y-2=0或x+y-6=0.变式训练1 解 设圆心坐标为a,b,半径为r,圆的方程为x-a2+y-b2=r2.因为圆x-2+y2=2在直线x=-的右侧,且所求的圆与x轴和直线x=-都相切,所以a-.所以r=a+,r=|b|.又圆心a,b在圆x-2+y2=2上,所以a-2+b2=2,故有解得所以所求圆的方程是x-2+y-12=1或x-2+y+12=1.例2 解 1截距为0时,设切线方程为y=kx,则d==1,解得k=±,所求直线方程为y=±x.2截距不为0时,设切线方程为x-y=a,则d==1,解得a=-2±,所求的直线方程为x-y+2±=0.综上所述,所求的直线方程为y±x=0和x-y+2±=0.变式训练2 解 当所求直线斜率存在时,设其为k,则直线方程为y-1=kx-3,即kx-y+1-3k=0.∵直线与圆相切,∴d==1,解得k=0.当所求直线斜率不存在时,x=3也符合条件.综上所述,所求直线的方程是y=1和x=3.例3 解析 首先明确曲线y=1+表示半圆,由数形结合可得k≤.变式训练3 -1b≤1或b=-解析 作出曲线x=和直线y=x+b,利用图形直观考查它们的关系,寻找解决问题的办法.将曲线x=变为x2+y2=1x≥0.当直线y=x+b与曲线x2+y2=1相切时,则满足=1,|b|=,b=±.观察图象,可得当b=-或-1b≤1时,直线与曲线x=有且仅有一个公共点.。