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2019-2020年高二上学期第一次调考数学试卷含解析
一、填空题本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需写出解题过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.若直线x+(a﹣1)y+1=0与直线ax+2y+2=0垂直,则实数a的值为 . 2.已知椭圆方程为=1,则它的离心率是 . 3.若方程x2+y2﹣2ax﹣4y+5a=0表示圆,则a的取值范围是 . 4.以(﹣2,0)为圆心,并与圆x2+y2=1相外切的圆的方程 . 5.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(﹣2,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是 . 6.椭圆kx2+8ky2=8的一个焦点为,则k的值为 . 7.圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是 . 8.设椭圆=1右焦点为F2,点P是圆x2+y2﹣6x+8=0上的动点,则PF2的最大值为 . 9.设圆C x2+y2﹣2x+2y+c=0与y轴交于A、B两点,若∠ACB=120°,则c= . 10.在平面直角坐标系xOy中,设直线l3x﹣4y+a=0与圆C x2+y2=4相交于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB,若点M在圆C上,则实数a= . 11.已知圆C(x+1)2+y2=25,定点A(1,0),M为圆上的一个动点,连接MA,作MA的垂直平分线交半径MC于P,当M点在圆周上运动时,点P的轨迹方程为 . 12.设F
1、F2为椭圆=1(a>b>0)的左右焦点,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若∠PF1F2=60°,则椭圆的离心率是 . 13.直线ax+by=1(a,b是实数)与圆x2+y2=1相交于A、B两点,且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间的距离的最小值为 . 14.已知圆C(x﹣a)2+(y﹣a)2=1(a>0)与直线y=3x相交于P,Q两点,则当△CPQ的面积最大时,此时实数a的值为 .
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.在平面直角坐标系xOy中,设直线l1kx﹣y=0,直线l2(2k﹣1)x+(k﹣1)y﹣7k+4=0.
(1)若直线l1∥l2,求实数k的值;
(2)求证直线l2过定点C,并求出点C的坐标;
(3)当k=2时,设直线l1,l2交点为A,过A作x轴的垂线,垂足为B,求点A到直线BC的距离d. 16.在直角坐标系xOy中,中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C上的点到两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点P在椭圆C上,F
1、F2为椭圆C的左右焦点,若∠F1PF2=,求△F1PF2的面积. 17.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l y=2x﹣4,设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x﹣1上,求圆C的方程;
(2)若点M满足MA=2MO,求点M的轨迹方程;
(3)若圆C上存在点N,使NA=2NO,求圆心C的横坐标a的取值范围. 18.如图,已知圆M x2+(y﹣4)2=4,Q是x轴上的动点,QA、QB分别切圆M于A,B两点.
(1)若点Q的坐标为(2,0),求切线QA、QB的方程;
(2)求四边形QAMB的面积的最小值及此时点Q的坐标;
(3)若AB=,且Q在x轴正半轴上,求四边形QAMB外接圆的方程. 19.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F(c,0).P(x0,y0)为椭圆上一点,且PA⊥PF.
