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2019-2020年高中数学综合测试题新人教A版必修5
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.设ab0,则下列不等式一定成立的是 A.a2abb2 B.b2aba2C.a2b2abD.abb2a2答案 B2.关于数列39,…,2187,…,以下结论正确的是 A.此数列不是等差数列,也不是等比数列B.此数列可能是等差数列,也可能是等比数列C.此数列可能是等差数列,但不是等比数列D.此数列不是等差数列,但可能是等比数列解析 记a1=3,a2=9,…,an=2187,…若该数列为等差数列,则公差d=9-3=6,an=3+n-1×6=2187,∴n=
365.∴{an}可为等差数列.若{an}为等比数列,则公比q==
3.an=3·3n-1=2187=37,∴n=
7.∴{an}也可能为等比数列.答案 B3.在△ABC中,若sin2A+sin2B=2sin2C,则角C为 A.钝角B.直角C.锐角D.60°解析 由sin2A+sin2B=2sin2C,得a2+b2=2c
2.即a2+b2-c2=c20,cosC
0.答案 C4.定义新运算a*b=例如1] A.-∞,+∞B.-∞,1C.1,+∞D.-∞,1∪1,+∞解析 或解得x
1.答案 B5.在下列函数中,最小值等于2的函数是 A.y=x+B.y=cosx+C.y=D.y=ex+4e-x-2解析 A中当x0时不成立,B、C中y取不到2,因此A、B、C均错,D正确.y=ex+4e-x-2≥2-2=2,当且仅当ex=,即当ex=2,x=ln2时,取等号.答案 D6.不等式y≤3x+b所表示的区域恰好使点34不在此区域内,而点44在此区域内,则b的范围是 A.-8≤b≤-5B.b≤-8或b-5C.-8≤b-5D.b≤-8或b≥-5解析 ∵43×3+b,且4≤3×4+b,∴-8≤b-
5.答案 C7.已知实数m,n满足不等式组则关于x的方程x2-3m+2nx+6mn=0的两根之和的最大值和最小值分别是 A.7,-4B.8,-8C.4,-7D.6,-6解析 两根之和z=3m+2n,画出可行域,当m=1,n=2时,zmax=7;当m=0,n=-2时,zmin=-
4.答案 A8.已知a,b,c成等比数列,a,x,b成等差数列,b,y,c成等差数列,则+的值等于 A.B.C.2D.1解析 用特殊值法,令a=b=c.答案 C9.制作一个面积为1m2,形状为直角三角形的铁架框,有下列四种长度的铁管供选择,较经济的够用、又耗材最少是 A.
4.6mB.
4.8mC.5mD.
5.2m解析 设三角形两直角边长为am,bm,则ab=2,周长C=a+b+≥2+=2+2≈
4.828m.答案 C10.设{an}是正数等差数列,{bn}是正数等比数列,且a1=b1,a2n+1=b2n+1则 A.an+1bn+1B.an+1≥bn+1C.an+1bn+1D.an+1=bn+1解析 an+1=≥==bn+
1.答案 B11.下表给出一个“直角三角形数阵” ,,,……满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为aiji≥j,i,j∈N*,则a83等于 A.B.C.D.1解析 第1列为,=,,…,所以第8行第1个数为,又每一行都成等比数列且公比为,所以a83=××=.答案 C12.已知变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为 A.4B.2C.1D.-4解析 先作出约束条件满足的平面区域,如图所示.由图可知,当直线y+2x=0,经过点10时,z有最大值,此时z=2×1+0=
2.答案 B
二、填空题本大题共4小题,每小题5分.共20分.把答案填在题中横线上13.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长等于________.解析 ∵B=45°,C=60°,∴A=180°-B-C=75°.∴最短边为b.由正弦定理,得b===.答案 14.锐角△ABC中,若B=2A,则的取值范围是__________.解析 ∵△ABC为锐角三角形,∴∴∴A∈,.∴==2cosA.∴∈,.答案 ,15.数列{an}满足a1=3,an+1-2an=0,数列{bn}的通项公式满足关系式an·bn=-1nn∈N*,则bn=________.解析 ∵a1=3,an+1=2an,∴数列{an}为等比数列,且公比q=
