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2019-2020年高二数学下学期6月月考试卷理(含解析)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.设复数z=(i为虚数单位),则z的虚部为( ) A.﹣iB.iC.﹣1D.1 2.若P=,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系为( ) A.P>QB.P<Q C.P=QD.由a的取值确定 3.以下各点坐标与点不同的是( ) A.B.C.D. 4.有一段“三段论”推理是这样的对于可导函数f(x),如果f′(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点,因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f′(x0)=0,所以,x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中( ) A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确 5.已知是复数z的共轭复数,z++z•=0,则复数z在复平面内对应的点的轨迹是( ) A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线 6.二次函数y=x2﹣2x+2与y=﹣x2+ax+b(a>0,b>0)的图象在它们的一个交点处的切线相互垂直,则的最小值是( ) A.B.C.4D. 7.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•2…(2n﹣1)(n∈N+)时,从“n=k到n=k+1”时,左边应增添的式子是( ) A.2k+1B.2k+3C.2(2k+1)D.2(2k+3) 8.以下命题正确命题的个数为( )
(1)化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为x2+y2=0或y=1
(2)集合A={x||x+1|<1},B={x|y=﹣},则A⊆B
(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且x0∈(a,b),则的值为2f′(x0)
(4)若关于x的不等式|ax﹣2|+|ax﹣a|≥2(其中a>0)的解集为R,则实数a≥4
(5)将点P(﹣2,2)变换为P′(﹣6,1)的伸缩变换公式为. A.1B.2C.3D.4 9.下列积分值等于1的是( ) A.xdxB.(﹣cosx)dx C.dxD.dx 10.给出下列四个命题
①f(x)=x3﹣3x2是增函数,无极值.
②f(x)=x3﹣3x2在(﹣∞,2)上没有最大值
③由曲线y=x,y=x2所围成图形的面积是
④函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0垂直的切线,则实数a的取值范围是.其中正确命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 11.已知点列如下P1(1,1),P2(1,2),P3(2,1),P4(1,3),P5(2,2),P6(3,1),P7(1,4),P8(2,3),P9(3,2),P10(4,1),P11(1,5),P12(2,4),…,则P60的坐标为( ) A.(3,8)B.(4,7)C.(4,8)D.(5,7) 12.已知函数f(x)=a(x﹣)﹣2lnx(a∈R),g(x)=﹣,若至少存在一个x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立,则实数a的范围为( ) A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.[0,+∞)D.(0,+∞)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.若不等式|3x﹣b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围 . 14.已知函数y=f(x)的图象在M(1,f
(1))处的切线方程是+2,f
(1)+f′
(1)= . 15.已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R),它们的交点坐标为 . 16.若函数f(x)=x3+3x对任意的m∈[﹣2,2],f(mx﹣2)+f(x)<0恒成立,则x∈ .
三、解答题本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(xx•扶沟县校级模拟)在直角坐标系xOy中,圆O的参数方程为,(θ为参数,r>0).以O为极点,x轴正半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.写出圆心的极坐标,并求当r为何值时,圆O上的点到直线l的最大距离为3. 18.(12分)(xx春•保定校级月考)已知函数f(x)=|2x+1|﹣|x﹣3|.
(1)解不等式f(x)≤4;
(2)若存在x使得f(x)+a≤0成立,求实数a的取值范围. 19.(12分)(xx春•保定校级期末)已知函数f(x)=alnx﹣2ax+3(a≠0).(I)设a=﹣1,求函数f(x)的极值;(II)在(I)的条件下,若函数(其中f(x)为f(x)的导数)在区间(1,3)上不是单调函数,求实数m的取值范围. 20.(12分)(xx•沧州校级一模)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C相交于A,B两点.(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(Ⅱ)若|PA|•|PB|=|AB|2,求a的值. 21.(12分)(xx春•定兴县校级期末)已知函数f(x)=lnx﹣,a∈R.