(1)若a=3,b=,求x0的值;
(2)若x0=0,求椭圆的离心率;
(3)求证以F为圆心,FP为半径的圆与椭圆的右准线x=相切. 20.已知⊙O x2+y2=1和点M(4,2).(Ⅰ)过点M向⊙O引切线l,求直线l的方程;(Ⅱ)求以点M为圆心,且被直线y=2x﹣1截得的弦长为4的⊙M的方程;(Ⅲ)设P为(Ⅱ)中⊙M上任一点,过点P向⊙O引切线,切点为Q.试探究平面内是否存在一定点R,使得为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由. xx学年江苏省南通市海门中学高二(上)第一次调考数学试卷参考答案与试题解析
一、填空题本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需写出解题过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.若直线x+(a﹣1)y+1=0与直线ax+2y+2=0垂直,则实数a的值为 .【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.【专题】方程思想;综合法;直线与圆.【分析】直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0垂直时,A1A2+B1B2=0,列出方程求出a的值.【解答】解当直线x+(a﹣1)y+1=0与直线ax+2y+2=0垂直时,1•a+2(a﹣1)=0,解得a=.故答案为.【点评】本题考查了两条直线互相垂直的应用问题,是基础题目. 2.已知椭圆方程为=1,则它的离心率是 .【考点】椭圆的简单性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由椭圆方程=1,可得a2=4,b2=1.再利用椭圆的离心率计算公式e==即可得出.【解答】解由椭圆方程=1,可得a2=4,b2=1.∴椭圆的离心率e====.故答案为.【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其离心率计算公式e==,属于基础题. 3.若方程x2+y2﹣2ax﹣4y+5a=0表示圆,则a的取值范围是 a>4或a<1 .【考点】二元二次方程表示圆的条件.【专题】计算题;直线与圆.【分析】根据二元二次方程表示圆的条件进行求解即可.【解答】解方程x2+y2﹣2ax﹣4y+5a=0表示一个圆,则4a2+16﹣20a>0,即a2﹣5a+4>0,解得a>4或a<1,故答案为a>4或a<1.【点评】本题主要考查圆的一般方程的应用,根据二元二次方程表示圆的条件是解决本题的关键. 4.以(﹣2,0)为圆心,并与圆x2+y2=1相外切的圆的方程 (x+2)2+y2=1 .【考点】圆与圆的位置关系及其判定.【专题】计算题;直线与圆.【分析】求出所求圆的半径,然后求出所求圆的标准方程即可.【解答】解因为以(﹣2,0)为圆心,并与圆x2+y2=1相外切,所以,设所求圆的半径为r,所以2=r+1,所以r=1,所以所求圆的标准方程为(x+2)2+y2=1.故答案为(x+2)2+y2=1.【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定,圆的标准方程的求法,考查计算能力. 5.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(﹣2,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是 .【考点】椭圆的标准方程.【专题】计算题.【分析】先根据题意a=2b,c=2并且a2=b2+c2求出a,b,c的值,代入标准方程得到答案.【解答】解已知∴∴为所求;故答案为【点评】本题主要考查椭圆的标准方程.属基础题. 6.椭圆kx2+8ky2=8的一个焦点为,则k的值为 .【考点】椭圆的简单性质.【专题】方程思想;数学模型法;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用椭圆的标准方程及其性质即可得出.【解答】解椭圆kx2+8ky2=8化为=1,由于它一个焦点为,∴=,解得k=.故答案为.【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 7.圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是 x2+(y﹣5)2=25 .【考点】圆的标准方程.【专题】直线与圆.【分析】由题意求出圆的圆心与半径,即可写出圆的方程.【解答】解圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切,设圆的圆心(0,r),半径为r.