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2019-2020年高二下学期期中数学试卷含解析
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.1.函数f(x)=x﹣2lnx的极值点为 .2.“x+y=0”是“|x|=|y|”的 条件.3.若函数f(x)=x•ex+f′(﹣1)•x2,则f′(﹣1)= .4.已知p﹣4<x﹣a<4,q(x﹣1)(2﹣x)>0,若¬p是¬q的充分条件,则实数a的取值范围是 .5.命题“∃x∈R,x2+6ax+1<0”为假命题,则a的取值范围是 .6.已知命题p∃x∈R,x﹣2>0,命题q∀x∈R,>x,则下列说法中正确的是 .
①命题p∨q是假命题
②命题p∧q是真命题
③命题p∨(¬q)是假命题
④命题p∧(¬q)是真命题.7.若曲线y=sinx(0<x<π)在点(x0,sinx0)处的切线与直线y=x+1平行,则x0的值为 .8.若等比数列{an}的前n项之积为Tn,则有;类比可得到以下正确结论若等差数列的前n项之和为Sn,则有 .9.如图所示,有一圆锥形容器,其底面半径等于圆锥的高,若以72πcm3/s的速度向该容器注水,则水深10cm时水面上升的速度为 cm/s.10.如图一个质点在第一象限运动,在第一秒钟它由原点运动到点(0,1),而后接着按图所示在与x轴y轴平行的方向运动,且每秒移动一个单位长度,那么416秒后,这个质点所处的位置的坐标是 .11.已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),f
(1)=1,则不等式f(x)<ex﹣1的解集为 .12.若函数f(x)=x3﹣x在(2m,1﹣m)上有最大值,则实数m的取值范围是 .13.已知函数f(x)=x(lnx﹣ax)在区间(,e)上有两个极值,则实数a的取值范围为 .14.已知函数f(x)=ax2﹣(2a+1)x+2lnx(a∈R).g(x)=x2﹣2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),则a的取值范围是 .
二、解答题本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域内作答.15.
(1)求证+>1+;
(2)已知x,y∈R+,且x+y>1,求证与中至少有一个小于3.16.已知函数f(x)=x3﹣ax2(其中a是实数),且f′
(1)=﹣3.
(1)求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间[﹣1,3]上的最小值.17.设命题p曲线y=x2+2x+2t﹣4与x轴没有交点;命题q方程+=1所表示的曲线是焦点在x轴的椭圆.
(1)若命题p为真命题,求实数t的取值范围;
(2)如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数t的取值范围.18.烟囱向其周围地区散落烟尘而造成环境污染.已知A、B两座烟囱相距3km,其中A烟囱喷出的烟尘量是B烟囱的8倍,经环境检测表明落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比,而与烟囱喷出的烟尘量成正比.(比例系数为k).若C是连接两烟囱的线段AB上的点(不包括端点),设AC=xkm,C点的烟尘浓度记为y.(Ⅰ)写出y关于x的函数表达式;(Ⅱ)是否存在这样的点C,使该点的烟尘浓度最低?若存在,求出AC的距离;若不存在,说明理由.19.
(1)函数f(x)=lnx﹣(x>0,a∈R).当a>0时,求证函数f(x)的图象存在唯一零点的充要条件是a=1;
(2)求证不等式﹣<对于x∈(1,2)恒成立.20.已知函数f(x)=m(x﹣1)2﹣2x+3+lnx,m∈R.