(1)若x=2是函数f(x)的极值点,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,求a的取值范围. 22.(12分)(xx•茂名一模)已知函数.(a∈R)
(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;
(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围. xx学年河北省保定市定兴三中高二(下)6月月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.设复数z=(i为虚数单位),则z的虚部为( ) A.﹣iB.iC.﹣1D.1考点复数代数形式的乘除运算.专题数系的扩充和复数.分析由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则,虚数单位i的幂运算性质,化简复数z,可得它的虚部.解答解∵复数z====1﹣i,故该复数的虚部为﹣1,故选C.点评本题主要考查复数的基本概念,两个复数代数形式的乘除法法则的应用,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题. 2.若P=,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系为( ) A.P>QB.P<Q C.P=QD.由a的取值确定考点不等式比较大小.专题不等式的解法及应用.分析平方作差即可比较出大小解答解∵a≥0,∴a2+7a+12>a2+7a+10.P2﹣Q2=2a+7+2﹣2a﹣7﹣=2(﹣﹣)<0,∴P<Q,故选B.点评本题考查了平方作差可比较两个数的大小方法,属于基础题 3.以下各点坐标与点不同的是( ) A.B.C.D.考点极坐标刻画点的位置.专题计算题.分析由于和﹣是终边相同的角,故点M的极坐标(﹣5,)也可表示为(﹣5,﹣),故排除D,再根据和或是终边在反向延长线的角,排除B,C.从而得出正确选项.解答解点M的极坐标为(﹣5,),由于和﹣是终边相同的角,故点M的坐标也可表示为(﹣5,﹣),排除D;再根据和或是终边在反向延长线的角,故点M的坐标也可表示为,,排除B,C.故选A.点评本题考查点的极坐标、终边相同的角的表示方法,是一道基础题. 4.有一段“三段论”推理是这样的对于可导函数f(x),如果f′(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点,因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f′(x0)=0,所以,x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中( ) A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确考点演绎推理的基本方法.专题计算题;推理和证明.分析在使用三段论推理证明中,如果命题是错误的,则可能是“大前提”错误,也可能是“小前提”错误,也可能是推理形式错误,我们分析的其大前提的形式“对于可导函数f(x),如果f(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点”,不难得到结论.解答解大前提是“对于可导函数f(x),如果f(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点”,不是真命题,因为对于可导函数f(x),如果f(x0)=0,且满足当x>x0时和当x<x0时的导函数值异号时,那么x=x0是函数f(x)的极值点,∴大前提错误,故选A.点评本题考查的知识点是演绎推理的基本方法,演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论必定是真实的,但错误的前提可能导致错误的结论. 5.已知是复数z的共轭复数,z++z•=0,则复数z在复平面内对应的点的轨迹是( ) A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线考点轨迹方程.专题综合题;数系的扩充和复数.分析设出复数z的代数形式,代入z++z•=0,整理后即可得到答案.解答解设z=x+yi(x,y∈R),则,代入z++z•=0,得,即x2+y2+2x=0.整理得(x+1)2+y2=1.∴复数z在复平面内对应的点的轨迹是圆.故选A.点评本题考查了轨迹方程,考查了复数模的求法及复数相等的条件,是中档题. 6.二次函数y=x2﹣2x+2与y=﹣x2+ax+b(a>0,b>0)的图象在它们的一个交点处的切线相互垂直,则的最小值是( ) A.B.C.4D.