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2019-2020年高二数学上学期月考试卷(含解析)
一、选择题本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.(4分)点A(﹣1,5),B(3,﹣3)的中点坐标为()A.(1,﹣1)B.(1,1)C.(2,﹣4)D.(﹣2,1)2.(4分)点(1,﹣1)到直线x﹣y+1=0的距离是()A.B.C.D.3.(4分)已知过点A(﹣2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y﹣1=0平行,则m的值为()A.0B.﹣8C.2D.104.(4分)两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为()A.4B.C.D.5.(4分)在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是()A.B.C.D.6.(4分)以点(2,﹣1)为圆心且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆的方程为()A.(x﹣2)2+(y+1)2=3B.(x+2)2+(y﹣1)2=3C.(x﹣2)2+(y+1)2=9D.(x+2)2+(y﹣1)2=37.(4分)圆x2+y2﹣2x=3与直线y=ax+1的交点的个数是()A.0个B.1个C.2个D.随a值变化而变化8.(4分)直线y=kx+3与圆(x﹣3)2+(y﹣2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是()A.[﹣,0]B.C.[﹣]D.[﹣,0]
二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分)9.(4分)直线x+y+1=0的倾斜角的大小为.10.(4分)圆x2+y2﹣4x=0在点P(1,)处的切线方程为.11.(4分)经过两条直线3x+4y﹣5=0和3x﹣4y﹣13=0的交点,且斜率为2的直线方程是.12.(4分)从原点向圆x2+y2﹣12y+27=0作两条切线,则这两条切线的夹角的大小为.13.(4分)已知点A(1,﹣1),点B(3,5),点P是直线y=x上动点,当|PA|+|PB|的值最小时,点P的坐标是.14.(4分)集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x﹣3)2+(y﹣4)2=r2},其中r>0,若A∩B中有且仅有一个元素,则r的值是.
三、解答题,本大题共4小题,共44分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(12分)已知两条直线l12x﹣y+1=0,l2ax+y+2=0,点P(3,1).(Ⅰ)直线l过点P,且与直线l1垂直,求直线l的方程;(Ⅱ)若直线l1与直线l2平行,求a的值;(Ⅲ)点P到直线l2距离为3,求a的值.16.(10分)已知圆M的圆心为(5,0),且经过点(3,),过坐标原点作圆M的切线l.
(1)求圆M的方程;
(2)求直线l的方程.17.(10分)已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0和直线x+2y﹣3=0交于P、Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.18.(12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y﹣29=0相切.求(Ⅰ)求圆的方程;(Ⅱ)设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;(Ⅲ)在
(2)的条件下,是否存在实数a,使得过点P(﹣2,4)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.北京市鲁迅中学xx学年高二上学期月考数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.(4分)点A(﹣1,5),B(3,﹣3)的中点坐标为()A.(1,﹣1)B.(1,1)C.(2,﹣4)D.(﹣2,1)考点中点坐标公式.专题直线与圆.分析利用中点坐标公式即可得出.解答解∵点A(﹣1,5),B(3,﹣3),∴线段AB的中点坐标为,即为(1,1).故选B.点评本题考查了中点坐标公式,属于基础题.2.(4分)点(1,﹣1)到直线x﹣y+1=0的距离是()A.B.C.D.考点点到直线的距离公式.专题计算题.分析应用到直线的距离公式直接求解即可.解答解点(1,﹣1)到直线x﹣y+1=0的距离是=故选D.点评本题考查点到直线的距离公式,是基础题.3.(4分)已知过点A(﹣2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y﹣1=0平行,则m的值为()A.0B.﹣8C.2D.10考点斜率的计算公式.专题计算题.