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2019-2020年高二数学下学期4月月考试卷理(含解析)
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.1.函数y=x3﹣3x2+3在(1,1)处的切线方程为( ) A.y=﹣3x+4B.y=3x﹣4C.y=﹣4x+3D.y=4x﹣3 2.函数f(x)=alnx+x在x=1处取到极值,则a的值为( ) A.B.﹣1C.0D. 3.计算=( ) A.﹣1B.1C.8D.﹣8 4.若函数f(x)=e2xcosx,则此函数图象在点(1,f
(1))处的切线的倾斜角为( ) A.直角B.0C.锐角D.钝角 5.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能的是( ) A.B.C.D. 6.若点P是函数f(x)=x2﹣lnx上任意一点,则点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为( ) A.B.C.D.3 7.若关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2,2]恒成立,则m的取值范围是( ) A.(﹣∞,7]B.(﹣∞,﹣20]C.(﹣∞,0]D.[﹣12,7] 8.曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为( ) A.2﹣ln2B.4﹣2ln2C.4﹣ln2D.2ln2 9.已知函数f(x)=x3﹣3x2+a,若f(x+1)是奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,a)处的切线方程是( ) A.x=0B.x=2C.y=2D.y=4 10.已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4﹣x),且当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x),若2<a<4则( ) A.f(2a)<f
(3)<f(log2a)B.f
(3)<f(log2a)<f(2a) C.f(log2a)<f
(3)<f(2a)D.f(log2a)<f(2a)<f
(3) 11.函数的图象经过四个象限,则实数a的取值范围是( ) A.B.C.D. 12.已知函数y=f(x)对于任意的满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式不成立的是( ) A.B.C.D.
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13.设曲线处的切线与直线x+ay+1=0垂直,则a= . 14.已知椭圆=1的面积计算公式是S=πab,则dx= . 15.设a<0,若函数y=ex+2ax,x∈R有小于零的极值点,则实数a的取值范围是 . 16.已知定义域为R的函数f(x)满足f
(1)=3,且f(x)的导数f′(x)<2x+1,则不等式f(2x)<4x2+2x+1的解集为 .
三、解答题本大题共6小题,第17题10分,其他每题12分,共70分.解答题应写出文字证明,证明过程或演算步骤.(注意在试题卷上作答无效)17.(10分)(xx秋•南安市校级期末)已知函数f(x)=x3﹣x+2,其导函数为f′(x).(Ⅰ)求f(x)在x=1处的切线l的方程(Ⅱ)求直线l与f′(x)图象围成的图形的面积. 18.(12分)(xx秋•昌平区期末)已知函数f(x)=x3+ax2﹣x﹣3在x=﹣1时取得极值.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)求f(x)在区间[﹣2,1]上的最大值. 19.(12分)(xx春•德惠市校级月考)在区间[0,1]上给定曲线y=x2.
(1)当t=时,求S1值.
(2)试在此区间内确定点t的值,使图中所给阴影部分的面积S1与S2之和最小. 20.(12分)(xx秋•保定期末)已知函数f(x)=+lnx,其中a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若不等式f(x)≥1在x∈(0,e]上恒成立,求实数a的取值范围. 21.(12分)(xx•滕州市校级模拟)已知函数f(x)=(ax2+x+a)e﹣x
(1)若函数y=f(x)在点(0,f
(0))处的切线与直线3x﹣y+1=0平行,求a的值;
(2)当x∈[0,4]时,f(x)≥e﹣4恒成立,求实数a的取值范围. 22.(12分)(xx•呼伦贝尔二模)已知函数f(x)=ln(x+a)﹣x2+x,g(x)=x•ex﹣x2﹣1(x>0),且f(x)点x=1处取得极值.(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=﹣x+b在区间[1,3]上有解,求b的取值范围;(Ⅲ)证明g(x)≥f(x). xx学年吉林省长春市德惠实验中学高二(下)4月月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.1.函数y=x3﹣3x2+3在(1,1)处的切线方程为( ) A.y=﹣3x+4B.y=3x﹣4C.y=﹣4x+3D.y=4x﹣3考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题导数的概念及应用.分析求出函数的导数,利用导数的几何意义即可求出切线方程.解答解函数的导数为y′=f′(x)=3x2﹣6x,在(1,1)处的切线斜率k=f′
