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2019-2020年高二下学期数学(理)期末考试模拟试卷2一.填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)1.xx·常州质检已知复数z=-1+ii为虚数单位,则=________.解析因为z·=-1+i-1-i=2,z-=-1+i--1-i=2i,所以===-i.2.定义若z2=a+bia,b∈R,i为虚数单位,则称复数z是复数a+bi的平方根.根据定义,则复数-3+4i的平方根是________.解析设x+yi2=-3+4i,则解得或
3.从123456六个数字中,选出一个偶数和两个奇数,组成一个没有重复数字的三位数,这样的三位数共有____个.544.有5件不同的产品排成一排,其中A、B两件产品排在一起的不同排法有______种.
485.xx·昆明调研航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验,要求2艘攻击型核潜艇一前一后,3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右,每侧3艘,同侧不能都是同种舰艇,则舰艇分配方案的方法数为________.解析核潜艇排列数为A,6艘舰艇任意排列的排列数为A,同侧均是同种舰艇的排列数为AA×2,则舰艇分配方案的方法数为AA-AA×2=
1296.
6.xx·石家庄模拟有4名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛,每项比赛至少有1人参加,每名同学只参加一项比赛,另外甲同学不能参加跳舞比赛,则不同的参赛方案的种数为________用数字作答.解析依题意,当甲1人一组时,共有CCA=12种不同参赛方式;当甲和另1人一组时,共有CAA=12种不同参赛方式,所以共有24种不同参赛方式.7.xx·长春模拟已知点B是点A37,-4在xOz平面上的射影,则2等于________.258.已知点A,B,C的坐标分别为010,-10,-1,211,点P的坐标是x0,y,若PA⊥平面ABC,则点P的坐标是________.解析=-x1,-y,=-1,-1,-1,=201,∵PA⊥平面ABC,∴⊥,⊥,即·=x+y-1=0,·=2x+y=0,∴x=-1,y=2,故P点的坐标是-102.9.在三棱锥PABC中,G为△ABC的重心,设=a,=b,=c,则=________用a,b,c表示.解析如图,取BC的中点D,∵G为△ABC的重心,则在△ABC中,==+.∴-=-+-∴=++=a+b+c.10.的二项展开式中x3的系数为_________.
11.已知某一随机变量X的概率分布表如右图,且EX=3,则VX=.ξ4a9P
0.
50.1b
12.已知某一随机变量ξ的概率分布如下,且Eξ=
6.3,则a的值为.
713.从1=122+3+4=323+4+5+6+7=52中得出的一般性结论是 . n+n+1+n+2+…+3n-2=2n-12n∈N*
14.用数学归纳法证明n+1n+2…n+n=2n·1·3…2n+1n∈N*,从“k到k+1”左端需乘的代数式是________.左端需乘的代数式是=22k+1.二.解答题(本大题共6道题,计90分.解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤)
15.设复数,,是虚数单位),且复数满足,复数在复平面上对应的点在第
一、三象限的角平分线上.1求复数;2若为纯虚数(其中)求实数的值.解1设,),由得
①…2分又复数=在复平面上对应的点在第
一、三象限的角平分线上,则即
②…………4分由
①②联立的方程组得…………6分则;…………8分;2…………11分;为纯虚数,…………13分;解得.………14分16.(15江苏)已知,向量是矩阵的属性特征值的一个特征向量,求矩阵以及它的另一个特征值.【答案】另一个特征值为.【解析】试题分析由矩阵特征值与特征向量可列出关于xy的方程组,再根据特征多项式求出矩阵另一个特征值试题解析由已知,得,即,则,即,所以矩阵.从而矩阵的特征多项式,所以矩阵的另一个特征值为.考点矩阵运算,特征值与特征向量17.
(1)求的展开式中的常数项;
(2)若的展开式中的系数是-84,求的值;
(3)求证能被64整除n∈N*解 1设第项为常数项,则令,得,即第7项为常数项.T7=6C=.∴常数项为.2,令,得,∵的系数是-84,∴,∴a3=1,∴a=
1.
(3)证明 ∵9·9n-8n-9=98+1n-8n-9=9C8n+C8n-1+…+C·8+C·1-8n-9=98n+C8n-1+…+C82+9·8n+9-8n-9=9×828n-2+C·8n-3+…+C+64n=64,显然括号内是正整数,∴原式能被64整除.
18.已知四棱锥的底面是直角梯形底面且是的中点.
(1)求所成角的余弦值;
(2)求二面角的平面角余弦值大小.解以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴,轴建立空间直角坐标系,则各点坐标为……3分
(1)因故,……6分所以即所成角的余弦值是.…8分
(2)由设平面与平面的法向量分别为,,………10分则,,令,则,解得,…………12分同理,由题意可知,二面角的平面角为钝角,所以二面角的平面角余弦值大小为.………14分19.(本题满分16分)一个口袋装有5个红球,3个白球,这些球除颜色外完全相同,某人一次从中摸出3个球,其中红球的个数为.⑴求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率;⑵求的分布列及的数学期望.解
(1)记“摸出的三个球中既有红球又有白球”为事件,由题意知,∴摸出的三个球中既有红球又有白球的概率
(2)的可能取值是0,1,2,3,,,∴的分布列是0123∴的数学期望是
20.已知,,.
(1)当时,试比较与的大小关系;
(2)猜想与的大小关系,并给出证明.解
(1)当时,,,所以;当时,,,所以;当时,,,所以.………3分
(2)由(1),猜想,下面用数学归纳法给出证明
①当时,不等式显然成立.
②假设当时不等式成立,即,那么,当时,,因为,所以.由
①、
②可知,对一切,都有成立.………………10分X0a6P
0.
30.6b。