则.解得r=5.所求圆的方程为x2+(y﹣5)2=25.故答案为x2+(y﹣5)2=25.【点评】本题考查圆的方程的求法,求出圆的圆心与半径是解题的关键. 8.设椭圆=1右焦点为F2,点P是圆x2+y2﹣6x+8=0上的动点,则PF2的最大值为 3 .【考点】椭圆的简单性质.【专题】数形结合;数学模型法;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由圆x2+y2﹣6x+8=0可得(x﹣3)2+y2=1,可得圆心C,半径r.则|PF2|最大值=|CF2|+r.【解答】解椭圆=1,可得==1.∴右焦点为F2(1,0),由圆x2+y2﹣6x+8=0可得(x﹣3)2+y2=1,可得圆心C(3,0),半径r=1.∴|CF2|=2.则|PF2|最大值=|CF2|+r=2+1=3.故答案为3.【点评】本题了考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 9.设圆C x2+y2﹣2x+2y+c=0与y轴交于A、B两点,若∠ACB=120°,则c= ﹣2 .【考点】圆的一般方程.【专题】计算题;直线与圆.【分析】依题意,可求得圆x2+y2﹣2x+2y+c=0的圆心C(1,﹣1),半径r=,|AB|=2,由∠ACB=120°,可求得c.【解答】解圆x2+y2﹣2x+2y+c=0的圆心C(1,﹣1),半径r=,令x=0得y2+2y+c=0,设A(0,y1),B(0,y2),则y1,y2是方程y2+2y+c=0的两根,∴y1,2=∴|AB|=|y1﹣y2|=2,
①∵∠ACB=120°,∴|AB|=r=,
②由
①②得c=﹣2.故答案为﹣2.【点评】本题考查圆的一般方程,考查方程思想与运算能力,属于中档题. 10.在平面直角坐标系xOy中,设直线l3x﹣4y+a=0与圆C x2+y2=4相交于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB,若点M在圆C上,则实数a= ±5 .【考点】直线与圆的位置关系.【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆.【分析】把直线与圆的方程联立消去y,利用韦达定理表示出xA+xB,然后利用直线方程求得yA+yB的表达式,进而可求得AB的中点的坐标,同时利用向量的平行四边形法则可求得=+=2,进而可求得M的坐标代入圆的方程求得a.【解答】解直线l3x﹣4y+a=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点联立两方程得25x2+6ax+a2﹣64=0∴xA+xB=﹣,yA+yB=kxA+1+kxB+1=所以AB中点C的坐标为(﹣,)利用向量的平行四边形法则可求得=+=2说明M点的坐标为AB中点的两倍,M(﹣,)M点在圆上,代入方程化简得a2=4所以a=±5故答案为±5.【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质,平面向量的基本性质.考查了学生数形结合思想的应用和基本运算的能力. 11.已知圆C(x+1)2+y2=25,定点A(1,0),M为圆上的一个动点,连接MA,作MA的垂直平分线交半径MC于P,当M点在圆周上运动时,点P的轨迹方程为 .【考点】直线与圆的位置关系.【专题】计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】根据圆C的标准方程得到点C(﹣1,0),半径R=5.再由线段中垂线定理,可化简出PC+PA=5,从而得出点P的轨迹C是以C、A为焦点,2a=5的椭圆.最后根据椭圆的基本概念,即可得出点P的轨迹对应的椭圆的标准方程.【解答】解∵圆C方程为(x+1)2+y2=25,∴点C(﹣1,0),半径R=5,∵MA的垂直平分线交半径MC于P,∴PM=PA,可得PC+PA=CM.∵点M是圆C上的动点,∴CM长为圆C的半径5,∴动点P满足PC+PA=5,点P的轨迹是以C、A为焦点,2a=5的椭圆.可得a2=,c=1,b2=a2﹣c2=,∴轨迹的方程为.故答案为.【点评】本题借助一个动点的轨迹,得到椭圆的第一定义,进而求出其轨迹方程.着重考查了线段的垂直平分线定理和椭圆的基本概念等知识点,属于基础题. 12.设F
