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2019-2020年高二数学寒假作业7含答案
一、选择题.
1.已知命题p∃x∈R,cosx=;命题q∀x∈R,x2﹣x+1>0.则下列结论正确的是A.命题p∧q是真命题B.命题p∧¬q是真命题C.命题¬p∧q是真命题D.命题¬p∨¬q是假命题
2.已知实数x,y满足,则目标函数z=x﹣y的最小值为( )A.﹣2B.5C.6D.
73.已知M是△ABC内的一点,且=2,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA和△MAB的面积分别为,x,y,则+的最小值是( )A.20B.18C.16D.
94.已知在等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=,则该数列的公比等于A.B.C.2D.
5.△ABC中,a,b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,如果a,b、c成等差数列,∠B=30°,△ABC的面积为,那么b等于A.B.C.D.
6.若数列{an},{bn}的通项公式分别是,,且an<bn对任意n∈N*恒成立,则实数a的取值范围是( )A.[﹣1,)B.[﹣2,)C.[﹣2,)D.[﹣1,)
7.数列1,2,4,8,16,32,…的一个通项公式是A.an=2n﹣1B.an=2n﹣1C.an=2nD.an=2n+
18.设F
1、F2分别是椭圆+=1的左、焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点的距离为A.2B.3C.4D.
59.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一个焦点,两条曲线的交点的连线过点F,则双曲线的离心率为A.B.C.1+D.1+
10.若曲线C1y=ax2(a>0)与曲线C2y=ex存在公共切线,则a的取值范围为A.B.C.[,+∞)D.二.填空题.
11.抛物线x=y2的焦点到双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线的距离为,则该双曲线的离心率为.
12.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为.
13.已知等差数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和,若a2,a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根,则S6的值为.
14.已知数列{an}的通项公式为an=n2+λn(n=1,2,3,…),若数列{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是.
三、解答题.
15.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an﹣1(n=1,2,…)(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前n项和Tn,并求使Tn成立的n的最大值.
16.在△ABC中,a、b、c为角A、B、C所对的三边,已知b2+c2﹣a2=bc.(Ⅰ)求角A的值;(Ⅱ)若,,求c的长.
17.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C+=1(a>b>0)的离心率为,直线y=x被椭圆C截得的线段长为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点).点D在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.(i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值;(ii)求△OMN面积的最大值.【】新课标xx年高二数学寒假作业7参考答案
1.C【考点】复合命题的真假.【专题】计算题;综合题.【分析】根据余弦函数的值域,可知命题p是假命题,根据二次函数的图象与性质,得命题q是真命题.由此对照各个选项,可得正确答案.【解答】解因为对任意x∈R,都有cosx≤1成立,而>1,所以命题p∃x∈R,cosx=是假命题;∵对任意的∈R,x2﹣x+1=(x﹣)2+>0∴命题q∀x∈R,x2﹣x+1>0,是一个真命题由此对照各个选项,可知命题¬p∧q是真命题故答案为C【点评】本题以复合命题真假的判断为载体,考查了余弦函数的值域和一元二次不等式恒成立等知识,属于基础题.
2.A考点简单线性规划.专题不等式的解法及应用.分析先画出约束条件的可行域,再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=x﹣y,不难求出目标函数z=x﹣y的最小值.解答解如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域,由得A(3,5),当直线z=x﹣y平移到点A时,直线z=x﹣y在y轴上的截距最大,即z取最小值,即当x=3,y=5时,z=x﹣y取最小值为﹣2.故选A.点评本题主要考查线性规划的基本知识,用图解法解决线性规划问题时,利用线性规划求函数的最值时,关键是将目标函数赋予几何意义.
3.B【考点】基本不等式在最值问题中的应用;向量在几何中的应用.【专题】计算题.【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值,利用三角形的面积公式求得x+y的值,进而把+转化成2(+)×(x+y),利用基本不等式求得+的最小值.【解答】解由已知得=bccos∠BAC=2⇒bc=4,故S△ABC=x+y+=bcsinA=1⇒x+y=,而+=2(+)×(x+y)=2(5++)≥2(5+2)=18,故选B.【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用,向量的数量积的运算.要注意灵活利用y=ax+的形式.
4.A【考点】等比数列的通项公式.【专题】等差数列与等比数列.【分析】由已知得,由此能求出该数列的公比.【解答】解∵在等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=,∴,∴10q3=,解得q=.故选A.【点评】本题考查等比数列的公式的求法,是基础题,解题时要注意等比数列的性质的合理运用.
