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2019-2020年高二上学期期末调研测试数学理试题含答案本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分120分.考试时间为100分钟.注意事项1.答题前,考生必须将自己的姓名、班级、考号填写清楚.2.选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题必须使用
0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷(选择题,共48分)
一、选择题(本大题包括12小题,每小题4分,共48分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上).
1.在中,,则其最短边的长为A.B.C.D.
2.已知,,则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.如图,在直三棱柱的底面中,,,,点是的中点,则异面直线与所成角的余弦值为A.B.C.D.
4.设数列为等差数列,若,则A.B.C.D.
5.中心在原点,焦点在轴上,长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是A.B.C.D.
6.等比数列的前n项和为,若,则A.B.C.D.
7.经过双曲线的右焦点,倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率为A.B.C.D.
8.已知,,则的最小值是A.B.C.D.
9.中,角的对边分别为,若,则的形状一定为A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形
10.已知正方体棱长为1,截面与平面相交于直线,则点到直线的距离为A.B.C.D.
11.抛物线与直线交于两点,则线段中点的坐标为A.B.C.D.
12.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴相交于两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若且,则点P的轨迹方程为A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题,共72分)
二、填空题本大题包括4小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在答题卡中的横线上.
13.若实数满足,则的最大值为________________.
14.给出命题,则为_____________.
15.已知是抛物线的焦点,过点且斜率为1的直线交抛物线于两点,若,则________________.
16.已知数列中,,则=____________.
三、解答题(本大题包括5小题,共56分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).
17.(本小题满分10分)已知等比数列的各项均为正数,(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的前项和.
18.(本小题满分10分)如图,如果你在海边沿着海岸线直线前行,请设计一种测量海中两个小岛AB之间距离的方法.
19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,,侧棱底面,点为侧棱的中点,且.(Ⅰ)求证;(Ⅱ)求面与面所成锐二面角的余弦值.
20.(本小题满分12分)如图,已知直线与抛物线交于两点,为坐标原点,且.(Ⅰ)求直线和抛物线的方程;(Ⅱ)抛物线上一点从点运动到点时,求面积的最大值.
21.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,点是轴上的两个定点,,为坐标平面上的动点,,是的中点,点在线段上,且.(Ⅰ)求点的轨迹方程;(Ⅱ)若直线与点的轨迹有两个不同的交点,且,求实数的取值范围.长春市xx~xx学年度第一学期期末调研测试高二数学理科参考答案及评分标准
一、选择题本大共12小题,每小题4分,共48分
1.A
2.B
3.D
4.B
5.C
6.A
7.C
8.C
9.B
10.D
11.B
12.D简答与提示
1.A因为角B最小,由正弦定理.
2.B根据条件可求得,易知是的必要不充分条件.
3.D以点为坐标原点,以所在直线分别作为轴建立空间直角坐标系,则可确定,于是,设所求角为,则.
4.B由等差数列的性质,,所以由条件可得.
5.C由已知可有,.故.
6.A根据等比数列的性质,设为其前n项和,当时,仍成等比数列即可求解.
7.C根据双曲线的几何性质,所给直线应与双曲线的一条渐近线平行,故有进而,可解得于是离心率.
8.C根据基本不等式,可有.
9.B由代入条件可得,,再根据正弦定理代换可有,于是.
10.D因为∥,所以点到直线的距离是与之间距离,因为是等腰三角形,设点是的中点,则,所以为所求,.(本题也可用空间向量求解)
11.B将所给直线方程与抛物线方程联立有,由此可整理得,设,则,故线段中点的横坐标为,将其再代入直线方程即可得所求中点的坐标为.
12.D由,可得,所以,代入可求得点的轨迹方程.
二、填空题本大题共4小题,每小题4分,共16分13.214.15.16.简答与提示
13.2根据线性规划的知识易求解.
14..
15.,设,由得,求得,,故由抛物线的定义可得.
16.,由得,以及,所以,
①②,由
①②联立求得通项公式.
三、解答题本大题共5小题,满分56分17.(本小题满分10分)(Ⅰ)由已知,解得,所以5分(Ⅱ)根据条件易得,7分于是……,以上二式相减,可得,+…,所以.10分18.(本小题满分10分)如图,设是两个观测点,到的距离为m,在处测出,在处测出,,据正弦定理,在中,,可求得,4分同理,在中,可求得8分在中,由余弦定理可得10分19.(本小题满分12分)建立如图所示空间直角坐标系,根据已知条件可有于是2分(Ⅰ)因为,所以,故6分(Ⅱ)由已知,是平面的一个法向量,可设平面的法向量为,由,可得,根据这个方程组,可取8分设所求二面角的平面角为,则,故所求二面角的余弦值为.12分19.(本小题满分12分)(Ⅰ)由得,设,则有,因为,所以,解得所以直线的方程为,抛物线的方程为.6分(Ⅱ)由,得,于是,8分设,,于是当点到直线的距离最大时,所求三角形面积最大,这里10分由,可得当时,,此时,故面积的最大值为.12分20.(本小题满分12分)
(1)因为,所以,又为中点,故,于是,所以点的轨迹是以为焦点的椭圆,,,故点的轨迹方程为6分
(2)由整理得,设,则有
①,且,8分若,则,即,整理得,再将
①代入可有,整理得,10分又因为,故,所以或.12分。