2.∴an=3·2n-
1.又an·bn=-1n.∴bn=-1n·=.答案 16.当x∈12时,不等式x2+mx+40恒成立,则实数m的取值范围是________.解析 令fx=x2+mx+4,则fx的图象是开口向上的抛物线,要当x∈12时,fx0恒成立,只要解得m≤-
5.答案 m≤-5
三、解答题本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.10分已知全集U=R,A=,B={x|3x2-4x+10},求∁UA∩B.解 A={x|3x2-4x-40}=,B=.A∩B=,∁UA∩B={x|x≤-,或≤x≤1,或x≥2}.18.12分在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB.1求角B的大小;2若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.解 1由bsinA=acosB及正弦定理=,得sinB=cosB,所以tanB=,所以B=.2由sinC=2sinA及=,得c=2a.由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得9=a2+c2-ac.所以a=,c=
2.19.12分已知函数fx=ax2-bx+
1.1是否存在实数a,b使不等式fx0的解集是{x|3x4},若存在,求实数a,b的值,若不存在,请说明理由;2若a为整数,b=a+2,且函数fx在-2,-1上恰有一个零点,求a的值.解 1∵不等式ax2-bx+10的解集是{x|3x4},∴方程ax2-bx+1=0的两根是3和4,∴解得a=,b=.而当a=0时,不等式ax2-bx+10的解集不可能是{x|3x4},故不存在实数a,b使不等式fx0的解集是{x|3x4}.2∵b=a+2,∴fx=ax2-a+2x+
1.∵Δ=a+22-4a=a2+40,∴函数fx=ax2-bx+1必有两个零点.又函数fx在-2,-1上恰有一个零点,∴f-2·f-10,∴6a+52a+30,解得-a-.∵a∈Z,∴a=-
1.20.12分配制两种药剂,需要甲、乙两种原料.已知配A种药需要甲料3毫克,乙料5毫克;配B种药需要甲料5毫克、乙料4毫克.今有甲料20毫克,乙料25毫克,若A,B两种药至少各配一剂,问A、B两种药最多能各配几剂?解 设A、B两种药分别能配x,y剂,x,y∈N*,则作出可行域,图中阴影部分的整点有11,12,13,21,22,31,32,41.所以,在保证A,B两种药至少各配一剂的条件下,A种药最多配4剂,B种药最多配3剂.21.12分在△ABC中,已知=,且cosA-B+cosC=1-cos2C.1试确定△ABC的形状;2求的范围.解 1由=,得=,即b2-a2=ab,
①又cosA-B+cosC=1-cos2C,所以cosA-B-cosA+B=2sin2C.sinA·sinB=sin2C,则ab=c
2.
②由
①②知b2-a2=c2,即b2=a2+c
2.所以△ABC为直角三角形.2在△ABC中,a+cb,即
1.又=≤==,故的取值范围为1,].22.12分设{an}是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,满足a+a=a+a,S7=
7.1求数列{an}的通项公式及前n项和Sn;2试求所有的正整数m,使得为数列{an}中的项.解 1由题意,设等差数列{an}的通项公式为an=a1+n-1d,d≠0.由a+a=a+a,知2a1+5d=
0.
①又因为S7=7,所以a1+3d=
1.
②由
①②可得a1=-5,d=
2.所以数列{an}的通项公式an=2n-7,Sn==n2-6n.2因为==am+2-6+为数列{an}中的项,故为整数,又由1知am+2为奇数,所以am+2=2m-3=±1,即m=
12.当m=1时,==-
15.显然它不是数列{an}中的项.当m=2时,==
1.它是数列{an}中的项.因此,符合题意的正整数只有m=
2.。