分析因为过点A(﹣2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y﹣1=0平行,所以,两直线的斜率相等.解答解∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2,∴过点A(﹣2,m)和B(m,4)的直线的斜率K也是﹣2,∴=﹣2,解得,故选B.点评本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等,以及斜率公式的应用.4.(4分)两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为()A.4B.C.D.考点两条平行直线间的距离.专题计算题;直线与圆.分析根据两条直线平行的条件,建立关于m的等式解出m=2.再将两条直线化成x、y的系数相同,利用两条平行直线间的距离公式加以计算,可得答案.解答解∵直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行,∴,解得m=2.因此,两条直线分别为3x+y﹣3=0与6x+2y+1=0,即6x+2y﹣6=0与6x+2y+1=0.∴两条直线之间的距离为d===.故选D点评本题已知两条直线互相平行,求参数m的值并求两条直线的距离.着重考查了直线的位置关系、平行线之间的距离公式等知识,属于基础题.5.(4分)在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是()A.B.C.D.考点确定直线位置的几何要素.专题数形结合.分析本题是一个选择题,按照选择题的解法来做题,由y=x+a得斜率为1排除B、D,由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增,则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上;若y=ax递减,则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上,得到结果.解答解由y=x+a得斜率为1排除B、D,由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增,则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上;若y=ax递减,则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上;故选C.点评本题考查确定直线为主的几何要素,考查斜率和截距对于一条直线的影响,是一个基础题,这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定.6.(4分)以点(2,﹣1)为圆心且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆的方程为()A.(x﹣2)2+(y+1)2=3B.(x+2)2+(y﹣1)2=3C.(x﹣2)2+(y+1)2=9D.(x+2)2+(y﹣1)2=3考点直线与圆的位置关系.分析求出半径即可求得圆的方程.解答解r==3,所求圆的方程为(x﹣2)2+(y+1)2=9故选C.点评本题考查直线与圆的位置关系,求圆的方程,是基础题.7.(4分)圆x2+y2﹣2x=3与直线y=ax+1的交点的个数是()A.0个B.1个C.2个D.随a值变化而变化考点直线与圆相交的性质.专题计算题;转化思想.分析把圆的方程整理成标准方程,求得圆心和半径,进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离的表达式,利用不等式的性质可比较出<2,进而推断出直线与圆相交,故可知交点为2个.解答解整理圆的方程为(x﹣1)2+y2=4,圆心为(1,0),半径为2,圆心到直线的距离为()2﹣4=,对于y=3a2﹣2a+3,△=4﹣36<0∴3a2﹣2a+3>0,∴()2﹣4<0∴()2<4即<2∴直线与圆相交,即交点有2个.故选C点评本题主要考查了直线与圆相交的性质.判断直线与圆的位置关系时,一般是看圆心到直线的距离与半径的大小的比较.8.(4分)直线y=kx+3与圆(x﹣3)2+(y﹣2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是()A.[﹣,0]B.C.[﹣]D.[﹣,0]考点直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式;直线和圆的方程的应用.专题压轴题.分析先求圆心坐标和半径,求出最大弦心距,利用圆心到直线的距离不大于最大弦心距,求出k的范围.解答解解法1圆心的坐标为(3,2),且圆与x轴相切.当,弦心距最大,由点到直线距离公式得解得k∈;故选A.解法2数形结合,如图由垂径定理得夹在两直线之间即可,不取+∞,排除B,考虑区间不对称,排除C,利用斜率估值,故选A.点评考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式,重点考查数形结合的运用.解法2是一种间接解法,选择题中常用.