考点基本不等式在最值问题中的应用;导数的几何意义.专题计算题;转化思想.分析先对两个二次函数进行求导,然后设交点坐标,根据它们在一个交点处的切线相互垂直可得到a+b=,再由=()×运用基本不等式可求得最小值.解答解∵y=x2﹣2x+2∴y=2x﹣2∵y=﹣x2+ax+b的导函数为y=﹣2x+a设交点为(x0,y0),则(2x0﹣2)(﹣2x0+a)=﹣1,2x02﹣(2+a)x0+2﹣b=04x02﹣(2a+4)x0+2a﹣1=0,4x02﹣(4+2a)x0+4﹣2b=02a﹣1﹣4+2b=0,a+b==()×=[1+4++4]×≥×(5+2)=当且仅当=4时等号成立.故选A.点评本题主要考查基本不等式的应用和导数的几何意义,考查基础知识的综合应用和灵活能力.基本不等式在解决最值时用途很大,一定要注意用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”. 7.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•2…(2n﹣1)(n∈N+)时,从“n=k到n=k+1”时,左边应增添的式子是( ) A.2k+1B.2k+3C.2(2k+1)D.2(2k+3)考点数学归纳法.专题证明题;点列、递归数列与数学归纳法.分析分别求出n=k时左边的式子,n=k+1时左边的式子,用n=k+1时左边的式子,除以n=k时左边的式子,即得所求.解答解当n=k时,左边等于(k+1)(k+2)…(k+k)=(k+1)(k+2)…(2k),当n=k+1时,左边等于(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),故从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的代数式是=2(2k+1),故选C.点评本题考查用数学归纳法证明等式,用n=k+1时,左边的式子除以n=k时,左边的式子,即得所求. 8.以下命题正确命题的个数为( )
(1)化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为x2+y2=0或y=1
(2)集合A={x||x+1|<1},B={x|y=﹣},则A⊆B
(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且x0∈(a,b),则的值为2f′(x0)
(4)若关于x的不等式|ax﹣2|+|ax﹣a|≥2(其中a>0)的解集为R,则实数a≥4
(5)将点P(﹣2,2)变换为P′(﹣6,1)的伸缩变换公式为. A.1B.2C.3D.4考点命题的真假判断与应用.专题简易逻辑.分析由极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0可得ρ=0或ρcosθ﹣1=0,化为直角坐标方程,可判断
(1);解绝对值不等式求出A,求函数y=﹣的定义域,求出B,可判断
(2);根据导数的定义,求出的值,可判断
(3);求出使不等式|ax﹣2|+|ax﹣a|≥2恒成立的a的范围,可判断
(4); 根据伸缩变换公式,可判断
(5).解答解由极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0可得ρ=0或ρcosθ﹣1=0,即x2+y2=0或x=1,故
(1)错误;解|x+1|<1得A=(﹣2,0),由2x﹣x2≥0得,B=[0,2],则A⊈B,故
(2)错误;若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且x0∈(a,b),则==f′(x0),故=2f′(x0),故
(3)正确;|ax﹣2|+|ax﹣a|=|ax﹣2|+|a﹣ax|≥|ax﹣2+a﹣ax|=|a﹣2|,若不等式|ax﹣2|+|ax﹣a|≥2(其中a>0)的解集为R,则|a﹣2|≥2,则a≥4或a≤0(舍去),故
(4)正确;将点P(﹣2,2)变换为P′(﹣6,1)的伸缩变换公式为,故
(5)错误.故正确的命题个数为2个,故选B点评本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,此类题型往往综合较多的其它知识点,综合性强,难度中档. 9.下列积分值等于1的是( ) A.xdxB.(﹣cosx)dx C.dxD.dx考点定积分.专题导数的概念及应用.分析根据积分公式直接进行计算即可.解答解xdx==,(﹣cosx)dx=﹣sinx═﹣2,dx表式以原点为圆心以2为半径的圆的面积的一半,故dx=×4π=2π,=lnx=1.故选D.点评本题主要考查积分的计算,要求熟练掌握常见函数的积分公式,比较基础. 10.给出下列四个命题
①f(x)=x3﹣3x2是增函数,无极值.
