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2019-2020年高二数学下学期期末模拟试卷(含解析)
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,计70分.1.(5分)若不等式x2﹣x≤0的解集为M,函数f(x)=ln(1﹣|x|)的定义域为N,则M∩N为.2.(5分)若(1﹣2i)i=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则ab=.3.(5分)若向量,,且∥,则实数x=.4.(5分)袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是.5.(5分)某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为[0,10),[10,20),…,[80,90),[90,100]).则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为.6.(5分)已知函数f(x)=f′()sinx+cosx,则=.7.(5分)根据如图所示的伪代码,当输入a的值为3时,最后输出的S的值为.8.(5分)已知四边形ABCD为梯形,AB∥CD,l为空间一直线,则“l垂直于两腰AD,BC”是“l垂直于两底AB,DC”的条件(填写“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”中的一个).9.(5分)当直线l y=k(x﹣1)+2被圆C(x﹣2)2+(y﹣1)2=5截得的弦最短时,则k=.10.(5分)已知双曲线的一个焦点与圆x2+y2﹣10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为.11.(5分)曲线在点(1,f
(1))处的切线方程为.12.(5分)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=4x的准线交于A、B两点,AB=,则C的实轴长为.13.(5分)在△ABC中,若AB=1,AC=,|+|=||,则=.14.(5分)定义在实数集上的偶函数f(x),满足f(x+2)=f(x),且f(x)在[﹣3,﹣2]上单调减,又α、β是锐角三角形的二个内角,则f(sinα)与f(cosβ)的关系是.(用>,<,≥,≤表示).
二、解答题本大题共8小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15.(14分)已知命题p不等式a2﹣5a﹣3≥3恒成立,命题q不等式x2+ax+2<0有解;若p为真命题,q为假命题,求a的取值范围.16.(14分)在△ABC中,已知(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinC﹣sinA)=3sinBsinC.
(1)求角A的值;
(2)求的最大值.17.选修4﹣4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数,r>0).以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.若圆C上的点到直线l的最大距离为3,求r的值.18.(14分)某汽配厂生产某种零件,每个零件的出厂单价为60元,为了鼓励更多销售商订购,该厂决定当一次订购超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低
0.02元,但实际出厂单价不低于51元.
(1)当一次订购量最少为多少时,零件的实际出厂单价恰好为51元?
(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为p元,写出函数p=f(x)的表达式.19.(16分)已知椭圆C+=1(a>b>0)的离心率为,F
1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,若椭圆C的焦距为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M为椭圆上任意一点,以M为圆心,MF1为半径作圆M,当圆M与椭圆的右准线l有公共点时,求△MF1F2面积的最大值.20.(16分)已知函数f(x)=x3﹣ax2﹣3x
(1)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=﹣是f(x)的极值点,求f(x)在[1,4]上的最大值.21.(16分)(文科)已知数列{an}满足a1=1,a2=,且[3+(﹣1)n]an+2﹣2an+2[(﹣1)n﹣1]=0,n∈N*.(Ⅰ)求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=a2n﹣1•a2n,求数列{bn}的前n项和Sn.22.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,A1A=,M是CC1的中点.
