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2019-2020年高二10月阶段检测数学试题含答案1.填空题(共14题,每题5分,共70分;请将答案写在答题纸指定区域)
1.命题“”的否定是.
2.椭圆上一点到椭圆左焦点的距离为7,则点到右焦点的距离为.
3.双曲线的焦距为.
4.抛物线的准线方程为.
5.“四边形四条边相等”是“四边形是正方形”的条件.从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出一个填写
6.已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为,则该双曲线的离心率为.
7.已知抛物线上一点到焦点的距离为3,则点到轴的距离为.
8.在平面直角坐标系中,已知分别是双曲线的左、右焦点,△的顶点在双曲线的右支上,则的值是____________.
9.已知,命题函数在0,+∞上单调递减,命题曲线与轴交于不同的两点,若为假命题,为真命题,则实数的取值范围是.
10.已知椭圆,点依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点,若直线与直线的交点恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率为______.
11.已知点,抛物线的焦点为,准线为,线段交抛物线于点,过作的垂线,垂足为,若,则=__________.
12.已知椭圆,直线交椭圆于两点,若的中点坐标为,则的方程为.
13.已知直线上有两点,且,动点在抛物线上,则面积的最小值是.14.在椭圆中,为椭圆的左右焦点,是直线上的一个动点.则∠APB取得最大值时线段OP的长为.2.解答题(共6题,90分.每题都应写出必要的计算过程)
15.(本题14分)求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程.1,焦点在轴上的椭圆;
(2)与双曲线有相同焦点,且经过点的双曲线.
16.(本题14分)设命题方程表示焦点在轴上的椭圆;命题双曲线的离心率.
(1)若“且”为真命题,求的取值范围;
(2)当时,求双曲线的焦点到渐近线的距离.
17.(本题14分)已知抛物线以直线与坐标轴的交点为焦点,
(1)求抛物线的标准方程;
(2)设
(1)中焦点在轴上的抛物线为直线过点且与抛物线相切,求直线的方程.
18.(本题16分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,离心率为
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线经过点,且与椭圆C交于A,B两点,若=2,求直线l的方程.
19.(本题16分)已知椭圆+=1ab0的离心率e=eq\f2,一条准线方程为x=2.过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P,P关于x轴的对称点为Q.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线AP,AQ与x轴交点的横坐标分别为m,n,求证mn为常数,并求出此常数.
20.(本题16分)已知椭圆的右焦点,离心率为,过作两条互相垂直的弦,设的中点分别为.
(1)求椭圆的方程;
(2)证明直线必过定点,并求出此定点坐标;
(3)若弦的斜率均存在,求面积的最大值.江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测参考答案18解
(1)设椭圆方程为,因为,所以,所求椭圆方程为…(5分)
(2)由题得直线l的斜率存在,设直线l方程为y=kx+1则由得(3+4k2)x2+8kx﹣8=0,且△>0.(8分)设A(x1,y1),B(x2,y2),则由=2得x1=﹣2x2…..又,(12分)所以消去x2得解得所以直线l的方程为,即x﹣2y+2=0或x+2y﹣2=0…(16分)19.解⑴因为=eq\f2,=2,所以a=,c=1,所以b==1.故椭圆的方程为+y2=1.………………………………………………4分⑵解法一设P点坐标为x1,y1,则Q点坐标为x1,–y1.因为kAP==,所以直线AP的方程为y=x+1.令y=0,解得m=-.………………………………………………8分因为kAQ==-,所以直线AQ的方程为y=-x+1.令y=0,解得n=.………………………………………………12分所以mn==eq\fx1-y.………………………………………………14分又因为x1,y1在椭圆+y2=1上,所以eq\fx2+y=1,即1-y=eq\fx2,所以eq\fx1–y=2,即mn=2.所以mn为常数,且常数为2.………………………………………………16分解法二设直线AP的斜率为kk≠0,则AP的方程为y=kx+1,令y=0,得m=-.………………………………………………6分联立方程组eq\b\lc\{\a\aly=kx+1,+y2=1,消去y,得1+2k2x2+4kx=0,解得xA=0,xP=-,……………8分所以yP=k×xP+1=,则Q点的坐标为-,-.………………………………………10分所以kAQ=eq\f--1-=,故直线AQ的方程为y=x+1.令y=0,得n=-2k,…………………………………………14分所以mn=--2k=2.所以mn为常数,常数为2.…………………………………………16分
20.解
(1)由题意,则,(每个1分)……3分椭圆的方程为……4分
(2)斜率均存在,设直线方程为,,得,……5分,故,……6分将上式中的换成,则同理可得,……8分如,得,则直线斜率不存在,此时直线过点,下证动直线过定点.……9分(法一)若直线斜率存在,则,直线为,……11分令,得,综上,直线过定点.……12分(法二)动直线最多过一个定点,由对称性可知,定点必在轴上,设与轴交点为,下证动直线过定点.当时,,……10分同理将上式中的换成,可得,……11分则,直线过定点.……12分
(3)由第
(2)问可知直线过定点,故S△FMN=S△FPM+S△FPN……13分,令,S△FMN……14分则在单调递减,……15分当时取得最大值,此时S△FMN取得最大值,此时.……16分xyOPQA(第19题图)。