②f(x)=x3﹣3x2在(﹣∞,2)上没有最大值
③由曲线y=x,y=x2所围成图形的面积是
④函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0垂直的切线,则实数a的取值范围是.其中正确命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4考点命题的真假判断与应用.专题函数的性质及应用;导数的概念及应用.分析分析函数f(x)=x3﹣3x2的图象和性质,可判断
①②;求出曲线y=x,y=x2所围成图形的面积,可判断
③;求出函数f(x)=lnx+ax导函数的范围,结合与直线2x﹣y=0垂直的切线斜率为,求出实数a的取值范围,可判断
④.解答解
①若f(x)=x3﹣3x2,则f′(x)=3x2﹣6x,当x∈(0,2)时,f′(x)<0,函数为减函数,当x∈(﹣∞,0)或(2,+∞)时,f′(x)>0,函数为增函数,故当x=0时,函数取极大值,当x=2时,函数取极小值,故
①错误;
②错误;
③由曲线y=x,y=x2所围成图形的面积S=∫01(x﹣x2)dx=(x2﹣x3)|01=﹣=,故
③正确;
④函数f(x)=lnx+ax,则f′(x)=+a>a,若函数f(x)存在与直线2x﹣y=0垂直的切线,则a,则实数a的取值范围是,故
④正确;故正确的命题的个数是2个,故选B点评考查的知识点是命题的真假判断与应用,此类题型往往综合较多的其它知识点,综合性强,难度中档. 11.已知点列如下P1(1,1),P2(1,2),P3(2,1),P4(1,3),P5(2,2),P6(3,1),P7(1,4),P8(2,3),P9(3,2),P10(4,1),P11(1,5),P12(2,4),…,则P60的坐标为( ) A.(3,8)B.(4,7)C.(4,8)D.(5,7)考点数列的应用.专题计算题.分析设P(x,y),分别讨论当x+y=2,3,4时各有几个点,便可知当x+y=n+1时,第n行有n个点,便可得出当x+y=11时,已经有55个点,便可求得P60的坐标.解答解设P(x,y)P1(1,1),﹣﹣x+y=2,第1行,1个点;P2(1,2),P3(2,1),﹣﹣x+y=3,第2行,2个点;P4(1,3),P5(2,2),P6(3,1),﹣﹣x+y=4,第3行,3个点;…∵1个点+2个点+3个点+…+10个点=55个点∴P55为第55个点,x+y=11,第10行,第10个点,P55(10,1),∴P56(1,11),P57(2,10),P58(3,9),P59(4,8),P60(5,7).∴P60的坐标为(5,7),故选D.点评本题表面上是考查点的排列规律,实际上是考查等差数列的性质,解题时注意转化思想的运用,考查了学生的计算能力和观察能力,同学们在平常要多加练习,属于中档题. 12.已知函数f(x)=a(x﹣)﹣2lnx(a∈R),g(x)=﹣,若至少存在一个x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立,则实数a的范围为( ) A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.[0,+∞)D.(0,+∞)考点特称命题.专题函数的性质及应用.分析将不等式进行转化,利用不等式有解,利用导数求函数的最值即可得到结论.解答解若若至少存在一个x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立,即f(x)﹣g(x)>0在x∈[1,e],时有解,设F(x)=f(x)﹣g(x)=a(x﹣)﹣2lnx+=ax﹣2lnx>0有解,x∈[1,e],即a,则F′(x)=,当x∈[1,e]时,F′(x)=≥0,∴F(x)在[1,e]上单调递增,即Fmin(x)=F
(1)=0,因此a>0即可.故选D.点评本题主要考查不等式有解的问题,将不等式进行转化为函数,利用函数的单调性是解决本题的关键.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.若不等式|3x﹣b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围 5<b<7 .考点绝对值不等式的解法.专题计算题;压轴题.分析首先分析题目已知不等式|3x﹣b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,求b的取值范围,考虑到先根据绝对值不等式的解法解出|3x﹣b|<4含有参数b的解,使得解中只有整数1,2,3,即限定左边大于0小于1,右边大于3小于4.即可得到答案.解答解因为,又由已知解集中的整数有且仅有1,2,3,故有.故答案为5<b<7.点评此题主要考查绝对值不等式的解法问题,题目涵盖知识点少,计算量小,属于基础题型.对于此类基础考点在高考中属于得分内容,同学们一定要掌握. 14.已知函数y=f(x)的图象在M(1,f
