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文本内容:
2019-2020年高三数学《函数的单调性》教案巩固·夯实基础
一、自主梳理
1.单调性的定义设函数fx的定义域为I:如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x
1、x2当x1x2时都有fx1fx2那么就说fx在这个区间上是增函数;如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量x
1、x2当x1x2时都有fx1fx2那么就说fx在这个区间上是减函数.
2.判断函数单调性的方法1定义法.2利用基本函数的单调性如:二次函数y=x2-2x在-∞1上是减函数.3利用复合函数同增异减这个结论判断.4利用函数图象上升增下降减进行判断.另外利用导数值的符号也能判断函数的单调性.
二、点击双基1.下列函数中,在区间0,2上为增函数的是A.y=-x+1B.y=C.y=x2-4x+5D.y=答案:B2.函数y=logax2+2x-3,当x=2时,y>0,则此函数的单调递减区间是A.-∞,-3B.1,+∞C.-∞,-1D.-1,+∞解析:当x=2时,y=loga5>0,∴A>
1.由x2+2x-3>0x<-3或x>1,易见函数t=x2+2x-3在-∞,-3上递减,故函数y=logax2+2x-3其中a>1也在-∞,-3上递减.答案:A3.若函数fx=则该函数在-∞+∞上是A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值解析由于ux=2x+1在R上递增且大于1则fx=在R上递减无最小值选A.答案A4.函数y=lgsin-2x的单调增区间是A.kπ-kπ-k∈ZB.[kπ-kπ+]k∈ZC.kπ-kπ-k∈ZD.[kπ-kπ+]k∈Z解析:令y=lgμμ=sin-2x.根据复合函数单调区间的求法只需使2kπ+≤-2x2kπ+π即可.∴-kπ-x≤-kπ-.故选C.答案:C诱思·实例点拨【例1】如果二次函数fx=x2-a-1x+5在区间,1)上是增函数,求f2的取值范围.剖析:由于f2=22-a-1×2+5=-2a+11求f2的取值范围就是求一次函数y=-2a+11的值域,当然就应先求其定义域.解:二次函数fx在区间,1上是增函数,由于其图象抛物线开口向上,故其对称轴x=或与直线x=重合或位于直线x=的左侧,于是≤解之得a≤2故f2≥-2×2+11=7即f2≥
7.【例2】讨论函数fx=a0在x∈-11上的单调性.解:设-1x1x21则fx1-fx2===.∵-1x1x21∴x2-x10x1x2+10x12-1x22-
10.又a0,∴fx1-fx20函数fx在-1,1上为减函数.【例3】求函数y=x+的单调区间.剖析:求函数的单调区间亦即判断函数的单调性,一般有三种方法:1图象法;2定义法;3利用已知函数的单调性.但本题图象不易作,利用y=x与y=的单调性一增一减)也难以确定,故只有用单调性定义来确定,即判断fx2-fx1的正负.解:首先确定定义域:{x|x≠0}∴在-∞0和0,+∞两个区间上分别讨论.任取x
1、x2∈0+∞且x1x2则fx2-fx1=x2+-x1-=x2-x1+=x2-x11-,要确定此式的正负只要确定1-的正负即可.这样,又需要判断大于1,还是小于
1.由于x
1、x2的任意性,考虑到要将0,+∞分为0,1与1,+∞这是本题的关键.1当x
1、x2∈01时,1-0∴fx2-fx10为减函数.2当x
1、x2∈1+∞时,1-0∴fx2-fx10为增函数.同理可求3当x
1、x2∈-10时,为减函数;4当x
1、x2∈-∞-1时,为增函数.讲评:解答本题易出现以下错误结论:fx在-1,0)∪0,1)上是减函数,在-∞-1∪1+∞上是增函数,或说fx在-∞0∪0+∞上是单调函数.避免错误的关键是要正确理解函数的单调性概念:函数的单调性是对某个区间而言的,而不是两个或两个以上不相交区间的并.链接·拓展求函数y=x+a0的单调区间.提示:函数定义域x≠0,可先考虑在0+∞上函数的单调性,再根据奇偶性与单调性的关系得到在-∞0上的单调性.答案:在-∞-,+∞上是增函数,在0-0上是减函数.【例4】(2004北京东城模拟)已知定义在R上的函数fx对任意的实数x
1、x2满足关系fx1+x2=fx1+fx2+
2.1证明fx的图象关于点0-2成中心对称图形;2若x0则有fx-2求证:fx在-∞+∞上是增函数.剖析:对于1只要证明=-2即可;对于2注意到fx是抽象函数欲证单调性需对fx进行适当的变形.证明:1令x1=x2=0则f0+0=f0+f0+2所以f0=-
2.对任意实数x令x1=xx2=-x有fx-x=fx+f-x+2即f0-2=fx+f-x得=-
2.又=0这表明点Mxfx与点N-xf-x的中点是0-2即点M1N关于点0-2成中心对称.由点M的任意性知:函数fx的图象关于点0-2成中心对称.2对任意实数x
1、x2且x1x
2.由x2-x10有fx2-x1-
2.于是fx2=f[x2-x1+x1]=fx2-x1+fx1+
2.所以fx2-fx1=fx2-x1+2-2+2=0即fx2fx
1.所以fx在-∞+∞上是增函数.讲评:对于1求出f0=-2是解题的关键;对于2变形fx2=f[x2-x1+x1]=fx2-x1+fx1+2是解题的关键.。