(1)求证A1B⊥AM;
(2)求二面角B﹣AM﹣C的平面角的大小.江苏省盐城市东台市创新学校xx学年高二下学期期末数学模拟试卷参考答案与试题解析
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,计70分.1.(5分)若不等式x2﹣x≤0的解集为M,函数f(x)=ln(1﹣|x|)的定义域为N,则M∩N为[0,1).考点交集及其运算;对数函数的定义域;一元二次不等式的解法.专题计算题.分析先解一个一元二次不等式得出集合M,再根据题目中使函数有意义的x的值求得函数的定义域N,再求它们的交集即可.解答解不等式x2﹣x≤0的解集M={x|0≤x≤1},f(x)=ln(1﹣|x|)的定义域N={x|﹣1<x<1},则M∩N={x|0≤x<1}.故答案为[0,1)点评本题属于以不等式和函数的定义域为平台,求集合的交集的基础题,也是xx届高考常会考的题型.属于基础题.2.(5分)若(1﹣2i)i=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则ab=2.考点复数相等的充要条件.专题计算题.分析把等式左边展开后运用复数相等的概念得到a、b的值.解答解由(1﹣2i)i=a+bi,得2+i=a+bi,所以a=2,b=1,所以ab=2.故答案为2.点评本题考查了复数相等的充要条件,两个复数相等,当且仅当它们的实部等于实部,虚部等于虚部,是基础题.3.(5分)若向量,,且∥,则实数x=﹣4.考点平面向量共线(平行)的坐标表示.专题平面向量及应用.分析利用向量共线定理即可得出.解答解∵∥,∴3x﹣2×(﹣6)=0,解得x=﹣4.故答案为﹣4.点评本题考查了向量共线定理,属于基础题.4.(5分)袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是.考点等可能事件的概率.专题计算题.分析由于所有的取法共有种,取出的3个球能构成等差数列的取法有2种,由此求得三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率.解答解从中随机选取三个球,所有的取法共有=4种,其中,取出的3个球能构成等差数列的取法有2种三个球的号码分别为
2、
3、4和
2、
4、6,故所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是=,故答案为.点评本题考查等可能事件的概率,考查数字排列问题,题目在计算时注意数字本身的特点,再就是要做到不重不漏,属于中档题.5.(5分)某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为[0,10),[10,20),…,[80,90),[90,100]).则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为120.考点用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图.专题计算题.分析先由频率分布直方图计算得分落在80分以下各分数段的频率和频数,再将其相加即得低于80分的人数,总人数为400人,故可得高于80分的人数解答解由图可知,得分在[50,60)的频率为
0.015×10=
0.15,频数为
0.15×400=60得分在[60,70)的频率为
0.025×10=
0.25,频数为
0.25×400=100得分在[70,80)的频率为
0.03×10=
0.3,频数为
0.3×400=120∴得分低于80分的人数为60+100+120=280∴得分不低于80分的人数为400﹣280=120故答案为120点评本题主要考查了利用频率分布直方图估计总体分布的方法,频率分布直方图的认识和应用,数据的频率和频数的计算方法6.(5分)已知函数f(x)=f′()sinx+cosx,则=﹣1.考点导数的运算.专题导数的概念及应用.分析对函数f(x)的解析式求导,得到其导函数,把x=代入导函数中,列出关于f()的方程,进而得到f()的值,确定出函数f(x)的解析式,把x=代入f(x)解析式,即可求出f()的值.解答解求导得f′(x)=f′()cosx﹣sinx,令x=得f′()=f′()cos﹣sin解得f′()=﹣﹣1∴f(x)=(﹣﹣1)sinx+cosx,则=(﹣﹣1)sin+cos=﹣1故答案为﹣1点评本题主要考查了导数的运算,以及函数的值,同时考查了计算能力,解题的关键是求f′()的值,属于基础题.7.(5分)根据如图所示的伪代码,当输入a的值为3时,最后输出的S的值为21.考点伪代码.专题阅读型.分析分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用是累加,当不满足条件i≤3时推出循环,得到S的值即可.