1、F2为椭圆=1(a>b>0)的左右焦点,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若∠PF1F2=60°,则椭圆的离心率是 2﹣ .【考点】椭圆的简单性质.【专题】数形结合;方程思想;数学模型法;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】把x=c代入可得,解得y,利用∠PF1F2=60°,即可得出.【解答】解把x=c代入可得,解得y=±,∵∠PF1F2=60°,∴=,化为e2+2e﹣1=0,又0<e<1,解得e=2﹣.故答案为2﹣.【点评】本题了考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 13.直线ax+by=1(a,b是实数)与圆x2+y2=1相交于A、B两点,且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间的距离的最小值为 ﹣1 .【考点】直线与圆的位置关系.【专题】计算题;直线与圆.【分析】根据题意画出图形,过O作OC垂直于弦AB,由△AOB是直角三角形且|OA|=|OB|=1,可得此三角形为等腰直角三角形,根据等腰三角形的三线合一可得C为斜边AB的中点,利用勾股定理求出|AB|的长,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的半径可求出|OC|的长,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知的直线的距离,令求出的距离等于求出的|OC|的长,可得a与b的关系式,从而用b表示出a且得到b的范围,最后利用两点间的距离公式表示出所求两点间的距离d,把表示出的a代入得到关于b的二次三项式,设被开方数为f(b),可得此函数为开口向上,且对称轴为x=2的抛物线,根据b的范围判定得到函数为减函数,把b的最大值代入d可求出d的最小值.【解答】解根据题意画出图形,如图所示过O作OC⊥AB,因为△AOB为等腰直角三角形,所以C为弦AB的中点,又|OA|=|OB|=1,根据勾股定理得|AB|=,∴|OC|=|AB|=,∴圆心到直线的距离为=,即2a2+b2=2,即a2=﹣b2+1,∴﹣≤b≤,则点P(a,b)与点(0,1)之间距离d==,设f(b)=b2﹣2b+2,此函数为对称轴为x=2的开口向上的抛物线,∴当﹣≤b≤<2时,函数为减函数,∵f()=3﹣2,∴d的最小值为﹣1.故答案为﹣1.【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有等腰直角三角形的性质,点到直线的距离公式,两点间的距离公式,以及二次函数的图象与性质,利用了数形结合及函数的数学思想,其中表示出所求的距离d,由自变量b的范围,根据二次函数的图象与性质判断得出函数f(b)为减函数是解本题的关键. 14.已知圆C(x﹣a)2+(y﹣a)2=1(a>0)与直线y=3x相交于P,Q两点,则当△CPQ的面积最大时,此时实数a的值为 .【考点】直线和圆的方程的应用;直线与圆相交的性质.【专题】直线与圆.【分析】求出圆的圆心坐标与半径,利用圆心到直线的距离与半弦长求解三角形的面积,然后求出最大值即可.【解答】解圆C(x﹣a)2+(y﹣a)2=1(a>0)的圆心(a,a)半径为1,圆心到直线的距离d=,半弦长为=,∴△CPQ的面积S===,当a2=时10a2﹣4a4取得最大值,最大值为,∴△CPQ的面积S的最大值为=.此时a=故答案为.【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用,三角形面积的最值的求法,点到直线的距离公式的应用等知识,考查分析问题解决问题的能力.
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.在平面直角坐标系xOy中,设直线l1kx﹣y=0,直线l2(2k﹣1)x+(k﹣1)y﹣7k+4=0.
(1)若直线l1∥l2,求实数k的值;
(2)求证直线l2过定点C,并求出点C的坐标;
(3)当k=2时,设直线l1,l2交点为A,过A作x轴的垂线,垂足为B,求点A到直线BC的距离d.【考点】点到直线的距离公式;直线的一般式方程与直线的平行关系.【专题】直线与圆.【分析】
(1)由已知条件利用直线平行的性质能求出k.
(2)直线l2转化为(2x+y﹣7)k﹣(x+y﹣4)=0,由k的系数为0,能求证明直线l2过定点C(3,1).
(3)当k=2时,直线l12x﹣y=0,直线l23x+y﹣10=0,解方程组求出A(2,4),从而求出B(2,0),再求出直线BC的方程,然后利用点A(2,4)到直线BC的距离求出d.【解答】
(1)解∵直线l1kx﹣y=0,直线l2(2k﹣1)x+(k﹣1)y﹣7k+4=0,直线l1∥l2,∴,解得k=.
(2)证明∵直线l2(2k﹣1)x+(k﹣1)y﹣7k+4=0,∴(2x+y﹣7)k﹣(x+y﹣4)=0,由,得x=3,y=1,∴直线l2过定点C(3,1).