(1))处的切线方程是+2,f
(1)+f′
(1)= 3 .考点导数的运算.分析先将x=1代入切线方程可求出f
(1),再由切点处的导数为切线斜率可求出f
(1)的值,最后相加即可.解答解由已知切点在切线上,所以f
(1)=,切点处的导数为切线斜率,所以,所以f
(1)+f′
(1)=3故答案为3点评本题主要考查导数的几何意义,即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率. 15.已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R),它们的交点坐标为 (1,) .考点点的极坐标和直角坐标的互化;参数方程化成普通方程.专题选作题;坐标系和参数方程.分析化参数方程为普通方程,联立即可求得交点坐标解答解把(0≤θ<π)利用同角三角函数的基本关系消去参数,化为直角坐标方程为+y2=1(y≥0),把(t∈R),消去参数t,化为直角坐标方程为y2=x两方程联立可得x=1,y=.∴交点坐标为(1,).故答案为(1,).点评本题考查参数方程化成普通方程,考查学生的计算能力,比较基础. 16.若函数f(x)=x3+3x对任意的m∈[﹣2,2],f(mx﹣2)+f(x)<0恒成立,则x∈ (﹣2,) .考点利用导数研究函数的单调性;函数单调性的性质.专题函数的性质及应用.分析先利用定义、导数分别判断出函数的奇偶性、单调性,然后利用函数的性质可去掉不等式中的符号“f”,转化具体不等式,借助一次函数的性质可得x的不等式组,解出可得答案.解答解∵f(﹣x)=(﹣x)3+3(﹣x)=﹣(x3+3x)=﹣f(x),∴f(x)是奇函数,又f(x)=3x2+3>0,∴f(x)单调递增,f(mx﹣2)+f(x)<0可化为f(mx﹣2)<﹣f(x)=f(﹣x),由f(x)递增知mx﹣2<﹣x,即mx+x﹣2<0,∴对任意的m∈[﹣2,2],f(mx﹣2)+f(x)<0恒成立,等价于对任意的m∈[﹣2,2],mx+x﹣2<0恒成立,则,解得﹣2<x<,故答案为(﹣2,).点评本题考查恒成立问题,考查函数的奇偶性、单调性的应用,考查转化思想,考查学生灵活运用知识解决问题的能力.
三、解答题本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(xx•扶沟县校级模拟)在直角坐标系xOy中,圆O的参数方程为,(θ为参数,r>0).以O为极点,x轴正半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.写出圆心的极坐标,并求当r为何值时,圆O上的点到直线l的最大距离为3.考点简单曲线的极坐标方程;圆的参数方程.专题计算题.分析将直线和圆的方程化为直角坐标方程,利用直线和圆的位置关系求解.解答解圆的直角坐标方程为(x+)2+(y+)2=r2,圆心的直角坐标(﹣,﹣)极坐标.直线l的极坐标方程为即为x+y﹣1=0,圆心到直线的距离.圆O上的点到直线的最大距离为,解得.点评本题考查极坐标、参数方程与普通方程互化的基础知识,考查点到直线距离公式等. 18.(12分)(xx春•保定校级月考)已知函数f(x)=|2x+1|﹣|x﹣3|.
(1)解不等式f(x)≤4;
(2)若存在x使得f(x)+a≤0成立,求实数a的取值范围.考点绝对值不等式的解法.专题不等式的解法及应用.分析
(1)作出函数y=|2x+1|﹣|x﹣3|的图象,可得它的图象与直线y=4的交点为(﹣8,4)和(2,4),从而求得|2x+1|﹣|x﹣3|≤4的解集.
(2)由y=|2x+1|﹣|x﹣3|的图象可知f(x)min=﹣,由题意可得﹣a≥f(x)min,由此求得实数a的取值范围.解答解
(1)y=|2x+1|﹣|x﹣3|=,作出函数y=|2x+1|﹣|x﹣3|的图象,可得它的图象与直线y=4的交点为(﹣8,4)和(2,4).则|2x+1|﹣|x﹣3|≤4的解集为[﹣8,2].