解答解分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用是累加,当不满足条件i≤3时推出循环.此时S=3+6+12=21,故输出的S值为21.故答案为21.点评本题主要考查根据伪代码求输出结果,是算法中常见的题型,解题的关键是弄清循环的次数,属于基础题.8.(5分)已知四边形ABCD为梯形,AB∥CD,l为空间一直线,则“l垂直于两腰AD,BC”是“l垂直于两底AB,DC”的充分不必要条件(填写“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”中的一个).考点空间中直线与直线之间的位置关系;必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题证明题.分析先看充分性,当l垂直于两腰AD,BC时,根据直线与平面垂直的判定定理,可得l与平面ABCD垂直,结合AB,DC是平面ABCD内的直线,得到l垂直于两底AB,DC,充分性成立;再看必要性,作出梯形ABCD的高AE,设AE所在直线为l,可得l满足垂直于两底AB,DC,但是l不与梯形ABCD的两腰垂直,必要性不成立.由此得到正确答案.解答解先看充分性∵四边形ABCD为梯形,AB∥CD,∴两腰BC、AD所在直线是相交直线.∵l垂直于两腰AD,BC∴l⊥平面ABCD又∵AB,DC是平面ABCD内的直线,∴l垂直于两底AB,DC,因此充分性成立;再看必要性作出梯形ABCD的高AE,则AE垂直于两底AB,DC,设AE所在直线为l,∵l垂直于两底AB,DC,且l是平面ABCD内的直线,∴l与梯形ABCD的两腰不垂直,因此必要性不成立.故答案为充分不必要.点评本题借助于必要条件、充分条件与充要条件的判断,着重考查了空间直线与平面垂直、直线与直线垂直的判定与证明等知识点,属于基础题.9.(5分)当直线l y=k(x﹣1)+2被圆C(x﹣2)2+(y﹣1)2=5截得的弦最短时,则k=1.考点直线与圆的位置关系.专题直线与圆.分析先求出圆心到直线l的距离为d,设弦长为L,则()2+d2=r2,再根据L的解析式,利用基本不等式求得L的最小值.解答解圆C(x﹣2)2+(y﹣1)2=5的圆心(2,1),半径为,设圆心到直线l的距离为d,则d==,又设弦长为L,则()2+d2=r2,即()2=5﹣=5﹣(1+)=4﹣≥3.∴当k=1时,()2min=3,∴直线l y=k(x﹣1)+2被圆C(x﹣2)2+(y﹣1)2=5截得的弦最短时,则k=1.故答案为1.点评本题主要考查直线过定点问题,直线和圆相交的性质,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,属于中档题.10.(5分)已知双曲线的一个焦点与圆x2+y2﹣10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为.考点双曲线的标准方程;双曲线的简单性质.专题计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析将圆化成标准方程得圆x2+y2﹣10x=0的圆心为F(5,0),可得c==5,结合双曲线的离心率e==算出a=,由平方关系得到b2=20,由此即可得出该双曲线的标准方程.解答解∵圆x2+y2﹣10x=0化成标准方程,得(x﹣5)2+y2=25∴圆x2+y2﹣10x=0的圆心为F(5,0)∵双曲线的一个焦点为F(5,0),且的离心率等于,∴c==5,且=因此,a=,b2=c2﹣a2=20,可得该双曲线的标准方程为故答案为点评本题给出双曲线的离心率,并且一个焦点为已知圆的圆心,求双曲线的标准方程,着重考查了圆的标准方程、双曲线的基本概念和简单几何性质等知识,属于基础题.11.(5分)曲线在点(1,f
(1))处的切线方程为.考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题导数的概念及应用.分析求导函数,确定切线的斜率,求出切点坐标,即可得到切线方程.解答解由题意,,∴,∴f′
(1)=e∴∴∴所求切线方程为y﹣e+=e(x﹣1),即故答案为点评本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,确定切线的斜率是关键.12.(5分)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=4x的准线交于A、B两点,AB=,则C的实轴长为1.考点双曲线的简单性质;抛物线的简单性质.专题圆锥曲线的定义、性质与方程.分析设出双曲线方程,求出抛物线的准线方程,利用|AB|=,即可求得结论.解答解设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=λ.
