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2019-2020年高二下学期收心考试(2月月考)数学(理)试题含答案
一、选择题本大题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.在△ABC中,已知A=30°,a=8,b=8,则S△ABC等于 .A.32B.16C.32或16D.32或162.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a8=15-a5,则S9等于 .A.60B.45C.36D.183.已知等比数列{an}的公比q=2,则的值为 .A.B.C.D.14.在等比数列{an}中,a1=2,前n项和Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则Sn等于 .A.2n+1-2B.3nC.2nD.3n-15.若a>b>0,则下列不等式总成立的是 .A.>B.a+>b+C.a+>b+D.>6.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=4x+y的最大值为 .A.4B.11C.12D.147.“α=+2kπk∈Z”是“cos2α=”的 .A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.若直线l的方向向量为b,平面α的法向量为n,则可能使l∥α的是 .A.b=1,0,0,n=-2,0,0B.b=1,3,5,n=1,0,1C.b=0,2,1,n=-1,0,-1D.b=1,-1,3,n=0,3,19.已知a=cosα,1,sinα,b=sinα,1,cosα,则向量a+b与a-b的夹角是 .A.90°B.60°C.30°D.0°10.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于Ax1,y1,Bx2,y2两点,如果x1+x2=6,那么|AB|等于 .A.10B.8C.6D.411.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 .A.B.C.D.12.设双曲线-=1a>0,b>0的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率等于 .A.B.2C.D.
二、填空题本大题共4小题,每小题4分,共20分,将答案填在题中的横线上13.已知a,b,c分别为△ABC的三边,且3a2+3b2-3c2+2ab=0,则tanC=________.14.观察下面的数阵,则第20行最左边的数是________.12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25… … … … … …15.双曲线-=1的焦距是__________.16.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M和N分别是A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为__________.
三、解答题本大题共4小题,共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(12分)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边,若△ABC面积为,c=2,A=60°,求a、b及角C的值.18.(12分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,是与an+12的等比中项.1求证数列{an}是等差数列;2若bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn.19.(14分)如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=AD.1求异面直线BF与DE所成的角的大小;2证明平面AMD⊥平面CDE;3求二面角ACDE的余弦值.20.(14分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证直线l过定点,并求出该定点的坐标.xx学年下学期起点考试理科数学答案1.答案D解析由正弦定理=,得sinB===.∴B=60°或120°.从而知C=90°或C=30°.∴S△ABC=absinC=×8×8sin90°=32,或S△ABC=absinC=×8×8sin30°=16.2.答案B解析a2+a8=2a5=15-a5,∴a5=5,S9=9a5=45.3.答案A解析====或===.4.答案C解析∵an=2·qn-1,∴an+1=2qn-1+1.∵{an+1}是等比数列,∴==为常数,仅当q=1时,符合题意;∴Sn=2n,当q≠1时不为常数.故答案为C.5.答案C解析由a>b>0⇒0<<⇒a+>b+.6.答案B解析只需画出线性规划区域,如图.可知,z=4x+y在A2,3处取得最大值11.7.答案A解析当α=+2kπk∈Z时,cos2α=cos=cos=.反之当cos2α=时,有2α=2kπ+k∈Z⇒α=kπ+k∈Z,故应选A.8.答案D解析若l∥α,则b·n=0.将各选项代入,知D选项正确.9.答案A解析∵|a|=|b|=,∴a+b·a-b=a2-b2=0.故向量a+b与a-b的夹角是90°.10.答案B解析由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=6+2=8.11.答案D解析建立如图所示空间直角坐标系,得D0,0,0,B2,2,0,C10,2,1,B12,2,1,D10,0,1,则,,.设平面BD1的法向量n=x,y,z.∴∴取n=1,-1,0.设BC1与平面BD1所成的角为θ,则.12.答案C解析双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,∵y=x2+1与渐近线相切,故x2+1±x=0只有一个实根,∴-4=0,∴=4,∴=5,∴e=.13.答案-2解析cosC==-,∴C>90°,sinC=,∴tanC==-2.14.答案362解析由题得每一行数字个数分别为a1=1,a2=3,a3=5,…,an=2n-1,它们成等差数列,则前19行总共有==361个数,因此第20行最左边的数为362.15.答案8解析依题意a2=m2+12,b2=4-m2,所以c2=a2+b2=16,c=4,2c=8.16.答案解析建立空间直角坐标系如图,则M,N,A1,0,0,C0,1,0,∴,,∴.即直线AM与CN所成角的余弦值为.17.解因为S=bcsinA=,所以b·2sin60°=,得b=1.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,所以a2=12+22-2×1×2cos60°=3,则a=.又由正弦定理=,得sinC===1,∴C=90°.18.解1证明由是与an+12的等比中项,得Sn=an+12.当n=1时,a1=a1+12,∴a1=1.当n≥2时,Sn-1=an-1+12,∴an=Sn-Sn-1=a-a+2an-2an-1,即an+an-1an-an-1-2=0.∵an>0,∴an-an-1-2=0,即an-an-1=2.∴数列{an}是等差数列.2解析数列{an}首项a1=1,公差d=2,通项公式为an=2n-1.则bn=,则Tn=+++…+.
①两边同时乘以,得Tn=+++…+.
②①-
②,得.解得Tn=3-.19.解如图所示,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点.设AB=1,依题意得点B1,0,0,C1,1,0,D0,2,0,E0,1,1,F0,0,1,M.1,,于是.∴异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.2证明由,,,可得,.因此,CE⊥AM,CE⊥AD.又AM∩AD=A,故CE⊥平面AMD.而CE⊂平面CDE,所以平面AMD⊥平面CDE.8分3设平面CDE的法向量为u=x,y,z,则于是令z=1,可得u=1,1,1.又∵由题设,平面ACD的一个法向量为v=0,0,1.∴cos〈u,v〉===.∵二面角ACDE为锐角,∴其余弦值为.20.解
(1)由题意设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由已知得a+c=3,a-c=1,∴a=2,c=1.∴b2=a2-c2=3.∴椭圆的标准方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,即3+4k2-m2>0,则又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=,∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),∴kAD·kBD=-1,即·=-1.∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0.∴∴7m2+16mk+4k2=0.解得m1=-2k,m2=-,且均满足3+4k2-m2>0.当m1=-2k时,l的方程为y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾.当m2=-k时,l的方程为y=k(x-),直线过定点(,0).∴直线l过定点,定点坐标为(,0).。