(1)=3﹣6=﹣3,即函数y=x3﹣3x2+3在(1,1)处的切线方程为y﹣1=﹣3(x﹣1),即y=﹣3x+4,故选A点评本题主要考查函数的切线方程,利用导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键. 2.函数f(x)=alnx+x在x=1处取到极值,则a的值为( ) A.B.﹣1C.0D.考点利用导数研究函数的极值.专题计算题.分析题目中条件“函数f(x)=alnx+x在x=1处取到极值”,利用导数,得导函数的零点是1,从而得以解决.解答解∵,∴f′
(1)=0⇒a+1=0,∴a=﹣1.故选B.点评本题主要考查利用导数研究函数的极值,属于基础题. 3.计算=( ) A.﹣1B.1C.8D.﹣8考点定积分.专题计算题.分析欲计算,根据计算定积分的公式,先求出被积函数sinx+2的原函数即可求得答案.解答解=(﹣cosx+2x)|﹣22=﹣cos2+4﹣(﹣cos2﹣4)=8.故选C.点评本小题主要考查定积分、定积分的应用、导函数的概念、三角函数的性质等基础知识,考查计算能力. 4.若函数f(x)=e2xcosx,则此函数图象在点(1,f
(1))处的切线的倾斜角为( ) A.直角B.0C.锐角D.钝角考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题计算题;导数的概念及应用.分析先求函数f(x)=e2xcosx的导数,因为函数图象在点(1,f
(1))处的切线的斜率为函数在x=1处的导数,就可求出切线的斜率,再根据切线的斜率是倾斜角的正切值,就可根据斜率的正负判断倾斜角是锐角还是钝角.解答解∵f′(x)=2e2xcosx﹣e2xsinx,∴f′
(1)=2ecos1﹣esin1∴函数图象在点(1,f
(1))处的切线的斜率为e(2cos1﹣sin1)∵e(2cos1﹣sin1)>0,∴函数图象在点(1,f
(1))处的切线的倾斜角为锐角故选C.点评本题考查了导数的运算及导数的几何意义,以及直线的倾斜角与斜率的关系,属于综合题. 5.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能的是( ) A.B.C.D.考点函数的单调性与导数的关系.专题压轴题;数形结合.分析先根据导函数的图象确定导函数大于0的范围和小于0的x的范围,进而根据当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间.解答解由y=f(x)的图象易得当x<0或x>2时,f(x)>0,故函数y=f(x)在区间(﹣∞,0)和(2,+∞)上单调递增;当0<x<2时,f(x)<0,故函数y=f(x)在区间(0,2)上单调递减;故选C.点评本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减. 6.若点P是函数f(x)=x2﹣lnx上任意一点,则点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为( ) A.B.C.D.3考点利用导数研究曲线上某点切线方程;点到直线的距离公式.专题转化思想;导数的综合应用.分析由题意知,当曲线上过点P的切线和直线x﹣y﹣2=0平行时,点P到直线x﹣y﹣2=0的距离最小,求出曲线对应的函数的导数,令导数值等于1,可得且点的坐标,此切点到直线x﹣y﹣2=0的距离即为所求.解答解点P是曲线f(x)=x2﹣lnx上任意一点,当过点P的切线和直线x﹣y﹣2=0平行时,点P到直线x﹣y﹣2=0的距离最小.直线x﹣y﹣2=0的斜率等于1,由f(x)=x2﹣lnx,得f′(x)=2x﹣=1,解得x=1,或x=﹣(舍去),故曲线f(x)=x2﹣lnx上和直线x﹣y﹣2=0平行的切线经过的切点坐标(1,1),点(1,1)到直线x﹣y﹣2=0的距离等于,故点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为.故选A.点评本题考查点到直线的距离公式的应用,函数的导数的求法及导数的意义,体现了转化的数学思想,是中档题. 7.若关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2,2]恒成立,则m的取值范围是( ) A.(﹣∞,7]B.(﹣∞,﹣20]C.(﹣∞,0]D.[﹣12,7]考点利用导数求闭区间上函数的最值;函数恒成立问题.专题计算题.分析设y=x3﹣3x2﹣9x+2,则y′=3x2﹣6x﹣9,令y′=3x2﹣6x﹣9=0,得x1=﹣1,x2=3(舍),由f(﹣2)=0,f(﹣1)=7,f
(2)=﹣20,知y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈[﹣2,2]上的最大值为7,最小值为﹣20,由此能求出关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2,2]恒成立的m的取值范围.解答解设y=x3﹣3x2﹣9x+2,则y′=3x2﹣6x﹣9,令y′=3x2﹣6x﹣9=0,得x1=﹣1,x2=3,∵3∉[﹣2,2],∴x2=3(舍),列表讨论x(﹣2,﹣1)﹣1(﹣1,2)f′(x)+0﹣f(x)↑极大值↓∵f(﹣2)=﹣8﹣12+18+2=0,f(﹣1)=﹣1﹣3+9+2=7,f