(1)∵抛物线y2=4x,2p=4,p=2,∴=1.∴抛物线的准线方程为x=﹣1.设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣1的两个交点A(﹣1,y),B(﹣1,﹣y)(y>0),则|AB|=|y﹣(﹣y)|=2y=,∴y=.将x=﹣1,y=代入
(1),得(﹣1)2﹣()2=λ,∴λ=∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=,即,∴C的实轴长为1.故答案为1.点评本题考查抛物线,双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.13.(5分)在△ABC中,若AB=1,AC=,|+|=||,则=.考点平面向量数量积的性质及其运算律.专题计算题;平面向量及应用.分析根据题意,以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC是矩形,由勾股定理求出BC=2.过A作AE⊥BC于E,算出BE=,最后结合数量积的公式和直角三角形余弦的定义,即可算出的值.解答解以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC,则=+∵=∴四边形ABDC是矩形过A作AE⊥BC于E∵Rt△ABC中,,∴BC==2,可得斜边上的高AE==因此,BE==∵=,cos∠ABC=∴==1,可得=故答案为点评本题在直角三角形中,求一个向量在另一个向量上投影的值.着重考查了向量加法的几何定义和向量数量积的定义等知识,属于基础题.14.(5分)定义在实数集上的偶函数f(x),满足f(x+2)=f(x),且f(x)在[﹣3,﹣2]上单调减,又α、β是锐角三角形的二个内角,则f(sinα)与f(cosβ)的关系是f(sinα)>f(cosβ).(用>,<,≥,≤表示).考点奇偶性与单调性的综合.专题综合题;函数的性质及应用.分析确定函数f(x)在[0,1]上单调增,再确定1>sinα>cosβ>0,即可得到结论.解答解∵函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且f(x)在[﹣3,﹣2]上单调减,∴f(x)在[﹣1,0]上单调减∵f(x)是偶函数∴f(x)在[0,1]上单调增∵α、β是锐角三角形的两个内角,∴α+β∴∴∴1>sinα>cosβ>0∴f(sinα)>f(cosβ)故答案为f(sinα)>f(cosβ).点评本题考查函数的单调性,考查三角函数的范围,属于中档题.
二、解答题本大题共8小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15.(14分)已知命题p不等式a2﹣5a﹣3≥3恒成立,命题q不等式x2+ax+2<0有解;若p为真命题,q为假命题,求a的取值范围.考点一元二次不等式与一元二次方程;命题的真假判断与应用;函数恒成立问题.专题计算题.分析分别求出p为真命题,q为假命题时a的取值范围,从而可得a的取值范围.解答解因为a2﹣5a﹣3≥3,所以a≥6或a≤﹣1.所以p为真命题时a≥6或a≤﹣1…(4分)又因为不等式x2+ax+2<0有解,所以△=a2﹣8>0所以或所以q为假命题时,…(8分)所以p为真命题,q为假命题时,a的取值范围为…(12分)点评本题重点考查命题真假的运用,考查不等式的解法,解题的关键是求出p为真命题,q为假命题时a的取值范围,属于基础题.16.(14分)在△ABC中,已知(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinC﹣sinA)=3sinBsinC.
(1)求角A的值;
(2)求的最大值.考点三角函数中的恒等变换应用.专题计算题;三角函数的求值.分析
(1)利用正弦定理将(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinC﹣sinA)=3sinBsinC转化为边之间的关系,再由余弦定理即可求得求角A的值;
(2)利用
(1)中角A=60°,可求得B=120°﹣C,利用三角函数中的恒等变换可将sinB﹣cosC转化为关于角C的关系式,从而可求得其最大值.解答解
(1)∵(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinC﹣sinA)=3sinBsinC,∴(sinB+sinC)2﹣sin2A=3sinBsinC,∴sin2B+sin2C﹣sin2A﹣sinBsinC=0,由正弦定理===2R得b2+c2﹣a2﹣bc=0,又由余弦定理知,a2=b2+c2﹣2bccosA,∴cosA=,角A=60°.
