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2019-2020年高二数学上学期期中试题理(答案不全)2.已知且,则的值为(). A. B. C. D.3.已知为空间两两垂直的单位向量,则().A. B. C. D.4.以双曲线的左顶点为焦点的抛物线的标准方程是().A. B. C. D.5.已知的图象如图所示,则下列数值按从小到大的排列顺序正确的是().A.,,, B., , ,C.,,, D.,,,6.在三棱柱中,分别是中点,设则=().A.B.C. D.
7.在长方体中,和与底面所成角分别为和,,则到截面的距离为().A.B.C.D.
8.在平行六面体中,底面是矩形,则=().A.B.C.D.9.已知在抛物线上,为坐标原点,如果且的重心恰好是此抛物线的焦点则直线的方程是().A.B.C.D.
10.若函数在是增函数,则的取值范围是().A.B.C.D.
11.已知为等边三角形,椭圆与双曲线均以为焦点,且都经过线段的中点,则椭圆与双曲线的离心率之积为().A.B.C. D.
12.过椭圆的右顶点作斜率为的直线与椭圆的另一个交点为与轴的交点为若则椭圆的离心率为().A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在答题纸的横线上,填在试卷上的答案无效.13.已知函数的图象在点处切线方程为,则=.14.已知双曲线离心率为,它的一个顶点到较近的焦点的距离为,则该双曲线的渐近线方程为.15.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.16.已知在定义域是偶函数,,当时有则的解集为.
三、解答题共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知(Ⅰ)求与方向相同的单位向量;(Ⅱ)若与单位向量垂直,求18.(本小题满分12分)如图,在三棱锥中,侧面与侧面均为等边三角形,,为的中点.(Ⅰ)证明平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.19.(本小题满分12分)如图,四棱锥中,底面是矩形,底面,,点是的中点,点在边上移动.(Ⅰ)点为的中点时,试判断与平面的位置关系,并说明理由;(Ⅱ)证明无论点在边的何处,都有;(Ⅲ)当等于何值时,与平面所成角的大小为.20.(本小题满分12分)设函数.(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.21.(本小题满分12分)已知函数(是常数)在处的切线斜率为-1.(Ⅰ)求函数的极值;(Ⅱ)当时,证明.22.(本小题满分12分已知点为圆的圆心,是圆上的动点,点在圆的半径上,且有点和上的点,满足.(Ⅰ)当点在圆上运动时,求点的轨迹方程;(Ⅱ)设曲线与轴正半轴、轴正半轴的交点分别,经过点且斜率为的直线与曲线有两个不同的交点和,是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求值;如果不存在,请说明理由.
18.证明(Ⅰ)由题设,连结,为等腰直角三角形,所以,且,又为等腰三角形,故,且,从而.所以为直角三角形,.又.所以平面.(Ⅱ)解法一取中点,连结,由(Ⅰ)知,得.为二面角的平面角.由得平面.所以,又,故.所以二面角的余弦值为.解法二以为坐标原点,射线分别为轴、轴的正半轴,建立如图的空间直角坐标系.设,则.的中点,..故等于二面角的平面角.,所以二面角的余弦值为.
19.Ⅰ当点为的中点时,∥平面.因为在中,分别为的中点,所以∥,又平面,而平面,所以,∥平面(Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系,则设则Ⅲ设平面的法向量为,由得,而,依题意与平面所成角为,所以,所以得故时,与平面所成角为
20.函数的定义域为………………………………1分,………………………………4分当时,解得或;………………5分当时,解得………………………………6分所以函数在,上是增函数,在上是减函数…………8分(Ⅱ)因为在上是增函数,所以……………………12分
21.,因为,所以,即(Ⅰ),当时的变化,引起的变化情况如下表-0+极小值(如果不列表,需先解导数值正负的不等式,得出的取值范围,得出单调性,再得极值也可)(Ⅱ)法一由(Ⅰ)知,,即所以.令,所以,即在上是增函数所以,即法二,,令,所以,当时,,当时,所以在上是减函数,在上是增函数,所以,所以,即在上是增函数,所以,即
22.(Ⅰ)由题意知是线段的垂直平分线,于是所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆,且,所以故点的轨迹方程是(Ⅱ)由已知知直线的斜率必存在,设直线的方程为,将其代入椭圆方程。