(2)由y=|2x+1|﹣|x﹣3|的图象可知当x=﹣时,f(x)min=﹣,∴存在x使得f(x)+a≤0成立,等价于﹣a≥f(x)min,等价于a≤.点评本题主要考查对由绝对值的函数,绝对值不等式的解法,体现了转化、数形结合的数学思想,属于中档题. 19.(12分)(xx春•保定校级期末)已知函数f(x)=alnx﹣2ax+3(a≠0).(I)设a=﹣1,求函数f(x)的极值;(II)在(I)的条件下,若函数(其中f(x)为f(x)的导数)在区间(1,3)上不是单调函数,求实数m的取值范围.考点利用导数研究函数的极值;函数的单调性与导数的关系.专题计算题.分析(I)先求函数的导函数f′(x),再解不等式f′(x)>0,得函数的单调增区间,解不等式f′(x)<0得函数的单调减区间,最后由极值定义求得函数极值(II)构造新函数g(x),把在区间(1,3)上不是单调函数,即函数g(x)的导函数在区间(1,3)不能恒为正或恒为负,从而转化为求导函数的函数值问题,利用导数列出不等式,最后解不等式求得实数m的取值范围解答解(Ⅰ)当a=﹣1,f(x)=﹣lnx+2x+3(x>0),,…(2分)∴f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+∞)…(4分),∴f(x)的极小值是.…(6分)(Ⅱ),g′(x)=x2+(4+2m)x﹣1,…(8分)∴g(x)在区间(1,3)上不是单调函数,且g′
(0)=﹣1,∴…(10分)∴即﹣.故m的取值范围…(12分)点评本题考查了函数的定义域、单调性、极值,以及导数在其中的应用,由不等式恒成立问题与最值问题求解参数的取值范围的方法 20.(12分)(xx•沧州校级一模)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C相交于A,B两点.(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(Ⅱ)若|PA|•|PB|=|AB|2,求a的值.考点参数方程化成普通方程;点的极坐标和直角坐标的互化.专题坐标系和参数方程.分析(Ⅰ)把曲线C的极坐标方程、直线l的参数方程化为普通方程即可;(Ⅱ)把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中,得关于t的一元二次方程,由根与系数的关系,求出t
1、t2的关系式,结合参数的几何意义,求出a的值.解答解(Ⅰ)曲线C的极坐标方程ρsin2θ=acosθ(a>0),可化为ρ2sin2θ=aρcosθ(a>0),即y2=ax(a>0);(2分)直线l的参数方程为(t为参数),消去参数t,化为普通方程是y=x﹣2;(4分)(Ⅱ)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax(a>0)中,得;设A、B两点对应的参数分别为t1,t2,则;(6分)∵|PA|•|PB|=|AB|2,∴,即;(9分)∴,解得a=2,或a=﹣8(舍去);∴a的值为2.(12分)点评本题考查了参数方程与极坐标的应用问题,也考查了直线与圆锥曲线的应用问题,解题时应先把参数方程与极坐标化为普通方程,再解答问题,是中档题. 21.(12分)(xx春•定兴县校级期末)已知函数f(x)=lnx﹣,a∈R.
(1)若x=2是函数f(x)的极值点,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,求a的取值范围.考点利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.专题综合题;导数的综合应用.分析
(1)求导数f′(x),由x=2为极值点得f′
(2)=0,可求a,切线斜率,切点为(1,0),由点斜式可求切线方程;
(2)由f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,知f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,分离出参数a后,转化为求函数的最值,利用基本不等式可求最值;解答解
(1)=.由题意知f′
(2)=0,代入得,经检验,符合题意.从而切线斜率,切点为(1,0),∴切线方程为x+8y﹣1=0;
(2).∵f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,∴f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,∴2a﹣2≤2.∴a≤2.∴a的取值范围是(﹣∞,2].点评该题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值,考查函数恒成立,考查转化思想. 22.(12分)(xx•茂名一模)已知函数.(a∈R)
(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;
(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围.考点利用导数求闭区间上函数的最值.专题计算题.分析
(1)求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[1,e]上为增函数,所以f
(1)为最小值,f(e)为最大值,求出即可;
(2)令,则g(x)的定义域为(0,+∞).证g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立即得证.求出g′(x)分区间讨论函数的增减性得到函数的极值,利用极值求出a的范围即可.解答解(Ⅰ)当a=1时,,.对于x∈[1,e],有f(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数.∴,(Ⅱ)令,则g(x)的定义域为(0,+∞).在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立.∵.
①若,令g(x)=0,得极值点x1=1,.当x2>x1=1,即时,在(x2,+∞)上有g(x)>0.此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有g(x)∈(g(x2),+∞),不合题意;当x2<x1=1,即a≥1时,同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上,有g(x)∈(g
(1),+∞),也不合题意;
②若,则有2a﹣1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有g(x)<0.从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数要使g(x)<0在此区间上恒成立,只须满足.由此求得a的范围是[,].综合
①②可知,当a∈[,]时,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方.点评考查学生利用导数求函数在闭区间上的最值的能力.以及综合运用函数解决数学问题的能力. 。