5.B【考点】解三角形.【专题】计算题;压轴题.【分析】先根据等差中项的性质可求得2b=a+c,两边平方求得a,b和c的关系式,利用三角形面积公式求得ac的值,进而把a,b和c的关系式代入余弦定理求得b的值.【解答】解∵a,b、c成等差数列,∴2b=a+c,得a2+c2=4b2﹣2ac,又∵△ABC的面积为,∠B=30°,故由,得ac=6.∴a2+c2=4b2﹣12.由余弦定理,得,解得.又b为边长,∴.故选B【点评】本题主要考查了余弦定理的运用.考查了学生分析问题和基本的运算能力.
6.C【考点】数列递推式.【专题】等差数列与等比数列.【分析】an<bn对任意n∈N*恒成立,分类讨论当n为偶数时,可得a<2﹣,解得a范围.当n为奇数时,可得﹣a<2+,解得a范围,求其交集即可.【解答】解∵an<bn对任意n∈N*恒成立,∴当n为偶数时,可得a<2﹣,解得.当n为奇数时,可得﹣a<2+,解得.∴a≥﹣2.∴.故选C.【点评】本题考查了数列的单调性、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
7.B【考点】等比数列的通项公式.【专题】计算题.【分析】观察此数列是首项是1,且是公比为2的等比数列,根据等比数列的通项公式求出此数列的一个通项公式.【解答】解由于数列1,2,4,8,16,32,…的第一项是1,且是公比为2的等比数列,故通项公式是an=1×qn﹣1=2n﹣1,故此数列的一个通项公式an=2n﹣1,故选B.【点评】本题主要考查求等比数列的通项公式,求出公比q=2是解题的关键,属于基础题.
8.C考点椭圆的简单性质.专题圆锥曲线的定义、性质与方程.分析由题意知,OM是三角形PF1F2的中位线,由|OM|=3,可得|PF2|=6,再由椭圆的定义求出|PF1|的值.解答解如图,则OM是三角形PF1F2的中位线,∵|OM|=3,∴|PF2|=6,又|PF1|+|PF2|=2a=10,∴|PF1|=4,故选C.点评本题考查椭圆的定义,以及椭圆的简单性质的应用,判断OM是三角形PF1F2的中位线是解题的关键,是中档题.
9.C考点双曲线的简单性质.专题计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标,代入双曲线,把=c代入整理得c4﹣6a2c2+a4=0等式两边同除以a4,得到关于离心率e的方程,进而可求得e.解答解由题意,∵两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为(,p),代入双曲线方程得,又=c代入化简得c4﹣6a2c2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∴e2=3+2=(1+)2∴e=+1故选C.点评本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系c2=a2+b2注意与椭圆的区别.
10.C考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题导数的综合应用.分析求出两个函数的导函数,由导函数相等列方程,再由方程有根转化为两函数图象有交点求得a的范围.解答解由y=ax2(a>0),得y′=2ax,由y=ex,得y′=ex,∵曲线C1y=ax2(a>0)与曲线C2y=ex存在公共切线,则设公切线与曲线C1切于点(),与曲线C2切于点(),则,将代入,可得2x2=x1+2,∴a=,记,则,当x∈(0,2)时,f′(x)<0.∴当x=2时,.∴a的范围是[).故选C.点评本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查了方程有根的条件,是中档题.
11.考点双曲线的简单性质.专题计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析求出抛物线的焦点坐标,双曲线的渐近线方程,由点到直线的距离公式,可得a,b的关系,再由离心率公式,计算即可得到.解答解抛物线x=y2的焦点为(1,0),双曲线﹣=1(a>b>0)的一条渐近线为bx+ay=0,则焦点到渐近线的距离d==,即有b=a,则c==a,即有双曲线的离心率为.故答案为.点评本题考查抛物线和双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的运用,考查点到直线的距离公式,考查离心率的求法,属于基础题.
12.考点抛物线的简单性质;双曲线的简单性质.专题计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析由抛物线标准方程易得其准线方程为x=﹣6,可得双曲线的左焦点为(﹣6,0),再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程是y=x,得a、b的另一个方程,求出a、b,即可得到双曲线的标准方程.解答解因为抛物线y2=24x的准线方程为x=﹣6,所以由题意知,点F(﹣6,0)是双曲线的左焦点,所以a2+b2=c2=36,
①又双曲线的一条渐近线方程是y=x,所以a=b,
②由
①②解得a2=18,b2=18,所以双曲线的方程为.故答案为.点评本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.