(3)当k=2时,直线l12x﹣y=0,直线l23x+y﹣10=0,解方程组,得x=2,y=4,A(2,4),过A作x轴的垂线,垂足为B,∴B(2,0),∴直线BC的方程为,即x﹣y﹣2=0,∴点A(2,4)到直线BC的距离d==2.【点评】本题考查直线方程中参数的求法,考查直线过定点的证明,考查点到直线的距离的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意直线平行的性质、点到直线的距离公式的合理运用. 16.在直角坐标系xOy中,中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C上的点到两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点P在椭圆C上,F
1、F2为椭圆C的左右焦点,若∠F1PF2=,求△F1PF2的面积.【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】
(1)由题意设出椭圆标准方程,且求得a,把点代入椭圆方程求b,则答案可求;
(2)先根据椭圆的方程求得c,进而求得|F1F2|,设出|PF1|=t1,|PF2|=t2,利用余弦定理可求得t1t2的值,最后利用三角形面积公式求解.【解答】解
(1)由题意,设椭圆C(a>b>0),则2a=4,a=2.∵点在椭圆上,∴,解得b=,∴所求椭圆的方程为;
(2)∵a=,b=,∴c=,设|PF1|=t1,|PF2|=t2,则t1+t2=,
①t12+t22﹣2t1t2•cos60°=36,
②由
①2﹣
②得t1t2=4,∴t1t2•sin60°=×4×=.【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质.涉及焦点三角形问题,常用椭圆定义及余弦定理解决,是中档题. 17.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l y=2x﹣4,设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x﹣1上,求圆C的方程;
(2)若点M满足MA=2MO,求点M的轨迹方程;
(3)若圆C上存在点N,使NA=2NO,求圆心C的横坐标a的取值范围.【考点】轨迹方程;直线和圆的方程的应用.【专题】综合题;方程思想;综合法;直线与圆.【分析】
(1)联立直线l与直线y=x﹣1解析式,求出方程组的解得到圆心C坐标,即可得到圆的方程;
(2)设M(x,y),由MA=2MO,利用两点间的距离公式列出关系式,整理后得到点M的轨迹方程;
(3)点N的轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D,由N在圆C上,得到圆C与圆D相交或相切,根据两圆的半径长,得出两圆心间的距离范围,利用两点间的距离公式列出不等式,求出不等式的解集,即可得到a的范围.【解答】解
(1)联立直线l y=2x﹣4与直线y=x﹣1得圆心C(3,2),∴圆C的方程是(x﹣3)2+(y﹣2)2=1.
(2)设点M(x,y),由MA=2MO,知=2,化简得x2+(y+1)2=4;
(3)点N的轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D,又∵点N在圆C上,C(a,2a﹣4),∴圆C与圆D的关系为相交或相切,∴1≤|CD|≤3,其中|CD|=,∴1≤≤3,解得0≤a≤.【点评】此题考查了圆的方程,点到直线的距离公式,以及圆与圆的位置关系的判定,涉及的知识有两直线的交点坐标,两点间的距离公式,圆的标准方程,是一道综合性较强的试题. 18.如图,已知圆M x2+(y﹣4)2=4,Q是x轴上的动点,QA、QB分别切圆M于A,B两点.
(1)若点Q的坐标为(2,0),求切线QA、QB的方程;
(2)求四边形QAMB的面积的最小值及此时点Q的坐标;
(3)若AB=,且Q在x轴正半轴上,求四边形QAMB外接圆的方程.【考点】直线与圆的位置关系;圆的切线方程.【专题】综合题;直线与圆.【分析】
(1)设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,即可求切线QA、QB的方程;
(2)求出四边形QAMB的面积的表达式,利用|MQ|>|MO|求出面积的最小值;
(3)设AB与MQ交于点P,通过MP⊥AB,MB⊥BQ,求出|MP|,求出|MQ|,确定Q的坐标,即可求四边形QAMB外接圆的方程.【解答】解
(1)设过点Q的圆M的切线方程为x=my+2,﹣﹣﹣﹣﹣﹣则圆心M到切线的距离为2,∴=2,∴m=﹣或0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴切线QA、QB的方程分别为3x+4y﹣6=0和x=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)∵MA⊥AQ,∴SMAQB=|MA|•|QA|=≥=,此时Q(0,0);﹣﹣﹣﹣﹣
(3)设AB与MQ交于点P,则MP⊥AB,MB⊥BQ,|MP|=,在Rt△MBQ中,|MB|2=|MP|•|MQ|,解得|MQ|=4设Q(x,0),则x2+16=32,Q在x轴正半轴上,∴x=4∴四边形QAMB外接圆的方程是(x﹣2)2+(y﹣2)2=8.﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查圆的切线方程的求法,四边形面积的求法,两点间的距离公式的应用,考查转化思想与计算能力. 19.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F(c,0).P(x0,y0)为椭圆上一点,且PA⊥PF.