二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分)9.(4分)直线x+y+1=0的倾斜角的大小为.考点直线的倾斜角.专题直线与圆.分析化直线的一般式方程为斜截式,求出直线的斜率,由倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角.解答解由x+y+1=0,得,∴直线x+y+1=0的斜率为,设其倾斜角为θ(0≤θ<π),则,∴θ=.故答案为.点评本题考查直线的倾斜角,考查直线倾斜角与斜率的关系,是基础题.10.(4分)圆x2+y2﹣4x=0在点P(1,)处的切线方程为x﹣y+2=0.考点圆的切线方程.专题计算题.分析求出圆的圆心坐标,求出切点与圆心连线的斜率,然后求出切线的斜率,解出切线方程.解答解圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标是(2,0),所以切点与圆心连线的斜率=﹣,所以切线的斜率为,切线方程为y﹣=(x﹣1),即x﹣y+2=0.故答案为x﹣y+2=0.点评本题是基础题,考查圆的切线方程的求法,求出切线的斜率解题的关键,考查计算能力.11.(4分)经过两条直线3x+4y﹣5=0和3x﹣4y﹣13=0的交点,且斜率为2的直线方程是2x﹣y﹣7=0.考点直线的两点式方程;直线的点斜式方程.专题计算题;直线与圆.分析联立两直线方程,求解交点坐标,然后代入直线方程的点斜式得答案.解答解联立,解得.∴两条直线3x+4y﹣5=0和3x﹣4y﹣13=0的交点为(3,﹣1),∴经过两条直线3x+4y﹣5=0和3x﹣4y﹣13=0的交点,且斜率为2的直线方程是y+1=2(x﹣3),即2x﹣y﹣7=0.故答案为2x﹣y﹣7=0.点评本题考查了直线方程的点斜式,考查了二元一次方程组的解法,是基础题.12.(4分)从原点向圆x2+y2﹣12y+27=0作两条切线,则这两条切线的夹角的大小为.考点圆的切线方程.专题直线与圆.分析根据圆的标准方程求出圆心C的坐标和半径r,设这两条切线的夹角的大小为2θ,利用直线和圆相切的性质求得sinθ=的值,从而求得θ的值,由此可得结论.解答解圆x2+y2﹣12y+27=0,即x2+(y﹣6)2=9,表示以C(0,6)为圆心,半径r=3的圆.设这两条切线的夹角的大小为2θ,其中θ为锐角,则由圆的切线性质可得sinθ==,所以θ=,故这两条切线的夹角的大小为2×=,故答案为.点评本题主要考查圆的标准方程,直线和圆相切的性质,直角三角形中的边角关系,根据三角函数的值求角,属于基础题.13.(4分)已知点A(1,﹣1),点B(3,5),点P是直线y=x上动点,当|PA|+|PB|的值最小时,点P的坐标是(2,2).考点两条直线的交点坐标.专题计算题.分析根据图形可知,当P运动到直线y=x与直线AB的交点Q时,|PA|+|PB|的值最小时,所以利用A和B的坐标求出直线AB的方程,与y=x联立即可求出交点的坐标即为P的坐标.解答解连接AB与直线y=x交于点Q,则当P点移动到Q点位置时,|PA|+|PB|的值最小.直线AB的方程为y﹣5=(x﹣3),即3x﹣y﹣4=0.解方程组,得.于是当|PA|+|PB|的值最小时,点P的坐标为(2,2).故答案为(2,2)点评此题考查学生会根据两点坐标写出直线的方程,会求两直线的交点坐标,是一道中档题.14.(4分)集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x﹣3)2+(y﹣4)2=r2},其中r>0,若A∩B中有且仅有一个元素,则r的值是3或7.考点集合的包含关系判断及应用.专题计算题.分析集合A中的元素其实是圆心为坐标原点,半径为2的圆上的任一点坐标,而集合B的元素是以(3,4)为圆心,r为半径的圆上点的坐标,因为r>0,若A∩B中有且仅有一个元素等价与这两圆只有一个公共点即两圆相切,则圆心距等于两个半径相加得到r的值即可.解答解据题知集合A中的元素是圆心为坐标原点,半径为2的圆上的任一点坐标,集合B的元素是以(3,4)为圆心,r为半径的圆上任一点的坐标,因为r>0,若A∩B中有且仅有一个元素,则集合A和集合B只有一个公共元素即两圆有且只有一个交点,则两圆相切,圆心距d=R+r或d=R﹣r;根据勾股定理求出两个圆心的距离为5,一圆半径为2,则r=3或7故答案为3或7点评考查学生运用两圆位置关系的能力,理解集合交集的能力,集合的包含关系的判断即应用能力.
