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文本内容:
2019-2020年高二下学期期末调研数学试卷
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共计70分
1.已知集合,则_________
2.如果复数是实数,则实数_________
3.已知,则的值为_________
4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点P的横、纵坐标,则点P在直线上的概率为_________
5.已知函数,则的值为_________
6.执行下边的程序框图,若,则输出的_________
7.直线平分圆的周长,则__________
8.等比数列的各项均为正数,,前三项的和为21,则__________
9.已知实数满足,若在处取得最小值,则此时__________
10.在R上定义运算⊙⊙,则满足⊙的实数的取值范围是__________
11.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,D为斜边BC的中点,则的值为__________
12.已知函数,则该函数的值域为__________
13.把数列的所有项按照从大到小,左大右小的原则写成如图所示的数表,第行有个数,第行的第个数(从左数起)记为,则可记为__________
14.如图放置的边长为1的正三角形PAB沿轴滚动,设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是,在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积记为S,则S=__________
二、解答题本大题共6小题,共计90分解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤
15.(本小题满分14分)在△ABC中,AB=,BC=1,
(1)求的值;
(2)求的值
16.(本小题满分14分)如图,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE
(1)求证AE⊥平面BCE;
(2)求证AE∥平面BFD
17.(本小题满分14分)如图,在半径为的圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A、C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长,圆柱的体积为
(1)写出体积V关于的函数关系式;
(2)当为何值时,才能使做出的圆柱形罐子体积V最大?
18.(本小题满分16分)已知函数的定义域为(0,),且,设点P是函数图象上的任意一点,过点P分别作直线和轴的垂线,垂足分别为M、N
(1)求的值;
(2)问是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,请说明理由;
(3)设O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值
19.(本小题满分16分)已知椭圆的左、右顶点分别A、B,椭圆过点(0,1)且离心率
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆上异于A,B两点的任意一点P作PH⊥轴,H为垂足,延长HP到点Q,且PQ=HP,过点B作直线轴,连结AQ并延长交直线于点M,N为MB的中点,试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系
20.(本小题满分16分)已知等差数列中,,令,数列的前项和为
(1)求数列的通项公式;
(2)求证;
(3)是否存在正整数,且,使得,,成等比数列?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由数学II(附加题)
21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤A.[选修4-1几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O外一点,且AC=AB,BC交⊙O于点D已知BC=4,AD=6,AC交⊙O于点E,求四边形ABDE的周长B.[选修4-2矩阵与变换](本小题满分10分)已知二阶矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为,属于特征值3的一个特征向量为,求矩阵AC.[选修4-4坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知直线的参数方程(为参数)和圆C的极坐标方程,判断直线和⊙C的位置关系D.[选修4-5不等式选讲](本小题满分10分)已知是正数,证明[必做题]第22题,第23题,每题10分,共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
22.(本小题满分10分)如图,在四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,∠BAD=90°,PA⊥平面ABCD,AB=1,AD=2,PA=CD=4,求二面角的余弦值
23.本小题满分10分已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球
(1)求取出的4个球均为黑球的概率;
(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;
(3)设为取出的4个球中红球的个数,求的分布列,并求其数学期望E()【试题答案】数学I试题
一、填空题
1.
2.-
13.
4.
5.
26.
7.-
58.
1689.(-1,0)
10.(-2,1)
11.
1812.[1,2]
13.(10,495)
14.
二、解答题
15.解
(1)在△ABC中,∵,∴由正弦定理得,即,∴(7分)
(2)由余弦定理可得(舍)∴(14分)
16.证明
(1)AD⊥平面ABE,AE平面ABE,∴AD⊥AE,在矩形ABCD中,有AD∥BC,∴BC⊥AE∵BF⊥平面ACE,AE平面ABE,∴BF⊥AE,又∵BFBC=B,BF,BC平面BCE,∴AE⊥平面BCE(7分)
(2)设ACBD=H,连接HF,则H为AC的中点∵BF⊥平面ACE,CE平面ABE,∴BF⊥CE,又因为AE=EB=BC,所以F为CE上的中点在△AEC中,FH为△AEC的中位线,则FH∥AE又∵AE平面BFE,而FH平面BFE∴AE∥平面BFD(14分)
17.解
(1)连结OB,∵,∴,设圆柱底面半径为,则,即,所以其中(7分)
(2)由,得因此在(0,)上是增函数,在(,30)上是减函数所以当时,V有最大值(14分)当且仅当,即时取等号,故四边形OMPN面积的最小值(16分)
19.解
(1)因为椭圆经过点(0,1),所以,又椭圆的离心率得,即,由得,所以,故所求椭圆方程为(6分)
(2)设,则,设,∵HP=PQ,∴即,将代入得,所以Q点在以O为圆心,2为半径的圆上,即Q点在以AB为直径的圆O上又A(-2,0),直线AQ的方程为,令,则,又B(2,0),N为MB的中点,∴,,∴,∴,∴直线QN与圆O相切(16分)
20.解
(1)设数列的公差为,由,解得,,∴(4分)
(2)∵,,∴∴∴(8分)
(3)由
(2)知,,∴,,,∵,,成等比数列,∴,即当时,,,符合题意;当时,,无正整数解;当时,,无正整数解;当时,,无正整数解;当时,,无正整数解;当时,,则,而,所以,此时不存在正整数,且,使得,,成等比数列综上,存在正整数,且,使得,,成等比数列(16分)数学II(附加题)
21.[选做题]A.[选修4-1几何证明选讲]解AB=AC=∴,则∴DE=2∴四边形ABDE的周长B.[选修4-2矩阵与变换]解设则∴∴C.[选修4-4坐标系与参数方程]解直线消去参数,得直线的直角坐标方程为;即,两边同乘以得,得⊙C的直角坐标方程为,圆心C到直线的距离,所以直线和⊙C相交D.[选修4-5不等式选讲]证明∵,又均为正整数,∴
22.[必做题]证明如图建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),P(0,0,4),易证为面PAC的法向量,则设面PBC的法向量,,所以所以面PBC的法向量∴因为面PAC和面PBC所成的角为锐角,所以二面角B-PC-A的余弦值为。