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2019-2020年高中数学《第二章平面向量》周练3新人教A版必修4
一、选择题每小题5分,共40分1.已知|a|=,|b|=4,且a与b的夹角为,则a·b的值是 .A.1B.±1C.2D.±2解析 a·b=|a|·|b|·cos=×4×=
1.答案 A2.已知|a|=|b|=2,a·b=2,则|a-b|= .A.1B.C.2D.或2解析 |a-b|======
2.答案 C3.已知a=3,-1,b=1,-2,则a与b的夹角为 .A.B.C.D.解析 a·b=3+2=5,|a|=,|b|=,设夹角为θ,则cosθ===.又θ∈[0,π],∴θ=.答案 B4.xx·泉州测试在△ABC中,∠C=90°,=k1,=23,则k的值是 .A.5B.-5C.D.-解析 ∵∠C=90°,∴·=0,∴-·=0,即k-2,-2·23=0,解得k=
5.故选A.答案 A6.已知|a|=3,|b|=2,〈a,b〉=60°,如果3a+5b⊥ma-b,则m的值为 .A.B.C.D.解析 3a+5b·ma-b=0,即3ma2+5m-3a·b-5b2=0⇒3m·32+5m-3·3×2cos60°-5×22=0,解之得m=.答案 C7.xx·烟台高一检测若a=23,b=-47,则a在b方向上的投影为 .A.B.C.D.解析 设a与b的夹角为θ,则cosθ===,∴a在b方向上的投影为|a|cosθ=×=.答案 A8.两个大小相等的共点力F
1、F2,当它们间的夹角为90°时合力大小为20N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为 .A.40NB.10NC.20ND.10N解析 由题意,知|F1|=|F2|=10N,当其夹角为120°时,利用平行四边形法则可构造一个菱形,其合力大小等于10N.答案 B
二、填空题每小题5分,共20分9.设单位向量m=x,y,b=2,-1.若m⊥b,则|x+2y|=________.解析 ∵m⊥b,∴m·b=
0.即2x-y=
0.又|m|2=x2+y2=1,解得或∴|x+2y|=.答案 10.一个重20N的物体从倾斜角30°,斜面长1m的光滑斜面顶端下滑到底端,则重力做的功是________.解析 由力的正交分解知识可知沿斜面下滑的分力大小|F|=×20N=10N,∴W=|F|·|s|=10J.或由斜面高为m,W=|G|·h=20×J=10J.答案 10J11.已知向量a=62,b=-4,,直线l过点A3,-1且与向量a+2b垂直,则直线l的方程为________.解析 a+2b=62+2=-23.设Px,y为所求直线上任意一点,则=x-3,y+1.∵·a+2b=0,∴-2x-3+3y+1=0,整理得2x-3y-9=
0.∴2x-3y-9=0即为所求直线方程.答案 2x-3y-9=012.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________.解析 ·=+·=·+·=||2=
1.答案 1
三、解答题每小题10分,共40分13.设平面上向量a=cosα,sinα0≤α≤2π,b=,a与b不共线.1证明向量a+b与a-b垂直;2当两个向量a+b与a-b的模相等时,求角α.1证明 a+b=,a-b=,a+b·a-b=cos2α-+sin2α-=0,∴a+b⊥a-b.2解 由题意a+b2=a-b2得a·b=0,∴-cosα+sinα=0,得tanα=,又0≤α2π得α=或.14.已知点A12和B4,-1,问能否在y轴上找到一点C,使∠ACB=90°,若不能,请说明理由;若能,求出C点的坐标.解 假设存在点C0,y使∠ACB=90°,则⊥.∵=-1,y-2,=-4,y+1,⊥,∴·=4+y-2y+1=0,∴y2-y+2=
0.而在方程y2-y+2=0中,Δ0,∴方程无实数解,故不存在满足条件的点C.15.xx·惠州高一期末已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=12.1若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;2若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.解 1设c=x,y,∵|c|=2,∴=2,∴x2+y2=
20.由c∥a和|c|=2,可得解得或故c=24或c=-2,-4.2∵a+2b⊥2a-b,∴a+2b·2a-b=0,即2a2+3a·b-2b2=0,∴2×5+3a·b-2×=0,整理得a·b=-,∴cosθ==-
1.又θ∈[0,π],∴θ=π.16.如图有两条相交成60°的直线xx′,yy′,其交点为O,甲、乙两辆汽车分别在xx′,yy′上行驶,起初甲在离O点30km的点A处,乙在离O点10km的点B处,后来两车均用60km/h的速度,甲沿xx′方向,乙沿yy′方向行驶.1起初两车的距离是多少?2t小时后两车的距离是多少?3何时两车的距离最短?解 1由题意知,||2=-2=||2+||2-2||||cos60°=302+102-2×30×10×=
700.故||=10km.2设甲、乙两车t小时后的位置分别为P,Q,则||=60t,||=60t.当0≤t≤时,||2=-2=30-60t2+10+60t2-230-60t10+60tcos60°;当t时,||2=60t-302+10+60t2-260t-3010+60tcos120°.上面两式可统一为||2=10800t2-3600t+700,即||=
10.3∵108t2-36t+7=1082+4,∴当t=时,即在第10分钟末时,两车的距离最短,且最短距离为20km.。