(2)=8﹣12﹣18+2=﹣20,∴y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈[﹣2,2]上的最大值为7,最小值为﹣20,∵关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2,2]恒成立,∴m≤﹣20,故选B.点评本题考查利用导数求函数在闭区间上最值的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化. 8.曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为( ) A.2﹣ln2B.4﹣2ln2C.4﹣ln2D.2ln2考点定积分在求面积中的应用.专题导数的综合应用.分析根据定积分的几何意义求曲边梯形的面积.解答解曲线y=与直线y=x﹣1联立得交点坐标为(1,2),所以S==()|=4﹣2ln2;故选B.点评本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积,关键是确定定积分的上限和下限. 9.已知函数f(x)=x3﹣3x2+a,若f(x+1)是奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,a)处的切线方程是( ) A.x=0B.x=2C.y=2D.y=4考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题计算题;导数的概念及应用.分析运用奇函数的性质,若f(x+1)是奇函数,则f
(1)=0,求得a,再求函数的导数,求出切线的斜率,运用点斜式方程,即可得到切线方程.解答解由于函数f(x)=x3﹣3x2+a,若f(x+1)是奇函数,则f
(1)=0,即有1﹣3+a=0,解得,a=2,f(x)=x3﹣3x2+2,导数f′(x)=3x2﹣6x,则在切点(0,2)处的斜率为0,则切线方程为y=2.故选C.点评本题考查导数的运用求切线方程,考查函数的奇偶性及运用,考查运算能力,属于基础题. 10.已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4﹣x),且当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x),若2<a<4则( ) A.f(2a)<f
(3)<f(log2a)B.f
(3)<f(log2a)<f(2a) C.f(log2a)<f
(3)<f(2a)D.f(log2a)<f(2a)<f
(3)考点抽象函数及其应用;导数的运算.专题计算题;函数的性质及应用.分析由f(x)=f(4﹣x),可知函数f(x)关于直线x=2对称,由xf′(x)>2f′(x),可知f(x)在(﹣∞,2)与(2,+∞)上的单调性,从而可得答案.解答解∵函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4﹣x),∴f(x)关于直线x=2对称;又当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x)⇔f′(x)(x﹣2)>0,∴当x>2时,f′(x)>0,f(x)在(2,+∞)上的单调递增;同理可得,当x<2时,f(x)在(﹣∞,2)单调递减;∵2<a<4,∴1<log2a<2,∴2<4﹣log2a<3,又4<2a<16,f(log2a)=f(4﹣log2a),f(x)在(2,+∞)上的单调递增;∴f(log2a)<f
(3)<f(2a).故选C.点评本题考查抽象函数及其应用,考查导数的性质,判断f(x)在(﹣∞,2)与(2,+∞)上的单调性是关键,属于中档题. 11.函数的图象经过四个象限,则实数a的取值范围是( ) A.B.C.D.考点函数在某点取得极值的条件.专题压轴题.分析求函数的极值,要使图象经过四个象限只要两极值符号不同解答解f′(x)=ax2+ax﹣2a=a(x+2)(x﹣1)令f′(x)=a(x+2)(x﹣1)=0得x=﹣2或x=1x∈(﹣∞,﹣2)时f′(x)的符号与x∈(﹣2,1)时f′(x)的符号相反,x∈(﹣2,1)时f′(x)的符号与x∈(1,+∞)时f′(x)的符号相反∴f(﹣2)==和f
(1)==为极值,∵图象经过四个象限∴f(﹣2)•f
(1)<0即()()<0解得故答案为B点评本题考查导数求函数的极值,及函数的单调性及其图象 12.已知函数y=f(x)对于任意的满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式不成立的是( ) A.B.C.D.考点利用导数研究函数的单调性;导数的运算.专题导数的概念及应用.分析根据条件构造函数g(x)=,求函数的导数,利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论解答解构造函数g(x)=,则g′(x)==[(f′(x)cosx+f(x)sinx],∵对任意的x∈(﹣,)满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0,∴g′(x)>0,即函数g(x)在x∈(﹣,)单调递增,则
②g(﹣)<g(﹣),即<,∴<,即f(﹣))<f(﹣),故B正确;
③g
(0)<g(),即<,∴f
(0)<f(),故
③正确;
④g
(0)<g(),即<,∴f
(0)<2f(),故
④正确;由排除法,故选A点评本题主要考查函数单调性的应用,利用条件构造函数是解决本题的关键,综合性较强,有一点的难度.