(1)当m=0时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)当m>0时,若曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点,求实数m的值. xx学年江苏省南通市海门实验学校高二(下)期中数学试卷参考答案与试题解析
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.1.函数f(x)=x﹣2lnx的极值点为 2 .【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】先求出导函数,找到导数为0的根,在检验导数为0的根两侧导数的符号即可得出结论.【解答】解f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=1﹣==0⇒x=2,又∵x>0,∴0<x<2时,f′(x)>0⇒f(x)为增函数,x>2时,f′(x)<0,的f(x)为减函数,故x=2是函数的极值点,故答案为2. 2.“x+y=0”是“|x|=|y|”的 充分不必要 条件.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】由|x|=|y|,解得x±y=0,即可判断出结论.【解答】解由|x|=|y|,解得x±y=0,∴“x+y=0”是“|x|=|y|”的充分不必要条件故答案为充分不必要. 3.若函数f(x)=x•ex+f′(﹣1)•x2,则f′(﹣1)= 0 .【考点】导数的运算.【分析】先求f(x)的导数,再求导数值.【解答】解f′(x)=(x+1)•ex+f′(﹣1)•2x,∴f′(﹣1)=(﹣1+1)•e﹣1+f′(﹣1)•2×(﹣1),∴f′(﹣1)=0,故答案为0. 4.已知p﹣4<x﹣a<4,q(x﹣1)(2﹣x)>0,若¬p是¬q的充分条件,则实数a的取值范围是 [﹣2,5] .【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】分别求出关于p,q成立的x的范围,结合q是p的必要条件,得到关于a的不等式组,解出即可.【解答】解由﹣4<x﹣a<4得,a﹣4<x<a+4,即p a﹣4<x<a+4.∵(x﹣1)(2﹣x)>0,∴1<x<2,即q1<x<2,若¬p是¬q的充分条件,则q是p的充分条件,则,解得﹣2≤a≤5,∴实数a的取值范围是﹣2≤a≤5,故答案为[﹣2,5]. 5.命题“∃x∈R,x2+6ax+1<0”为假命题,则a的取值范围是 .【考点】命题的真假判断与应用.【分析】由命题间的逻辑关系可知,原命题为假命题,则命题的否定为真,只需判断命题的否定即可.【解答】解由命题“∃x∈R,x2+6ax+1<0”为假命题,∴命题的否定为“∀x∈R,x2+6ax+1≥0”为真命题,∴△=36a2﹣4≤0,∴a的范围为,故答案为. 6.已知命题p∃x∈R,x﹣2>0,命题q∀x∈R,>x,则下列说法中正确的是
④ .
①命题p∨q是假命题
②命题p∧q是真命题
③命题p∨(¬q)是假命题
④命题p∧(¬q)是真命题.【考点】复合命题的真假.【分析】先判定命题p与q的真假,再利用复合命题真假的判定方法即可得出.【解答】解命题p∃x∈R,x﹣2>0,是真命题,例如取x=3.命题q∀x∈R,>x,是假命题,例如取x=4.可得p∨q是真命题,命题p∧q是假命题,命题p∨(¬q)是真命题,命题p∧(¬q)是真命题.因此只有
④正确.故答案为
④. 7.若曲线y=sinx(0<x<π)在点(x0,sinx0)处的切线与直线y=x+1平行,则x0的值为 .【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】利用直线平行斜率相等求出切线的斜率,再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率,列出方程即得.【解答】解∵y=sinx,∴y′=cosx,∵曲线y=sinx(0<x<π)在点(x0,sinx0)处的切线与直线y=x+1平行,∴cosx0=,∵0<x0<π∴x0=.故答案为. 8.若等比数列{an}的前n项之积为Tn,则有;类比可得到以下正确结论若等差数列的前n项之和为Sn,则有 S3n=3(S2n﹣Sn) .【考点】类比推理.【分析】本小题主要考查类比推理,由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果.【解答】解在等差数列中S3n=Sn+(S2n﹣Sn)+(S3n﹣S2n)=(a1+a2+…+an)++(S2n﹣Sn)+(a2n+1+a2n+2+…+a3n)因为a1+a3n=a2+a3n﹣1=…=an+a2n+1=an+1+a2n所以Sn+(S3n﹣S2n)=2(S2n﹣Sn),所以S3n=3(S2n﹣Sn).故答案为S3n=3(S2n﹣Sn). 9.如图所示,有一圆锥形容器,其底面半径等于圆锥的高,若以72πcm3/s的速度向该容器注水,则水深10cm时水面上升的速度为 cm/s.【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【分析】先求高度与时间的函数关系式h=6•,再利用导数的方法求解,由高度可知时间,从而得解.【解答】解设经过ts水深为h,∴72πt=πh3.∴h=6•.∴h′=2令h=10,t=()3.∴h′=.