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2019-2020年高二下学期段考模拟数学试题Word版含答案命题李远明数学试卷(理)时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={1,a},B={123},则“a=3”是“A⊆B”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 2.设,是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是A.若,,则B.若,,则C.若,,则D.若,,则3.已知命题p“∀x∈
[12],x2-a≥0”;命题q“∃x∈R,使x2+2ax+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是 A.{a|a≤-2或a=1}B.{a|a1}C.{a|a≤-2或1≤a≤2}D.{a|-2≤a≤1}4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为()A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}C.{2,1,3}D.{-2,1,3}5.设二元一次不等式组所表示的平面区域为,使函数的图象过区域的的取值范围是()A.B.C.D.6.过点A03,被圆x-12+y2=4截得的弦长为2的直线的方程是 .A.y=-x+3B.x=0或y=-x+3C.x=0或y=x+3D.x=07.下图是一个正三棱柱的三视图,则正三棱柱的体积为()A.B.C.D.8.设函数的最小正周期为,且,则(A)在单调递减(B)在单调递减(C)在单调递增(D)在单调递增9.已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点在椭圆上,且轴,直线交轴于点.若,则椭圆的离心率是()A.B.C.D.10.已知向量,且,则的取值范围是()A.B.C.D.11.定义设实数x,y满足约束条件,则的取值范围为A.[-2,]B.[-,-]C.[-23]D.[-3,]12.在平面直角坐标系中,若两点P,Q满足条件
①P,Q都在函数的图象上;
②P,Q两点关于直线对称,则称点对P,Q是函数的一对“和谐点对”(注点{PQ}与{QP}看作同一对“和谐点对”)已知函数则此函数的“和谐点对”有(A)0对 (B)1对 (C)2对 (D)3对xx年下学期岳阳县一中高二段考模拟试题学号姓名
一、选择题答案123456789101112
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.、3函数的定义域为14.已知点P是抛物线上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为.15.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=-,则b=________.
16.定义在上的函数如果满足对任意存在常数都有成立,则称是上的有界函数,其中称为函数的界.已知函数在区间上是以3为界的有界函数,则实数的取值范围是.
三、解答题本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.17.(本小题满分10分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.1证明AC⊥BC1;2证明AC1∥平面CDB
1.18.(本小题满分12分)已知等差数列中且是方程的两根数列的前项和.Ⅰ求数列和的通项公式;Ⅱ记求数列的前项的和并证明.19.(本小题满分12分)设A,B分别为双曲线-=1a>0,b>0的左,右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.1求双曲线的方程;2已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M、N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t的值及点D的坐标.20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,SA⊥平面ABCD,AB=2,AD=1,SB=,∠BAD=120°,E在棱SD上.1当SE=3ED时,求证SD⊥平面AEC;2当二面角S-AC-E的大小为30°时,求直线AE与平面CDE所成角的正弦值.21.(本小题满分12分)定义若函数对于其定义域内的某一数,有,则称是的一个不动点.已知函数.1当,时,求函数的不动点;2若对任意的实数b,函数恒有两个不动点,求a的取值范围;3在2的条件下,若图象上两个点A、B的横坐标是函数的不动点,且A、B的中点C在函数的图象上,求b的最小值.(参考公式的中点坐标为)
22.(本小题满分12分)已知抛物线C y2=2pxp>0的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.1求C的方程.2若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E.
①证明直线AE过定点,并求出定点坐标.
