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2019-2020年高二上学期第一次月考数学(理B)试题含答案
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列{an}中,a5+a6+a7=15,那么a3+a4+…+a9等于 .A.21B.30C.35D.402.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为 .7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B.07C.02D.013.从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示如图所示.设甲乙两组数据的平均数分别为甲,乙,中位数分别为m甲,m乙,则 .A.甲乙,m甲m乙B.甲乙,m甲m乙C.甲乙,m甲m乙D.甲乙,m甲m乙4.不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是 .A.[-44]B.-44C.-∞,-4]∪[4,+∞D.-∞,-4∪4,+∞5.已知m,n,l是不同的直线,α,β,γ是不同的平面,给出下列命题
①若m∥n,n⊂α,则m∥α;
②若m⊥l,n⊥l,则m∥n;
③若m⊥n,m∥α,n∥β,则α⊥β;
④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.其中真命题有 A.0个B.1个 C.2个D.3个6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=a+c,b,q=b-a,c-a,若p∥q,则角C的大小为 .A.30°B.60°C.90°D.120°7.已知三棱锥的俯视图与左视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,左视图是有一直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的主视图可能为 .8.已知x,y满足条件k为常数,若目标函数z=x+3y的最大值为8,则k= .A.-16B.-6C.-D.69.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的 .A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°
10.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A.B.C.D.11.已知x0,y0,且+=1,若x+2ym2+2m恒成立,则实数m的取值范围是 .A.-∞,-2]∪[4,+∞B.-∞,-4]∪[2,+∞C.-24D.-4212.直线y=kx+3与圆x-22+y-32=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是 A.B.C.D.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)
13、已知直线x+ay=2a+2与直线ax+y=a+1平行,则实数a的值为14.若等差数列{an}的前n项和为Snn∈N+,若a2∶a3=5∶2,则S3∶S5=________.15.一个几何体的三视图如图所示单位m,则该几何体的体积为________m
3.16.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若3b-ccosA=acosC,S△ABC=,则·=________.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.本小题满分10分某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在[10001500.1求居民收入在[30003500的频率;2根据频率分布直方图算出样本数据的中位数;3为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析,则月收入在[2500,3000的这段应抽取多少人?18.本小题满分12分在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知=.1求的值;2若cosB=,b=2,求△ABC的面积S.19.本小题满分12分已知等比数列{an}满足2a1+a3=3a2,且a3+2是a2,a4的等差中项.1求数列{an}的通项公式;2若bn=an+log2,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn-2n+1+470成立的n的最小值.20.本小题满分12分如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点.1求证B1D1∥平面A1BD;2求证MD⊥AC;3试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.21.本小题满分12分已知函数.
(1)当a=4时,求函数f(x)的最小值;
(2)解关于x的不等式f(x)>a+3;
(3)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.22.本小题满分12分在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,点A(0,3),设圆C的半径为1,圆心C(a,b)在直线l y=2x﹣4上.
(1)若圆心也在直线y=﹣x+5上,求圆C的方程;
(2)在
(1)的条件下,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(3)若圆C上存在点M,使|MA|=|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.xx学年第一学期高二年级第一次月考数学(理科)试题(B)参考答案
一、选择题CDBDABCBBADB
二、填空题:
13.
114.3∶
215.
3016.-1
三、解答题;17.解 1月收入在[30003500的频率为0.0003×3500-3000=
0.
15.2∵
0.0002×1500-1000=
0.1,0.0004×2000-1500=
0.2,0.0005×2500-2000=
0.25,0.1+
0.2+
0.25=
0.
550.5,∴样本数据的中位数为2000+=2000+400=2400元.3居民月收入在[25003000的频数为
0.25×10000=2500人,再从10000人中用分层抽样方法抽出100人,则月收入在[2500,3000的这段应抽取100×=25人.
18.解 1由正弦定理,设===k,则==.所以=.即cosA-2cosCsinB=2sinC-sinAcosB,化简可得sinA+B=2sinB+C.又A+B+C=π,所以sinC=2sinA.因此=
2.2由=2,得c=2a.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB及cosB=,b=2,得4=a2+4a2-4a2×,解得a=1,从而c=
2.又因为cosB=,且0Bπ,所以sinB=.因此S=acsinB=×1×2×=.
19.解 1设等比数列{an}的公比为q,依题意,有即由
①得q2-3q+2=0,解得q=1或q=
2.当q=1时,不合题意,舍去;当q=2时,代入
②得a1=2,所以an=2·2n-1=2n.故所求数列{an}的通项公式an=2nn∈N+.2bn=an+log2=2n+log2=2n-n.所以Sn=2-1+22-2+23-3+…+2n-n=2+22+23+…+2n-1+2+3+…+n=-=2n+1-2-n-n
2.因为Sn-2n+1+470,所以2n+1-2-n-n2-2n+1+470,即n2+n-900,解得n9或n-
10.因为n∈N+,故使Sn-2n+1+470成立的正整数n的最小值为
10.
20.1证明 由直四棱柱,得BB1∥DD1,又∵BB1=DD1,∴BB1D1D是平行四边形,∴B1D1∥BD.而BD平面A1BD,B1D1⃘平面A1BD,∴B1D1∥平面A1BD.2证明 ∵BB1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,∴BB1⊥AC.又∵BD⊥AC,且BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D.而MD平面BB1D,∴MD⊥AC.3解 当点M为棱BB1的中点时,平面DMC1⊥平面CC1D1D.证明如下取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于O,连接OM,如图所示.∵N是DC的中点,BD=BC,∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线,而平面ABCD⊥平面DCC1D1,∴BN⊥平面DCC1D
1.又可证得O是NN1的中点,∴BM∥ON且BM=ON,即BMON是平行四边形.∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.∵OM平面DMC1,∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.
21、解
(1)∵a=4,∴,当x=2时,取得等号,当x=2时,f(x)min=6.…(4分)
(2)由题意得,∴x2+2x+a>(a+3)x,∴x2﹣(a+1)x+a>0,∴(x﹣1)(x﹣a)>0,当a≤1,不等式的解为x>1,即不等式的解集为(1,+∞),当a>1,不等式的解为x>a,即不等式的解集为(a,+∞).…(38分)
(3),等价于a>﹣x2﹣2x,当x∈[1,+∞)时恒成立,令g(x)=﹣x2﹣2x,则当x∈[1,+∞)时,g(x)的最大值为g
(1)=﹣1﹣2=﹣3,∴a>﹣3∴a的取值范围(-3,+∞)…(12分)
22.解答
(1)由 得圆心C为(3,2),∵圆C的半径为1,∴圆C的方程为(x﹣3)2+(y﹣2)2=1…(3分)
(2)由题意知切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx﹣y+3=0∴∴∴2k(4k+3)=0∴k=0或者∴所求圆C的切线方程为y=3或者即y=3或者3x+4y﹣12=0…(7分)
(3)设M为(x,y),由整理得直线m y=∴点M应该既在圆C上又在直线m上,即圆C和直线m有公共点∴,∴终上所述,a的取值范围为…(12分)。