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13.设曲线处的切线与直线x+ay+1=0垂直,则a= 1 .考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题导数的综合应用.分析求出函数处的导数,即为曲线在此点的切线斜率,再利用两直线垂直的性质求出a.解答解y=的导数为y′=,当x=时,y′=1,故y=在点(,2)处的切线斜率为1,故与它垂直的直线x+ay+1=0的斜率为=﹣1,∴a=1,故答案为1.点评本题考查函数在某点的导数就是函数在此点的切线斜率,以及两直线垂直的性质. 14.已知椭圆=1的面积计算公式是S=πab,则dx= π .考点定积分.专题导数的概念及应用.分析根据积分的几何意义即可得到结论.解答解设y=,(y≥0),则+y2=1(y≥0)对应的曲线为椭圆的上半部分,对应的面积S==,根据积分的几何意义可得dx=π,故答案为π点评本题主要考查积分的计算,要求熟练掌握常见函数的积分公式,对于不好求的积分函数,要利用对应的区域面积进行计算. 15.设a<0,若函数y=ex+2ax,x∈R有小于零的极值点,则实数a的取值范围是 (﹣,0) .考点函数在某点取得极值的条件.专题函数的性质及应用;导数的概念及应用.分析先对函数进行求导令导函数等于0,原函数有小于0的极值故导函数有小于0的根,然后转化为两个函数观察交点,确定a的范围.解答解∵y=ex+2ax,a<0,∴y=ex+2a.由题意知ex+2a=0有小于0的实根,令y1=ex,y2=﹣2a,则两曲线交点在第二象限,结合图象易得0<﹣2a<1⇒﹣<a<0,故实数a的取值范围是(﹣,0),故答案为(﹣,0)点评本题主要考查函数的极值与其导函数的关系,即函数取到极值时一定有其导函数等于0,但反之不一定成立. 16.已知定义域为R的函数f(x)满足f
(1)=3,且f(x)的导数f′(x)<2x+1,则不等式f(2x)<4x2+2x+1的解集为 (,+∞) .考点导数的运算;其他不等式的解法.专题函数的性质及应用;导数的综合应用.分析先由f(x)<2x+1,知函数g(x)=f(x)﹣(x2+x)为R上的减函数,再将f
(1)=3化为g
(1)=1,将所解不等式化为g(2x)<g
(1),最后利用单调性解不等式即可解答解∵f′(x)<2x+1,∴f′(x)﹣(2x+1)<0,即[f(x)﹣(x2+x)]′<0设g(x)=f(x)﹣(x2+x)则g(x)在R上为减函数,∵f
(1)=3,∴g
(1)=f
(1)﹣(12+1)=3﹣2=1∵f(2x)<4x2+2x+1=(2x)2+2x+1,∴f(2x)﹣[(2x)2+2x]<1,∴g(2x)<1=g
(1)∴2x>1,解得x>故答案为(,+∞)点评本题考查利用导数研究函数的单调性的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.是中档题
三、解答题本大题共6小题,第17题10分,其他每题12分,共70分.解答题应写出文字证明,证明过程或演算步骤.(注意在试题卷上作答无效)17.(10分)(xx秋•南安市校级期末)已知函数f(x)=x3﹣x+2,其导函数为f′(x).(Ⅰ)求f(x)在x=1处的切线l的方程(Ⅱ)求直线l与f′(x)图象围成的图形的面积.考点定积分在求面积中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程.专题导数的综合应用.分析(Ⅰ)求导函数,求出切线的斜率,利用点斜式,可得切线l的方程(Ⅱ)求出直线与l与f′(x)的交点的横坐标,可得积分的上、下限,利用定积分,可求直线l与f′(x)图象围成的图形的面积.解答解(Ⅰ)f(x)=3x2﹣1,∴k=f
(1)=2,又f
