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2019-2020年高二上第三次月考数学(文)试卷含答案一.选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分.1.若复数满足,则的虚部为( )A.B.C.D.
2.函数在点(x0,y0)处的切线方程为,则等于A.-4B.-2C.2D.43.已知x、y的取值如下表所示4.取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1m的概率是( ).A.B.C.D.不确定5.对同一目标进行三次射击,第
一、
二、三次射击命中目标的概率分别为
0.4,
0.5和
0.7,则三次射击中恰有二次命中目标的概率是()A.
0.41B.
0.64C.
0.74D.
0.
636.已知双曲线的焦点为,点M在双曲线上,且,则点M到轴的距离为()A.B.C.D.
7.2x2-5x-3<0的一个必要不充分条件是()A.-<x<3B.-<x<0C.-3<x<D.-1<x<
68.若函数在R上可导,且满足,则( )A.B.C.D.
9.由半椭圆(≥0)与半椭圆(≤0)合成的曲线称作“果圆”,如图所示,其中,.由右椭圆()的焦点和左椭圆()的焦点,确定的叫做果圆的焦点三角形,若果圆的焦点三角形为锐角三角形,则右椭圆()的离心率的取值范围为()A.B.C.D.10.已知函数的导函数图象如图所示若为锐角三角形则一定成立的是( )A.B.C.D.
二、填空题(每空5分,共25分)11经过圆x2+y2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r
2.类比上述性质,可以得到椭圆类似的性质为_________.
12.、设抛物线y2=16x上一点P到x轴的距离为12,则点P与焦点F的距离|PF|= .13如果执行如图的程序框图,那么输出的值是__________.
14.已知,若对任意两个不等的正实数都有恒成立,则的取值范围是.15.的最小值为.
三、解答题16.设函数,求的单调区间和极值;17.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计70301001根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;2已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.附χ2=, Pχ2≥k
0.
900.
950.99k
2.
7063.
8416.
63518.已知集合Z={x,y|x∈
[02],y∈[-11]}1若x,y∈Z,求x+y≥0的概率;2若x,y∈R,求x+y≥0的概率.19.已知椭圆G a>b>0的离心率为,右焦点为,0.斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P-32.1求椭圆G的方程;2求△PAB的面积.20.已知函数为自然对数的底数.1若曲线在点处的切线平行于轴求的值;2求函数的极值;3当的值时若直线与曲线没有公共点求的最大值.
21.给定椭圆,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为,其短轴上的一个端点到的距离为.
(1)求椭圆的方程和其“准圆”方程;
(2)点是椭圆的“准圆”上的动点,过点作椭圆的切线交“准圆”于点.(ⅰ)当点为“准圆”与轴正半轴的交点时,求直线的方程并证明;(ⅱ)求证线段的长为定值并求该定值.参考答案DDBBADDACC
11.经过椭圆上一点M(x0,y0)的切线方程为
12.
1313.
14.
15.
16.,当时,;当时,;故在单调减少,在单调增加.的极大值,极小值
17.解1将2×2列联表中的数据代入公式计算,得χ2===≈
4.
762.由于
4.762>
3.841,所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.2从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={a1,a2,b1,a1,a2,b2,a1,a2,b3,a1,b1,b2,a1,b1,b3,a1,b2,b3,a2,b1,b2,a2,b1,b3,a2,b2,b3,b1,b2,b3},其中ai表示喜欢甜品的学生,i=1,2,bj表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,
3.Ω由10个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件,则A={a1,b1,b2,a1,b1,b3,a1,b2,b3,a2,b1,b2,a2,b1,b3,a2,b2,b3,b1,b2,b3}.事件A由7个基本事件组成,因而PA=.
18.1设“x+y≥0,x,y∈Z”为事件A,x,y∈Z,x∈
[02],即x=012;y∈[-11],即y=-
101.则基本事件有0,-1,00,01,1,-1,10,11,2,-1,20,21共9个.其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个,∴PA=.故x,y∈Z,x+y≥0的概率为.2设“x+y≥0,x,y∈R”为事件B,∵x∈
[02],y∈[-11]则基本事件为如图四边形ABCD区域,事件B包括的区域为其中的阴影部分.∴PB====,故x,y∈R,x+y≥0的概率为.
19.解由已知得,,.解得.又b2=a2-c2=4,所以椭圆G的方程为.设直线l的方程为y=x+m.由得4x2+6mx+3m2-12=0.
①设A,B的坐标分别为x1,y1,x2,y2x1<x2,AB中点为Ex0,y0,则,y0=x0+m=.因为AB是等腰△PAB的底边,所以PE⊥AB.所以PE的斜率.解得m=2.此时方程
①为4x2+12x=0.解得x1=-3,x2=0.所以y1=-1,y2=2.所以|AB|=.此时,点P-32到直线AB x-y+2=0的距离为,所以△PAB的面积S=|AB|·d=.
20.解:Ⅰ由得.又曲线在点处的切线平行于轴得即解得.Ⅱ
①当时为上的增函数所以函数无极值.
②当时令得.;.所以在上单调递减在上单调递增故在处取得极小值且极小值为无极大值.综上当时函数无极小值;当在处取得极小值无极大值.Ⅲ当时令则直线:与曲线没有公共点等价于方程在上没有实数解.假设此时又函数的图象连续不断由零点存在定理可知在上至少有一解与“方程在上没有实数解”矛盾故.
21.解
(1),椭圆方程为,准圆方程为.
(2)(ⅰ)因为准圆与轴正半轴的交点为,设过点且与椭圆相切的直线为,所以由得.因为直线与椭圆相切,所以,解得,所以方程为.,.(ⅱ)
①当直线中有一条斜率不存在时,不妨设直线斜率不存在,则,当时,与准圆交于点,此时为(或),显然直线垂直;同理可证当时,直线垂直.
②当斜率存在时,设点,其中.设经过点与椭圆相切的直线为,所以由得.由化简整理得,因为,所以有.设的斜率分别为,因为与椭圆相切,所以满足上述方程,所以,即垂直.综合
①②知因为经过点,又分别交其准圆于点,且垂直.所以线段为准圆的直径,,所以线段的长为定值.。