(2)∵角A=60°,在△ABC中,A+B+C=180°,∴B=120°﹣C,∴sinB﹣cosC=sin(120°﹣C)﹣cosC=(cosC﹣(﹣)sinC)﹣cosC=cosC+sinC=sin(C+),∵C∈(0°,120°),∴=1,即sinB﹣cosC得最大值为1.点评本题考查三角函数中的恒等变换应用,着重考查正弦定理与余弦定理,突出三角函数中的恒等变换及诱导公式的应用,属于中档题.17.选修4﹣4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数,r>0).以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.若圆C上的点到直线l的最大距离为3,求r的值.考点点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程.专题直线与圆.分析将直线和圆的方程化为直角坐标方程,利用直线和圆的位置关系求解.解答解圆的直角坐标方程为(x+)2+(y+)2=r2,圆心的直角坐标(﹣,﹣)直线l的极坐标方程为即为x+y﹣=0,圆心O(﹣,﹣)到直线的距离d==2.圆O上的点到直线的最大距离为2+r=3,解得r=1.点评本题考查极坐标、参数方程与普通方程互化的基础知识,考查点到直线距离公式等.18.(14分)某汽配厂生产某种零件,每个零件的出厂单价为60元,为了鼓励更多销售商订购,该厂决定当一次订购超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低
0.02元,但实际出厂单价不低于51元.
(1)当一次订购量最少为多少时,零件的实际出厂单价恰好为51元?
(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为p元,写出函数p=f(x)的表达式.考点分段函数的应用.专题应用题.分析
(1)由题意设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一次订购量为x0个,则因此,当一次订购量为550个时,每个零件的实际出厂价恰好降为51元;
(2)前100件单价为P,当进货件数大于等于550件时,P=51,则当100<x<550时,得到P为分段函数,写出解析式即可;解答解
(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一次订购量为x0个,则因此,当一次订购量为550个时,每个零件的实际出厂价恰好降为51元.
(2)当0<x≤100时,P=60当100<x<550时,当x≥550时,P=51所以.点评本小题主要考查函数的基本知识,考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.19.(16分)已知椭圆C+=1(a>b>0)的离心率为,F
1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,若椭圆C的焦距为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M为椭圆上任意一点,以M为圆心,MF1为半径作圆M,当圆M与椭圆的右准线l有公共点时,求△MF1F2面积的最大值.考点椭圆的简单性质.专题圆锥曲线的定义、性质与方程.分析
(1)根据焦距为2求出c的值,再由离心率为可求出a的值,进而得到b的值,则椭圆方程可求;
(2)先设M的坐标为(x0,y0)根据题意满足,再表示出直线l的方程,由圆M与l有公共点可得到M到l的距离4﹣x0小于或等于圆的半径R,整理可得到关系y02+10x0﹣15≥0,再由消去y0,求出x0的取值范围,写出△MF1F2面积后即可求出最大值.解答解
(1)∵2c=2,且,∴c=1,a=2,∴b2=a2﹣c2=3.则椭圆C的方程为;
(2)设点M的坐标为(x0,y0),则.∵F1(﹣1,0),,∴直线l的方程为x=4.由于圆M与l有公共点,∴M到l的距离4﹣x0小于或等于圆的半径R.∵R2=MF12=(x0+1)2+y02,∴(4﹣x0)2≤(x0+1)2+y02,即y02+10x0﹣15≥0.又,∴3﹣+10x0﹣15≥0.解得,又,∴,当时,,∴×2×=.点评本题主要考查椭圆的标准方程及其简单性质,考查直线与椭圆、圆与椭圆的交点问题,解答此题的关键在于不等式的转化,属难题.20.(16分)已知函数f(x)=x3﹣ax2﹣3x
(1)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=﹣是f(x)的极值点,求f(x)在[1,4]上的最大值.考点利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件.专题综合题;压轴题.分析