(1)=2…(4分)∴l y﹣2=2(x﹣1),即y=2x…(6分)(Ⅱ)由…(8分)∴…(12分)点评本题考查导数知识的运用,考查利用定积分求面积,考查学生的计算能力,属于中档题. 18.(12分)(xx秋•昌平区期末)已知函数f(x)=x3+ax2﹣x﹣3在x=﹣1时取得极值.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)求f(x)在区间[﹣2,1]上的最大值.考点利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.专题导数的综合应用.分析(Ⅰ)首先求出f′(x),利用x=﹣1时取得极值,则f′(﹣1)=0,得到关于a的方程求出a;(Ⅱ)令f′(x)=0,得到x=﹣1或者x=,列表求出f(x)在[﹣2,1]上的最大值.解答解(I)f′(x)=3x2+2ax﹣1.∵f(x)在x=﹣1时取得极值,所以f′(﹣1)=0,即3﹣2a﹣1=0解得a=1.经检验,a=1时,f(x)在x=﹣1时取得极小值.∴f(x)=x3+x2﹣x﹣3.(II)f′(x)=3x2+2x﹣1,令f′(x)=0,解得x=﹣1或x=;x∈[﹣2,1]时,f′(x)和f(x)变化如下由上表可知函数f(x)在区间[﹣2,1]上的最大值为﹣2.点评本题考查了利用导数求函数闭区间上的最值问题. 19.(12分)(xx春•德惠市校级月考)在区间[0,1]上给定曲线y=x2.
(1)当t=时,求S1值.
(2)试在此区间内确定点t的值,使图中所给阴影部分的面积S1与S2之和最小.考点定积分在求面积中的应用.专题导数的综合应用.分析
(1)利用定积分的几何意义首先表示S1,然后计算;
(2)利用t分别用定积分表示两部分的面积,然后整理得到关于t的式子,结合解析式特点求最小值.解答解
(1)当t=时,S1==()|=;
(2)设0≤t≤1当x=t时,y=t2∴S1==(t2x)|=,S2==()|=,∴阴影部分的面积为S1+S2=f(t)=(0≤t≤1)f(t)=4t2﹣2t,令f(t)=0可得t1=0或t2=,由f
(0)=,f
(1)=,f()=,可知当t=时,S1+S2有最小值.点评本题考查了利用定积分表示封闭图形的面积与求函数最小值;关键是利用定积分表示封闭图形的面积. 20.(12分)(xx秋•保定期末)已知函数f(x)=+lnx,其中a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若不等式f(x)≥1在x∈(0,e]上恒成立,求实数a的取值范围.考点函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明.专题导数的综合应用.分析
(1)求函数的定义域,利用函数单调性和导数之间的关系即可求出函数的单调区间,
(2)化简不等式,分离参数,构造函数,利用导数求出函数最大值,问题得以解决.解答解
(1)∵定义域为(0,+∞)∴f′(x)=﹣+=,
①当a≤0,f′(x)≥0,恒成立,∴f(x)在定义域(0,+∞)单调递增;
②当a>0,当x>a时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当0<x<a,f′(x)<0,f(x)单调递减.∴函数f(x)的单调递增区间(a,+∞),单调递减区间(0,a)
(2)∵f(x)≥1在(0,e]上恒成立,∴+lnx≥1,即a≥﹣xlnx+x任意x∈(0,e]上恒成立,令g(x)=﹣xlnx+x,x∈(0,e],∴g′(x)=﹣lnx,令g′(x)=0,解得x=1,∴g(x)在(0,1]递增,在(1,e]递减,∴g(x)max=g
(1)=1,∴a≥1点评本题主要考查了导数和函数的单调性和最值的关系,以及恒成立问题,分离参数,求最值是常用的方法,属于中档题 21.(12分)(xx•滕州市校级模拟)已知函数f(x)=(ax2+x+a)e﹣x
(1)若函数y=f(x)在点(0,f
(0))处的切线与直线3x﹣y+1=0平行,求a的值;
(2)当x∈[0,4]时,f(x)≥e﹣4恒成立,求实数a的取值范围.考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题计算题;导数的概念及应用;导数的综合应用.分析
(1)求出导数,求得切线斜率,由两直线平行的条件即可得到a;
(2)当x∈[0,4]时,f(x)≥e﹣4恒成立,即有当x∈[0,4]时,f(x)min≥e﹣4.求出导数,讨论