13.24考点等差数列的性质.专题等差数列与等比数列.分析由一元二次方程的根与系数关系求得a2,a4,进一步求出公差和首项,则答案可求.解答解由a2,a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根,得,由已知得a4>a2,∴解得a2=1,a4=5,∴d=,则a1=a2﹣d=1﹣2=﹣1,∴.故答案为24.点评本题考查了一元二次方程的根与系数关系,考查了等差数列的通项公式和前n项和,是基础的计算题.
14.(﹣3,+∞)考点数列的函数特性.专题等差数列与等比数列.分析由已知条件推导出an+1﹣an=(n+1)2+λ(n+1)﹣(n2+λn)=2n+1+λ>0恒成立,由此能求出实数λ的取值范围.解答解∵数列{an}的通项公式为an=n2+λn(n=1,2,3,…),数列{an}是递增数列,∴an+1﹣an=(n+1)2+λ(n+1)﹣(n2+λn)=2n+1+λ>0恒成立∵2n+1+λ的最小值是2×1+1+λ=3+λ>0∴λ>﹣3即实数λ的取值范围是(﹣3,+∞).故答案为(﹣3,+∞).点评本题考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意单调性的灵活运用.
15.考点数列的求和;数列递推式.专题等差数列与等比数列.分析(Ⅰ)利用an=Sn﹣Sn﹣1可得an=2an﹣1,进而可得结论;(Ⅱ)通过对bn分离分母,并项相加即得结论.解答解(Ⅰ)当n=1时,a1=S1=2a1﹣1,∴a1=1,当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1,∴an=2an﹣1,∴数列{an}的通项an=2n﹣1;(Ⅱ)由(I)知bn===2(﹣),∴Tn=b1+b2+…+bn=2(﹣+++…+﹣)=2(﹣),Tn等价于2(﹣),∴2n+1<4030,即得n≤11,即n的最大值为11.点评本题考查求数列的通项、前n项和,注意解题方法的积累,属于中档题.
16.【考点】余弦定理的应用;正弦定理的应用.【专题】计算题;综合题.【分析】(Ⅰ)把题设等式代入关于cosA的余弦定理中求得cosA的值,进而求得A.(Ⅱ)先利用同角三角函数的基本关系求得sinC的值,然后利用正弦定理求得b.解(Ⅰ)b2+c2﹣a2=bc,∵0<A<π∴(Ⅱ)在△ABC中,,,∴由正弦定理知,∴═.∴b=【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.考查了学生对这两个定理的熟练掌握.
17.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】(Ⅰ)由椭圆离心率得到a,b的关系,化简椭圆方程,和直线方程联立后求出交点的横坐标,把弦长用交点横坐标表示,则a的值可求,进一步得到b的值,则椭圆方程可求;(Ⅱ)(i)设出A,D的坐标分别为(x1,y1)(x1y1≠0),(x2,y2),用A的坐标表示B的坐标,把AB和AD的斜率都用A的坐标表示,写出直线AD的方程,和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和,求出AD中点坐标,则BD斜率可求,再写出BD所在直线方程,取y=0得到M点坐标,由两点求斜率得到AM的斜率,由两直线斜率的关系得到λ的值;(ii)由BD方程求出N点坐标,结合(i)中求得的M的坐标得到△OMN的面积,然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值.【解答】解(Ⅰ)由题意知,,则a2=4b2.∴椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2.将y=x代入可得,因此,解得a=2.则b=1.∴椭圆C的方程为;(Ⅱ)(i)设A(x1,y1)(x1y1≠0),D(x2,y2),则B(﹣x1,﹣y1).∵直线AB的斜率,又AB⊥AD,∴直线AD的斜率.设AD方程为y=kx+m,由题意知k≠0,m≠0.联立,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0.∴.因此.由题意可得.∴直线BD的方程为.令y=0,得x=3x1,即M(3x1,0).可得.∴,即.因此存在常数使得结论成立.(ii)直线BD方程为,令x=0,得,即N().由(i)知M(3x1,0),可得△OMN的面积为S==.当且仅当时等号成立.∴△OMN面积的最大值为.【点评】本题考查椭圆方程的求法,主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用,直线与曲线联立,根据方程的根与系数的关系解题,是处理这类问题的最为常用的方法,但圆锥曲线的特点是计算量比较大,要求考试具备较强的运算推理的能力,是压轴题.。