三、解答题,本大题共4小题,共44分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(12分)已知两条直线l12x﹣y+1=0,l2ax+y+2=0,点P(3,1).(Ⅰ)直线l过点P,且与直线l1垂直,求直线l的方程;(Ⅱ)若直线l1与直线l2平行,求a的值;(Ⅲ)点P到直线l2距离为3,求a的值.考点直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程与直线的平行关系;点到直线的距离公式.专题直线与圆.分析(Ⅰ)利用直线与直线垂直的性质求解.(Ⅱ)利用直线与直线平行的性质求解.(Ⅲ)利用点到直线的距离公式求解.解答解(Ⅰ)∵直线l过点P,且与直线l1垂直,∴设直线l的方程为x+2y+c=0,把P(3,1)代入,得3+2+c=0,解得c=﹣5,∴直线l的方程为x+2y﹣5=0.(Ⅱ)∵直线l1与直线l2平行,∴,解得a=﹣2.(Ⅲ)∵点P到直线l2距离为3,∴=3,解得a=1.点评本题考查直线方程和实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线的位置关系和点到直线的距离公式的合理运用.16.(10分)已知圆M的圆心为(5,0),且经过点(3,),过坐标原点作圆M的切线l.
(1)求圆M的方程;
(2)求直线l的方程.考点圆的切线方程.专题计算题;直线与圆.分析
(1)求出半径,然后求出圆M的标准方程;
(2)设出直线方程,利用直线与圆相切求出k即可求出直线方程.解答解
(1)点(3,)到圆心(5,0)的距离为圆的半径R,所以R==
3..(2分)所以圆的标准方程为(x﹣5)2+y2=
9..(4分)
(2)设切线方程为y=kx,与圆M方程联立方程组有唯一解,即(1+k2)x2﹣10x+16=0有唯一解..(6分)所以△=100﹣64(1+k2)=0,即k=±所以所求切线方程为y=±x.点评本题是基础题,考查直线的切线方程,圆的标准方程,考查计算能力,常考题型.17.(10分)已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0和直线x+2y﹣3=0交于P、Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.考点直线和圆的方程的应用.分析联立方程,设出交点,利用韦达定理,表示出P、Q的坐标关系,由于OP⊥OQ,所以kOP•kOQ=﹣1,问题可解.解答解将x=3﹣2y代入方程x2+y2+x﹣6y+m=0,得5y2﹣20y+12+m=0.设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则y
1、y2满足条件y1+y2=4,y1y2=.∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=3﹣2y1,x2=3﹣2y2,∴x1x2=9﹣6(y1+y2)+4y1y2.∴m=3,此时△>0,圆心坐标为(﹣,3),半径r=.点评本题考查直线和圆的方程的应用,解题方法是设而不求,简化运算,是常考点.18.(12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y﹣29=0相切.求(Ⅰ)求圆的方程;(Ⅱ)设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;(Ⅲ)在
(2)的条件下,是否存在实数a,使得过点P(﹣2,4)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.考点直线和圆的方程的应用.专题直线与圆.分析(Ⅰ)利用点到直线的距离求出半径,从而求圆的方程;(Ⅱ)利用圆心到直线的距离小于半径可求出实数a的取值范围;(Ⅲ)假设存在利用直线与圆的位置关系性质解决.解答解(Ⅰ)设圆心为M(m,0)(m∈Z).由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切,且半径为5,所以,,即|4m﹣29|=25.因为m为整数,故m=1.故所求的圆的方程是(x﹣1)2+y2=25.(Ⅱ)直线ax﹣y+5=0即y=ax+5.代入圆的方程,消去y整理,得(a2+1)x2+2(5a﹣1)x+1=0.由于直线ax﹣y+5=0交圆于A,B两点,故△=4(5a﹣1)2﹣4(a2+1)>0,即12a2﹣5a>0,解得a<0,或.所以实数a的取值范围是.(Ⅲ)设符合条件的实数a存在,由
(2)得a≠0,则直线l的斜率为,l的方程为,即x+ay+2﹣4a=0.由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上.所以1+0+2﹣4a=0,解得.由于,故存在实数a=,使得过点P(﹣2,4)的直线l垂直平分弦AB.点评本题主要考查了圆的标准方程,点到直线的距离公式,直线与圆的位置关系等知识的综合应用,以及存在性问题的解决技巧,属于难题.。