即水面上升的速度为.故答案为. 10.如图一个质点在第一象限运动,在第一秒钟它由原点运动到点(0,1),而后接着按图所示在与x轴y轴平行的方向运动,且每秒移动一个单位长度,那么416秒后,这个质点所处的位置的坐标是 (20,16) .【考点】归纳推理.【分析】归纳走到(n,n)处时,移动的长度单位及方向.【解答】解质点到达(1,1)处,走过的长度单位是2,方向向右;质点到达(2,2)处,走过的长度单位是6=2+4,方向向上;质点到达(3,3)处,走过的长度单位是12=2+4+6,方向向右;质点到达(4,4)处,走过的长度单位是20=2+4+6+8,方向向上;…猜想质点到达(n,n)处,走过的长度单位是2+4+6+…+2n=n(n+1),且n为偶数时运动方向与y轴相同,n为奇数时运动方向与x轴相同.当质点到达(20,20)后需要420秒,则416秒时质点位置是(20,16).故答案为(20,16) 11.已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),f
(1)=1,则不等式f(x)<ex﹣1的解集为 (1,+∞) .【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】构造函数g(x)=(x∈R),研究g(x)的单调性,结合原函数的性质和函数值,即可求解.【解答】解设g(x)=(x∈R),则g′(x)=,∵f′(x)<f(x),∴f′(x)﹣f(x)<0∴g′(x)<0,∴y=g(x)在定义域上单调递减,∵f(x)<ex﹣1,f
(1)=1,∴g(x)<g
(1)∴x>1,∴不等式f(x)<ex﹣1的解集为(1,+∞).故答案为(1,+∞). 12.若函数f(x)=x3﹣x在(2m,1﹣m)上有最大值,则实数m的取值范围是 [﹣1,﹣) .【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】因为给的是开区间,最大值一定是在该极大值点处取得,因此对原函数求导、求极大值点,求出函数极大值时的x值,然后让极大值点落在区间(2m,1﹣m)内,依此构造不等式.即可求解实数m的值【解答】解由题f(x)=x2﹣1,令f(x)<0解得﹣1<x<1;令f(x)>0解得x<﹣1或x>1由此得函数在(﹣∞,﹣1)上是增函数,在(﹣1,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,故x=﹣1是函数f(x)的极大值点,f(﹣1)=,x3﹣x=,解得x=2,故函数在x=﹣1处取到极大值2,判断知此极大值必是区间(2m,1﹣m)上的最大值,∴,解得﹣1≤m<﹣,故实数m的取值范围是[﹣1,﹣),故答案为[﹣1,﹣) 13.已知函数f(x)=x(lnx﹣ax)在区间(,e)上有两个极值,则实数a的取值范围为 (0,) .【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】求出函数的导数,问题等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点,求出a的临界值,即可求出实数a的取值范围.【解答】解函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,等价于f′(x)=lnx﹣2ax+1有两个零点,等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点,当a=时,直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切,如图示,由图可知,当0<a<时,y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点.则实数a的取值范围是(0,)故答案为. 14.已知函数f(x)=ax2﹣(2a+1)x+2lnx(a∈R).g(x)=x2﹣2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),则a的取值范围是 a>ln2﹣1 .【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】由已知,在(0,2]上有fmax(x)<gmax(x),从而求导确定函数的最值,从而由最值确定a的取值范围.【解答】解由已知,在(0,2]上有fmax(x)<gmax(x).由已知,gmax(x)=0,f′(x)=,(x>0);当a≤0时,x>0,ax﹣1<0,在区间(0,2]上,f′(x)>0;f(x)在(0,2]上单调递增,
①当a≤时,>2,f(x)在(0,2]上单调递增,故fmax(x)=f
(2)=2a﹣2(2a+1)+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2,所以,﹣2a﹣2+2ln2<0,解得a>ln2﹣1,故ln2﹣1<a≤.
②当a>时,0<<2,f(x)在(0,]上单调递增,在[,2]上单调递减,故fmax(x)=f()=﹣2﹣﹣2lna.由a>可知lna>ln>ln=﹣1,2lna>﹣2,﹣2lna<2,所以,﹣2﹣2lna<0,fmax(x)<0,综上所述a>ln2﹣1.故答案为a>ln2﹣1.
二、解答题本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域内作答.15.