①当a≥0时,
②当a<0时,当a≤﹣1,当﹣1<a<0时,当﹣1<a<0时,运用单调性,求出f(x)最小值即可得到.解答解
(1)函数f(x)=(ax2+x+a)e﹣x导数f′(x)=(2ax+1)e﹣x﹣(ax2+x+a)e﹣x=e﹣x(1﹣a﹣x+2ax﹣ax2),则在点(0,f
(0))处的切线斜率为f′
(0)=1﹣a,f
(0)=a,由于切线与直线3x﹣y+1=0平行,则有1﹣a=3,a=﹣2;
(2)当x∈[0,4]时,f(x)≥e﹣4恒成立,即有当x∈[0,4]时,f(x)min≥e﹣4.由于f′(x)=(2ax+1)e﹣x+(ax2+x+a)e﹣x=e﹣x(1+a+x+2ax+ax2)=(x+1)(ax+1+a)e﹣x,
①当a≥0时,x∈[0,4],f′(x)>0恒成立,f(x)在[0,4]递增,f(x)min=f
(0)=a≥e﹣4;
②当a<0时,f′(x)=a(x+1)(x+1+)•e﹣x,当a≤﹣1,﹣1≤<0,0≤1+<1,﹣1<﹣(1+)≤0,x∈[0,4],f′(x)≤0恒成立,f(x)递减,f(x)min=f
(4)=(17a+4)•e﹣4≥e﹣4,17a+4≥1,a≥﹣,与a≤﹣1矛盾,当﹣1<a<0时,<﹣1,1+<0,﹣(1+)>0,f(x)在[0,4]递增,或存在极大值,f(x)min在f
(0)和f
(4)中产生,则需f
(0)=a≥e﹣4,且f
(4)=(17a+4)•e﹣4≥e﹣4,且﹣1<a<0,推出a∈∅,综上,a≥e﹣4.点评本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程,考查了利用导数求函数在闭区间上的最值,考查分类讨论的思想方法,是该题的难点所在,此题属中档题. 22.(12分)(xx•呼伦贝尔二模)已知函数f(x)=ln(x+a)﹣x2+x,g(x)=x•ex﹣x2﹣1(x>0),且f(x)点x=1处取得极值.(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=﹣x+b在区间[1,3]上有解,求b的取值范围;(Ⅲ)证明g(x)≥f(x).考点利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.专题导数的综合应用.分析(Ⅰ)通过求导得f
(1)=0,则得a=0.经检验符合题意;(Ⅱ)由题意得.令,从而有,进而求出b的取值范围;(Ⅲ)证明令F(x)=g(x)﹣f(x)=x•ex﹣lnx﹣x﹣1(x>0),则=,得到F(x)≥F(c)=0,从而证得g(x)≥f(x).解答解(Ⅰ)∵f(x)=ln(x+a)﹣x2+x,∴∵函数f(x)=ln(x+a)﹣x2+x在点x=1处取得极值,∴f
(1)=0,即当x=1时,∴,则得a=0.经检验符合题意;(Ⅱ)∵,∴,∴.令,则.∴当x∈[1,3]时,h(x),h(x)随x的变化情况表x1(1,2)2(2,3)…(8分)3h(x)+0﹣h(x)↗极大值↘计算得,,h
(2)=ln2+3,∴所以b的取值范围为.(Ⅲ)证明令F(x)=g(x)﹣f(x)=x•ex﹣lnx﹣x﹣1(x>0),则=,令G(x)=x•ex﹣1,则∵G(x)=(x+1)•ex>0(x>0),∴函数G(x)在(0,+∞)递增,G(x)在(0,+∞)上的零点最多一个,又∵G
(0)=﹣1<0,G
(1)=e﹣1>0,∴存在唯一的c∈(0,1)使得G(c)=0,且当x∈(0,c)时,G(x)<0;当x∈(c,+∞)时,G(x)>0.即当x∈(0,c)时,F(x)<0;当x∈(c,+∞)时,F(x)>0.∴F(x)在(0,c)递减,在(c,+∞)递增,从而F(x)≥F(c)=c•ec﹣lnc﹣c﹣1.由G(c)=0得c•ec﹣1=0即c•ec=1,两边取对数得lnc+c=0,∴F(c)=0,∴F(x)≥F(c)=0,从而证得g(x)≥f(x).点评本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,导数的应用,考查不等式的证明,是一道综合题. 。