②△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.则△ABE的面积S=×4x0++2≥16,当且仅当=x0,即x0=1时,等号成立.所以△ABE的面积的最小值为
16.xx年下学期岳阳县一中高二段考模拟试题数学试卷(理)时间120分钟 满分150分第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={1,a},B={123},则“a=3”是“A⊆B”的 A A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 2.设,是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是BA.若,,则B.若,,则C.若,,则D.若,,则3.已知命题p“∀x∈
[12],x2-a≥0”;命题q“∃x∈R,使x2+2ax+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是A A.{a|a≤-2或a=1}B.{a|a1}C.{a|a≤-2或1≤a≤2}D.{a|-2≤a≤1}4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为(D)A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}C.{2,1,3}D.{-2,1,3}5.设二元一次不等式组所表示的平面区域为,使函数的图象过区域的的取值范围是(C)A.B.C.D.6.过点A03,被圆x-12+y2=4截得的弦长为2的直线的方程是 B .A.y=-x+3B.x=0或y=-x+3C.x=0或y=x+3D.x=07.下图是一个正三棱柱的三视图,则正三棱柱的体积为(D)A.B.C.D.8.设函数的最小正周期为,且,则A(A)在单调递减(B)在单调递减(C)在单调递增(D)在单调递增【答案】A【解析】依题意,,∴函数为偶函数,.又∵,,结合其图像判断可知选A.9.已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点在椭圆上,且轴,直线交轴于点.若,则椭圆的离心率是(D)A.B.C.D.答案D【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查,既体现了几何与向量的交汇,也体现了数形结合的巧妙应用.【解析】对于椭圆,因为,则10.已知向量,且,则的取值范围是(C)A.B.C.D.11.定义设实数x,y满足约束条件,则的取值范围为DA.[-2,]B.[-,-]C.[-23]D.[-3,]12.在平面直角坐标系中,若两点P,Q满足条件
①P,Q都在函数的图象上;
②P,Q两点关于直线对称,则称点对P,Q是函数的一对“和谐点对”(注点{PQ}与{QP}看作同一对“和谐点对”)已知函数则此函数的“和谐点对”有(A)0对 (B)1对 (C)2对 (D)3对C【解析】作出函数的图像,然后作出关于直线对称的图像,与函数的图像有2个不同交点,所以函数的“和谐点对”有2对.第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.、3函数的定义域为、3函数的定义域为( )A.B.C.D.14.已知点P是抛物线上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为.15.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=-,则b=________.9.解析根据余弦定理代入b2=4+7-b2-2×2×7-b×,解得b=
4.答案
416.定义在上的函数如果满足对任意存在常数都有成立,则称是上的有界函数,其中称为函数的界.已知函数在区间上是以3为界的有界函数,则实数的取值范围是.解对区间上任意恒成立设,记可知在区间上递减,在区间上递增所以最大值为-5最小值为1答案
三、解答题本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.17.(本小题满分10分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.1证明AC⊥BC1;2证明AC1∥平面CDB
1.解∵直三棱柱ABCA1B1C1的底面边长分别为AC=3,BC=4,AB=5,∴△ABC为直角三角形,AC⊥BC.∴AC,BC,C1C两两垂直.如图,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则C0,0,0,A3,0,0,B0,4,0,C10,0,4,A13,0,4,B10,4,4,D.1证明∵=-3,0,0,=0,-4,4,∴·=0,AC⊥BC
1.2证法一设CB1与C1B的交点为E,连接DE,则E0,2,2,=,=-3,0,4,∴=,DE∥AC
1.∵DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,∴AC1∥平面CDB
1.证法二易知=-3,0,4,=,=0,4,4.设平面CDB1的一个法向量为n=x,y,z,则取y=3得x=-4,z=-3,∴n=-4,3,-3.∵·n=-3×-4+0×3+4×-3=
0.∴⊥n.又AC1⊄平面CDB1,∴AC1∥平面CDB
1.18.(本小题满分12分)已知等差数列中且是方程的两根数列的前项和.Ⅰ求数列和的通项公式;Ⅱ记求数列的前项的和并证明.【考查目标】数列单调性、等差数列求通项、简单递推公式求等比数列定义通项;错位相减法.〖难度级数〗:☆☆.〖解〗Ⅰ由得,所以数列是递增数列1分所以.由解得2分公差,所以3分由得,当时,;4分当时,得5分所以是首项为,公比为的等比数列,所以6分Ⅱ由