(1)求证+>1+;
(2)已知x,y∈R+,且x+y>1,求证与中至少有一个小于3.【考点】反证法与放缩法.【分析】
(1)两边平方,使用分析法逐步找出使不等式成立的条件;
(2)结论中结构较复杂,而其否定结构简单,故可用反证法证明其否定不成立,以此来证明结论成立.【解答】证明
(1)(分析法)要证明+>1+,只要证(+)2>(1+)2,即证>2+,即证35>17+4,即证9>2,即证81>52,显然81>52恒成立,∴求证+>1+;
(2)(反证法)假设均不小于2,即≥2,≥2,∴1+x≥2y,1+y≥2x.将两式相加得x+y≤2,与已知x+y>2矛盾,故中至少有一个小于2. 16.已知函数f(x)=x3﹣ax2(其中a是实数),且f′
(1)=﹣3.
(1)求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间[﹣1,3]上的最小值.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】
(1)求导函数,利用f′
(1)=3,确定a的值,从而可得切点坐标,即可求得切线的方程;
(2)求导函数,确定函数的单调性,即可求得函数在区间[0,2]上的最大值.【解答】解
(1)由于函数f(x)=x3﹣ax2,则可得f′(x)=3x2﹣2ax,∵f′
(1)=﹣3,∴3﹣2a=﹣3,∴a=3又当a=3时,f(x)=x3﹣3x2,∴f
(1)=﹣2,∴曲线y=f(x)在(1,f
(1))处的切线方程为y+2=﹣3(x﹣1),即3x+y﹣1=0.
(2)由于f′(x)=3x2﹣6x=3x(x﹣2),x∈[﹣1,3]令f′(x)=0,解得x=0或x=2,当f′(x)>0时,即﹣1≤x<0,或2<x≤3,函数单调递增,当f′(x)<0时,即0<x<2,函数单调递减,当x=2时,函数有极小值,极小值为f
(2)=﹣4,∵f(﹣1)=﹣4,∴f(x)在区间[﹣1,3]上的最小值为﹣4. 17.设命题p曲线y=x2+2x+2t﹣4与x轴没有交点;命题q方程+=1所表示的曲线是焦点在x轴的椭圆.
(1)若命题p为真命题,求实数t的取值范围;
(2)如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数t的取值范围.【考点】复合命题的真假.【分析】
(1)根据二次函数的性质,得到关于t的不等式,解出即可;
(2)求出q为真时t的范围,根据“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,得到p,q一真一假,从而求出t的范围即可.【解答】解
(1)若p为真命题,则△=22﹣4(2t﹣4)<0,…,解得;…
(2)若命题q方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆为真,则有4﹣t>t﹣2>0,…解得2<t<3.…又由题意“p∨q”为真,“p∧q”为假,知命题p与q有且只有一个是正确的,…故有
①若p真q假时,则有t≥3;
②若p假q真时,则有.综上所述,t的取值范围是或t≥3.… 18.烟囱向其周围地区散落烟尘而造成环境污染.已知A、B两座烟囱相距3km,其中A烟囱喷出的烟尘量是B烟囱的8倍,经环境检测表明落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比,而与烟囱喷出的烟尘量成正比.(比例系数为k).若C是连接两烟囱的线段AB上的点(不包括端点),设AC=xkm,C点的烟尘浓度记为y.(Ⅰ)写出y关于x的函数表达式;(Ⅱ)是否存在这样的点C,使该点的烟尘浓度最低?若存在,求出AC的距离;若不存在,说明理由.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数模型的选择与应用.【分析】
(1)设B处烟尘量为1,则A处烟尘量为8,根据烟尘浓度与到烟囱距离的关系可求得A、B在C处的烟尘浓度,然后两者相加可得y关于x的函数.
(2)对
(1)中函数进行求导,然后令导函数等于0求x的值,然后判断原函数的单调性进而可求得最小值.【解答】解
(1)设B处烟尘量为1,则A处烟尘量为8,∴A在C处的烟尘浓度为B在C处的烟尘浓度为.其中0<x<3.从而处总的烟尘浓度为.(0<x<3);
(2)由=,解得x=2.故当0<x<2时,y′<0,原函数单调递减.当2<x<3时y′>0,原函数单调递增.∴x=2时,y取得极小值,且是最小值.答在连接西烟囱的线段AB上,距烟囱A处2km处的烟尘浓度最低. 19.