(1)若a=3,b=,求x0的值;
(2)若x0=0,求椭圆的离心率;
(3)求证以F为圆心,FP为半径的圆与椭圆的右准线x=相切.【考点】椭圆的简单性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】
(1)根据a,b,c的关系易得c=2,由PA⊥PF及,解得;
(2)联立条件x0=0及PA⊥PF,计算得a2﹣c2=ac,所以e2+e﹣1=0,解之即可(注意舍去负值).
(3)联立,以及PA⊥PF得,解得,计算可得PF=,即得结论.【解答】解
(1)因为a=3,b=,所以c2=a2﹣b2=4,即c=2,由PA⊥PF得,,即,又,所以,解得或x0=﹣3(舍去);
(2)当x0=0时,,由PA⊥PF得,,即b2=ac,故a2﹣c2=ac,所以e2+e﹣1=0,解得(负值已舍);
(3)依题意,椭圆右焦点到直线的距离为,且,
①由PA⊥PF得,,即,
②由
①②得,,解得或x0=﹣a(舍去).所以PF===|a﹣|=a+=,所以以F为圆心,FP为半径的圆与右准线相切.【点评】本题考查椭圆、圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查分析能力与计算能力,属中档题. 20.已知⊙O x2+y2=1和点M(4,2).(Ⅰ)过点M向⊙O引切线l,求直线l的方程;(Ⅱ)求以点M为圆心,且被直线y=2x﹣1截得的弦长为4的⊙M的方程;(Ⅲ)设P为(Ⅱ)中⊙M上任一点,过点P向⊙O引切线,切点为Q.试探究平面内是否存在一定点R,使得为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.【考点】直线与圆的位置关系.【专题】综合题.【分析】(Ⅰ)找出圆的圆心坐标和半径,设切线方程的斜率为k,由M的坐标和k写出切线l的方程,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d让d等于半径r得到关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,写出直线l的方程即可;(Ⅱ)根据点到直线的距离公式求出M到已知直线的距离d,然后利用勾股定理即可求出圆M的半径,根据圆心和半径写出圆的标准方程即可;(Ⅲ)假设存在这样的R点,设出R的坐标,并设出P的坐标,根据圆的切线垂直于过切点的半径得到三角形OPQ为直角三角形,根据勾股定理表示出PQ的长,然后利用两点间的距离公式表示出PR的长,设PQ与PR之比等于λ,把PQ和PR的式子代入后两边平方化简得到一个关系式记作(*),又因为P在⊙M上,所以把P的坐标当然到⊙M的方程中,化简后代入到(*)中,根据多项式对应项的系数相等即可求出R的坐标和λ的值.【解答】解(Ⅰ)由⊙O x2+y2=1得到圆心O(0,0)半径r=1,设切线l方程为y﹣2=k(x﹣4),易得,解得,∴切线l方程为;(Ⅱ)圆心M到直线y=2x﹣1的距离d==,设圆的半径为r,则,∴⊙M的方程为(x﹣4)2+(y﹣2)2=9;(Ⅲ)假设存在这样的点R(a,b),点P的坐标为(x,y),相应的定值为λ,根据题意可得,∴,即x2+y2﹣1=λ2(x2+y2﹣2ax﹣2by+a2+b2)(*),又点P在圆上∴(x﹣4)2+(y﹣2)2=9,即x2+y2=8x+4y﹣11,代入(*)式得8x+4y﹣12=λ2[(8﹣2a)x+(4﹣2b)y+(a2+b2﹣11)],若系数对应相等,则等式恒成立,∴,解得,∴可以找到这样的定点R,使得为定值.如点R的坐标为(2,1)时,比值为;点R的坐标为时,比值为.【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系,灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值,会根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程,是一道综合题. 。