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2019-2020年高中数学第二章推理与证明单元检测新人教版选修2-2一选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.用反证法证明命题“已知,,,则中至少有一个不小于0”反设正确的是()A.假设都不大于0B.假设至多有一个大于0C.假设都大于0D.假设都小于02.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=a≠1”在验证n=1时,左端计算所得的项为A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a
33.若一个命题的结论是“直线在平面内”,则用反证法证明这个命题时,第一步应作的假设为()A.假设直线平面B.假设直线平面于点AC.假设直线平面D.假设直线平面
4.有一天,某城市的珠宝店被盗走了价值数万元的钻石.报案后,经过三个月的侦察,查明作案人肯定是甲.乙.丙.丁中的一人.经过审讯,这四个人的口供如下甲钻石被盗的那天,我在别的城市,所以我不是罪犯.乙丁是罪犯.丙乙是盗窃犯,三天前,我看见他在黑市上卖一块钻石.丁乙同我有仇,有意诬陷我.因为口供不一致无法判断谁是罪犯.经过测谎试验知道,这四人只有一个人说的是真话,那么你能判断罪犯是A.甲B.乙C.丙D.丁5.已知直线是异面直线,直线,那么与的位置关系( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
6.已知a+b+c=2,则ab+bc+ca的值A大于B小于C不小于D不大于
7.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是()A.假设n=k(kN*),证明n=k+1命题成立B.假设n=kk是正奇数,证明n=k+1命题成立C.假设n=2k+1kN*证明n=k+1命题成立D.假设n=kk是正奇数,证明n=k+2命题成立8.命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明“cos4θ-sin4θ=cos2θ-sin2θcos2θ+sin2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ”过程应用了 A.分析法 B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法9.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明 A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0D.a2-1b2-1≥010.
①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2,
②已知a,b∈R,|a|+|b|1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于
1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥
1.以下结论正确的是 A.
①与
②的假设都错误B.
①与
②的假设都正确C.
①的假设正确;
②的假设错误D.
①的假设错误;
②的假设正确二填空题(共4小题,每小题3分共12分,把答案填在相应的位置上)11用三段论证明fx=x3+sinxx∈R为奇函数的大前提是________12用数学归纳法证明1+++…+<2n∈N且n>1,第一步要证的不等式是.13已知是不相等的正数,,则的大小关系是_____
14.已知x10,x1≠1且xn+1=n=12,…,试证“数列{xn}对任意的正整数n,都满足xnxn+1,”当此题用反证法否定结论时应为三解答题(本大题五个小题,共52分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.已知.
(1)求证;
(2)求证,,中至少有一个不小于.
16.已知数列{an}的各项都是正数,且满足a0=1,an+1=an·(4-an)(n∈N).证明an<an+1<2(n∈N).
17.列三角形数表1-----------第一行22-----------第二行343-----------第三行4774-----------第四行51114115…… … ……… … ……假设第行的第二个数为
(1)依次写出第六行的所有数字;
(2)归纳出的关系式并求出的通项公式;
(3)设求证…
18.已知等差数列{an}的公差d大于0,且a2a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn=1-.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,试比较与Sn+1的大小,并说明理由.《推理与证明》参考答案一选择题
1.【答案】D【解析】反证法的应用是假设结论不成立,因此要设为“假设都小于
0.2【答案】C3【答案】C【解析】“直线在平面内”的否定为“直线平面”.4【答案】A【解析】对于这四个人一个人说真话,因此分别进行判断可得若丁是真的,其他三人是假的,则可判断甲是罪犯5.【答案】C【解析】,根据公理4,,与已知矛盾.
6.【答案】D.【解析】∵a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+bc+ca=4又∵a2+b2+c2≥ab+bc+ca∴ab+bc+ca≤.
7.【答案】D
8.答案B解析因为证明过程是“从左往右”,即由条件⇒结论.
9.答案D解析因为a2+b2-1-a2b2≤0⇔a2-1b2-1≥
0.
10.答案D解析反证法的实质是命题的等价性,因为命题p与命题的否定¬p真假相对,故直接证明困难时,可用反证法.故选D.二填空题(共4小题,每小题3分共12分,把答案填在相应的位置上)
11.【答案】:满足f-x=-fx的函数是奇函数【解析】根据奇函数的定义可得满足f-x=-fx的函数是奇函数.
12.【答案】1++<
213.【答案】【解析】
14.【答案】存在正整数n,使xn≤xn+1解析根据全称命题的否定,是特称命题,即“数列{xn}对任意的正整数n,都满足xnxn+1”的否定为“存在正整数n,使xn≤xn+1”三解答题(本大题四个小题,共52分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.【证明】
(1);
(2)(反证法)假设,,中至少有一个不小于不成立,则假设,,都小于,则,即.
①而,即,即,这与
①矛盾,从而假设不成立,原命题成立,即,,中至少有一个不小于.
16.证明方法一用数学归纳法证明
(1)当n=0时,a0=1,a1=a04-a0=所以a0<a1<2命题正确.
(2)假设n=k时命题成立,即ak-1<ak<
2.则当n=k+1时,ak-ak+1=ak-14-ak-1-ak4-ak=2ak-1-ak-ak-1-akak-1+ak=ak-1-ak4-ak-1-ak.而ak-1-ak<04-ak-1-ak0所以ak-ak+1<
0.又ak+1=ak4-ak=[4-ak-22]<
2.所以n=k+1时命题成立.由
(1)
(2)可知,对一切n∈N时有an<an+1<
2.方法二用数学归纳法证明1当n=0时,a0=1a1=a04-a0=所以0<a0<a1<2;2假设n=k时有ak-1<ak<2成立,令fx=x4-xfx在[0,2]上单调递增,所以由假设有f(ak-1)<fak<f2即ak-1(4-ak-1)<ak(4-ak)<×2×4-2也即当n=k+1时ak<ak+1<2成立.所以对一切n∈N,有ak<ak+1<
2.
17、【解析】
(1)第六行的所有6个数字分别是6,16,25,25,16,6;
(2)依题意,,所以;当n=2时,也满足上述等式所以
(3)因为所以
18.解
(1)由已知得又∵{an}的公差大于0,∴a5>a2∴a2=3a5=
9.∴d===2,a1=
1.∵Tn=1-bn,∴b1=,当n≥2时,Tn-1=1-bn-1∴bn=Tn-Tn-1=1-bn-1-bn-1化简,得bn=bn-1∴{bn}是首项为公比为的等比数列,即bn=·=∴an=2n-1,bn=.2∵Sn==n2∴Sn+1=(n+1)2,=.以下比较与Sn+1的大小当n=1时,=,S2=4,∴<S2当n=2时,=S3=9∴<S3当n=3时,=S4=16∴<S4当n=4时,=S5=25∴>S
5.猜想n≥4时,>Sn+
1.下面用数学归纳法证明
①当n=4时,已证.
②假设当n=kk∈N*k≥4时,>Sk+1即>k+
12.那么n=k+1时,==3·>3k+12=3k2+6k+3=k2+4k+4+2k2+2k-1>[k+1+1]2=Sk+1+1∴n=k+1时,>Sn+1也成立.由
①②可知n∈N*n≥4时,>Sn+1都成立.综上所述,当n=123时,<Sn+1当n≥4时,>Sn+
1.。