(1)函数f(x)=lnx﹣(x>0,a∈R).当a>0时,求证函数f(x)的图象存在唯一零点的充要条件是a=1;
(2)求证不等式﹣<对于x∈(1,2)恒成立.【考点】利用导数研究函数的单调性;必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】
(1)充分性a=1时,f′(x)=(x>0).利用导数研究函数的单调性极值最值可得x=1时,函数f(x)取得极小值也是最小值.即可证明.必要性f(x)=0在(0,+∞)上有唯一解,且a>0,由导数的性质可得在x=a处有极小值也是最小值f(a),f(a)=lna﹣a+1再利用导数研究其单调性极值与最值即可证明.
(2)1<x<2,可得,令F(x)=(2x+1)lnx﹣3(x﹣1),又F
(1)=0,利用导数只要证明F′(x)>0即可.【解答】证明
(1)充分性f′(x)=﹣a=(x>0),a=1时,f′(x)=(x>0).在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴x=1时,函数f(x)取得极小值也是最小值.即fmin(x)=f
(1)=0.∴a=1时,函数f(x)的图象在(0,+∞)上有唯一的一个零点x=1.必要性f(x)=0在(0,+∞)上有唯一解,且a>0,当a>0时,单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a).在x=a处有极小值也是最小值f(a),f(a)=lna﹣a+1.令g(a)=lna﹣a+1,g′(a)=﹣1=.当0<a<1时,g′(a)>0,在(0,1)上单调递增;当a>1时,g′(a)<0,在(1,+∞)上单调递减.∴gmax(a)=g
(1)=0,g(a)=0只有唯一解a=1.f(x)=0在(0,+∞)上有唯一解时必有a=1.综上在a>0时,f(x)=0在(0,+∞)上有唯一解的充要条件是a=1.
(2)证明∵1<x<2,∴,令F(x)=(2x+1)lnx﹣3(x﹣1),∴F′(x)=2lnx+﹣1,令,则p′(x)=.∵1<x<2,∴p′(x)>0,∴∴F′(x)在(1,2)上单调递增,∴F′(x)>F′
(1)=0,∴F(x)在(1,2)上单调递增.∴F(x)>F
(1)=0,(2x+1)lnx﹣3(x﹣1)>0,即不等式对于x∈(1,2)恒成立. 20.已知函数f(x)=m(x﹣1)2﹣2x+3+lnx,m∈R.
(1)当m=0时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)当m>0时,若曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点,求实数m的值.【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的零点;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】
(1)求出f′(x),在定义域内解不等式f′(x)>0,即得f(x)的单调增区间;
(2)先求切线方程为y=﹣x+2,再由切线L与C有且只有一个公共点,转化为m(x﹣1)2﹣x+1+lnx=0有且只有一个实数解,从而可求实数m的范围.【解答】解
(1)当m=0时,函数f(x)=﹣2x+3+lnx由题意知x>0,f′(x)=﹣2+=,令f′(x)>0,得0<x<时,所以f(x)的增区间为(0,).
(2)由f′(x)=mx﹣m﹣2+,得f′
(1)=﹣1,知曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y=﹣x+2,于是方程﹣x+2=f(x)即方程m(x﹣1)2﹣x+1+lnx=0有且只有一个实数根;设g(x)=m(x﹣1)2﹣x+1+lnx,(x>0).则g′(x)==,
①当m=1时,g′(x)=≥0,g(x)在(0,+∞)上为增函数,且g
(1)=0,故m=1符合题设;
②当m>1时,由g′(x)>0得0<x<或x>1,由g′(x)=<0得<x<1,故g(x)在区间(0,),(1,+∞)上单调递增,在(,1)区间单调递减,又g
(1)=0,且当x→0时,g(x)→﹣∞,此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点,故m>1不合题意;
③当0<m<1时,由g′(x)=>0得0<x<1或x>,由g′(x)<0得1<x<,故g(x)在区间(0,1),(,+∞)上单调递增,在(1,)区间单调递减,又g
(1)=0,且当x→+∞时,g(x)→+∞,此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点,故0<m<1不合题意;∴由上述知m=1. xx年10月17日。