(1)求导函数,利用f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,可得f′(x)≥0在区间[1,+∞)上恒成立,由此可求实数a的取值范围;
(2)利用x=﹣是f(x)的极值点,求出a的值,再求出函数的极值,把极值同两个端点的值进行比较得到最值解答解
(1)求导函数,可得f′(x)=3x2﹣2ax﹣3,∵f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,∴f′(x)≥0在区间[1,+∞)上恒成立∴3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1,+∞)上恒成立∴且f′
(1)=﹣2a≥0∴a≤0
(2)∵x=﹣是f(x)的极值点,∴∴∴a=4∴f(x)=x3﹣4x2﹣3x,f′(x)=3x2﹣8x﹣3,∴x1=﹣,x2=3令f′(x)>0,1<x<4,可得3<x<4;令f′(x)<0,1<x<4,可得1<x<3;∴x=3时,函数取得最小值﹣18∵f
(1)=﹣6,f
(4)=﹣12∴f(x)在[1,4]上的最大值为﹣6.点评本题考查导数的应用,求极值和求最值,考查恒成立问题,考查学生等价转化问题的能力,属于中档题.21.(16分)(文科)已知数列{an}满足a1=1,a2=,且[3+(﹣1)n]an+2﹣2an+2[(﹣1)n﹣1]=0,n∈N*.(Ⅰ)求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=a2n﹣1•a2n,求数列{bn}的前n项和Sn.考点数列的求和;数列递推式.专题等差数列与等比数列.分析(Ⅰ)通过n=1,2,3,4,计算可得a3,a4,a5,a6的值,讨论n为奇数和偶数,由等差数列和等比数列的通项即可得到数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求出bn=(2n﹣1)•()n,运用错位相减法,即可得到数列{bn}的前n项和Sn.解答解(Ⅰ)a1=1,a2=,且[3+(﹣1)n]an+2﹣2an+2[(﹣1)n﹣1]=0,则2a3﹣2a1﹣4=0,解得a3=3,4a4﹣2a2=0,解得a4=,2a5﹣2a3﹣4=0,解得a5=5,4a6﹣2a4=0,解得a6=,当n为奇数时,an+2=an+2,an=n;当n为偶数时,an+2=an,an=.即有an=;(Ⅱ)由于2n﹣1为奇数,则a2n﹣1=2n﹣1,由于2n为偶数,则a2n=()n.因此,bn=a2n﹣1•a2n=(2n﹣1)•()n.Sn=1•+3•()2+5•()3+…+(2n﹣3)•()n﹣1+(2n﹣1)•()n,Sn=1•()2+3•()3+5•()4+…+(2n﹣3)•()n+(2n﹣1)•()n+1,两式相减得Sn=1•+2[()2+()3+()4+…+()n]﹣(2n﹣1)•()n+1,=+2•﹣(2n﹣1)•()n+1,化简可得,Sn=3﹣.点评本题考查等比数列和等差数列的通项和求和公式的运用,同时考查错位相减法求数列的和,考查运算能力,属于中档题.22.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,A1A=,M是CC1的中点.
(1)求证A1B⊥AM;
(2)求二面角B﹣AM﹣C的平面角的大小.考点用空间向量求平面间的夹角.专题空间角;空间向量及应用.分析
(1)以C为原点,CB,CA,CC1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,由此利用向量法能证明A1B⊥AM.
(2)求出平面AMC的一个法向量和平面BAM的法向量,由此利用向量法能求出二面角B﹣AM﹣C的平面角的大小.解答
(1)证明以C为原点,CB,CA,CC1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),A(0,,0),,M(0,0,),=(1,﹣,﹣),=(0,﹣,),∵=0+3﹣3=0,∴A1B⊥AM.
(2)解∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,∴CC1⊥平面ABC,又BC⊂平面ABC,∴CC1⊥BC,∵∠ACB=90°,即BC⊥AC,又AC∩CC1=C,∴BC⊥平面ACC1,即BC⊥平面AMC,∴=(1,0,0)是平面AMC的一个法向量,设=(x,y,z)是平面BAM的法向量,=(﹣1,,0),=(﹣1,0,),∴,取z=2,得=(),∴cos<>==.∴二面角B﹣AM﹣C的平面角的大小为45°.点评本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的大小的求法,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用,是中档题.。