(1)得,7分所以由错位相减法得9分因为所以是递增数列,所以故19.(本小题满分12分)设A,B分别为双曲线-=1a>0,b>0的左,右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.1求双曲线的方程;2已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M、N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t的值及点D的坐标.解析 1由题意知a=2,∴一条渐近线为y=x,即bx-2y=0,∴=,∴b2=3,∴双曲线的方程为-=
1.2设Mx1,y1,Nx2,y2,Dx0,y0,则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,将直线方程代入双曲线方程得x2-16x+84=0,则x1+x2=16,y1+y2=12,∴∴∴t=4,点D的坐标为4,3.20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,SA⊥平面ABCD,AB=2,AD=1,SB=,∠BAD=120°,E在棱SD上.1当SE=3ED时,求证SD⊥平面AEC;2当二面角S-AC-E的大小为30°时,求直线AE与平面CDE所成角的正弦值.3.解1在平行四边形ABCD中,由AD=1,CD=2,∠BAD=120°,易知CA⊥AD.又SA⊥平面ABCD,所以CA⊥SA,所以CA⊥平面SAD,所以SD⊥AC,在直角三角形SAB中,易得SA=,在直角三角形SAD中,∠ADE=60°,SD=2,又SE=3ED,所以DE=,可得AE===.所以AE2+DE2=AD2,所以SD⊥AE.又因为AC∩AE=A,所以SD⊥平面AEC.2依题意易知CA⊥AD,SA⊥平面ACD.以A为坐标原点,AC、AD、AS分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则易得A000,C,00,D010,S00,.1由SE∶ED=3,有E0,,,易得,从而SD⊥平面ACE.2由AC⊥平面SAD,二面角EACS的平面角,∠EAS=30°.又易知∠ASD=30°,则E为SD的中点,即E0,,.设平面SCD的法向量为n=x,y,z,则,令z=1,得n=1,,1.从而cos〈,n〉===.直线AE与平面CDE所成角的正弦值大小为.21.(本小题满分12分)定义若函数对于其定义域内的某一数,有,则称是的一个不动点.已知函数.1当,时,求函数的不动点;2若对任意的实数b,函数恒有两个不动点,求a的取值范围;3在2的条件下,若图象上两个点A、B的横坐标是函数的不动点,且A、B的中点C在函数的图象上,求b的最小值.(参考公式的中点坐标为)【解析】1,由,解得或,所以所求的不动点为或-
2.2令,则
①由题意,方程
①恒有两个不等实根,所以,即恒成立,则,故3设Ax1,x1,Bx2,x2x1≠x2,,又AB的中点在该直线上,所以,∴,而x
1、x2应是方程
①的两个根,所以,即,∴=-=-∴当a=∈0,1时,bmin=-
222.(本小题满分12分)已知抛物线C y2=2pxp>0的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.1求C的方程.2若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E.
①证明直线AE过定点,并求出定点坐标.
②△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.21.解1由题意知F.设Dt,0t0,则FD的中点为.因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知3+=,解得t=3+p或t=-3舍去.由=3,解得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.2
①证明由1知F1,0.设Ax0,y0x0y0≠0,DxD,0xD0.因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1,由xD0得xD=x0+2,故Dx0+2,0.故直线AB的斜率kAB=-.因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为y=-x+b,代入抛物线方程得y2+y-=0,由题意Δ=eq\f64y+=0,得b=-.设ExE,yE,则yE=-,xE=eq\f4y.当y≠4时,kAE==-eq\f\f4y0+y0\f4y-\fy4=eq\f4y0y-4,可得直线AE的方程为y-y0=eq\f4y0y-4x-x0,由y=4x0,整理可得y=eq\f4y0y-4x-1,直线AE恒过点F1,0.当y=4时,直线AE的方程为x=1,过点F1,0.所以直线AE过定点F1,0.
②由
①知,直线AE过焦点F1,0,所以|AE|=|AF|+|FE|=x0+1+=x0++
2.设直线AE的方程为x=my+1,因为点Ax0,y0在直线AE上,故m=.设Bx1,y1.直线AB的方程为y-y0=-x-x0,由y0≠0,得x=-y+2+x
0.代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0,所以y0+y1=-,可求得y1=-y0-,x1=+x0+
4.所以点B到直线AE的距离为d===4,则△ABE的面积S=×4x0++2≥16,当且仅当=x0,即x0=1时,等号成立.所以△ABE的面积的最小值为
16.2正视图俯视图侧视图2正视图俯视图侧视图。