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2019-2020年高二数学测试题导数、排列组合含答案
一、选择题(本大题共12小题每小题5分,共60分在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知是虚数单位,则等于A.B.C.D.2.已知函数,求()A. B.5 C.4 D.33.二项式展开式中的常数项是A.第7项B.第8项C.第9项D.第10项4.在复平面内,复数2-i2对应的点位于 .A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.用0,1,2,3,4组成没有重复数字的全部五位数中,若按从小到大的顺序排列,则数字12340应是第( )个数.A.6 B.9 C.10 D.86.设的展开式的各项系数和为,二项式系数和为,若,则展开式中的系数为()A.B.C.D.7.已知则的值为()A.1B.2C.3D.48.已知复数,是的共轭复数,且则a、b的值分别为A.B.C.D.9.已知函数的导函数为,且满足关系式,则的值等于()A.2B.C.D.10.某中学从名男生和名女生中推荐人参加社会公益活动,若选出的人中既有男生又有女生,则不同的选法共有()A.种B.种C.种D.种11.函数的导函数的部分图象为()12.由直线,x=2,曲线及x轴所围图形的面积为()A.B.C.D.第II卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.已知复数z满足,那么______.14.在二项式的展开式中,含的项的系数是.15.6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答)16.已知边长分别为a、b、c的三角形ABC面积为S,内切圆O半径为r,连接OA、OB、OC,则三角形OAB、OBC、OAC的面积分别为cr、ar、br,由S=cr+ar+br得r=,类比得若四面体的体积为V四个面的面积分别为A、B、C、D,则内切球的半径R=_____________.
三、解答题(本大题共6小题,共74分解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤)17.(10分)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)直线为曲线的切线,且经过原点,求直线的方程及切点坐标.18.(12分)已知函数(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)求在区间上的最值.19.(12分)已知是函数的一个极值点
(1)求的值;
(2)求函数的单调区间;
(3)若直线与函数的图象有3个交点,求的取值范围20.(12分)已知,设函数
(1)若,求函数在上的最小值
(2)判断函数的单调性21.(13分)已知函数fx=ln1+x-.1求fx的极小值;2若a、b0求证:
22、13分)已知函数f(x)=alnx-bx2图象上一点P(2,f
(2))处的切线方程为y=-3x+2ln2+2
(1)求a,b的值;
(2)若方程f(x)+m=0在内有两个不等实根,求m的取值范围(其中e为自然对数的底);
17、
(1)∵f(x)=(x3+x-16)=3x2+1,∴在点(2,-6)处的切线的斜率k=f′
(2)=3×22+1=13,∴切线的方程为y=13x-32.
(2)设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f(x0)=3x02+1,∴直线l的方程为y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16.又∵直线l过点(0,0),∴0=(3x02+1)(-x0)+x03+x0-16,整理,得x03=-8,∴x0=-2,∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,直线l的斜率k=3×(-2)2+1=13,∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
19、解(Ⅰ)因为所以因此a=16(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=16ln(1+x)+x2﹣10x,x∈(﹣1,+∞) 当x∈(﹣1,1)∪(3,+∞)时,f′(x)>0 当x∈(1,3)时,f′(x)<0所以f(x)的单调增区间是(﹣1,1),(3,+∞)f(x)的单调减区间是(1,3) (Ⅲ)由(Ⅱ)知,f(x)在(﹣1,1)内单调增加,在(1,3)内单调减少,在(3,+∞)上单调增加,且当x=1或x=3时,f′(x)=0 所以f(x)的极大值为f
(1)=16ln2﹣9,极小值为f
(3)=32ln2﹣21 因此f
(16)=162﹣10×16>16ln2﹣9=f
(1)f(e﹣2﹣1)<﹣32+11=﹣21<f
(3)所以在f(x)的三个单调区间(﹣1,1),(1,3),(3,+∞)直线y=b有y=f(x)的图象各有一个交点,当且仅当f
(3)<b<f
(1)因此,b的取值范围为(32ln2﹣21,16ln2﹣9).
20、解
(1)若a=3e,则f(x)=3x-3elnx+1f′x=3−=令f′(x)>0,解得x>e,令f′(x)<0,解得x<e,∴f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,2e]上单调递增.故 当x=e时,函数f(x)取得最小值,最小值是f(e)=1
(2)由题意可知,函数f(x)的定义域是(0,+∞)又f′x=3−=当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,令f′x=>0解得,x>,此时函数f(x)是单调递增的令f′x=<0解得,0<x<,此时函数f(x)是单调递减的综上所述,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞)当a>0时,函数f(x)的单调递增区间是,+∞,单调递减区间是0,
21、解
(1)f′(x)=-=,x>-1当-1<x<0时,f′(x)<0,f(x)在(-1,0)上单调递减,当x=0时,f′(x)=0,当x>0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以x=1是f(x)的极小值点也是最小值点,所以f(x)的极小值=f
(0)=0;
(2)由
(1),f(x)≥f
(0)=0,从而ln(1+x)≥在定义域(-1,+∞)上恒成立.要证lna-lnb≥1-成立.即证≥1-成立.令1+x=,则=1-=1-于是lna-lnb≥1-,不等式成立
22、解
(1)f′(x)=-2bx,f′
(2)=-4b,f
(2)=aln2-4b,∴-4b=-3,且aln2-4b=-6+2ln2+2,解得a=2,b=1;
(2)f(x)=2lnx-x2,令h(x)=f(x)+m=2lnx-x2+m,则h′(x)=,令h′(x)=0,得x=1(x=-1舍去),在[,e]内,当x∈[,1)时,h′(x)>0,所以h(x)是增函数;当x∈(1,e]时,h′(x)<0,所以h(x)是减函数,则方程h(x)=0在[,e]内有两个不等实根的充要条件是即1<m≤e2-2;
(3)g(x)=2lnx-x2-nx,g′(x)=-2x-n,假设结论成立,则有
①-
②,得∴,由
④得,∴,即,即,
⑤,令(0<t<1),则u′(t)=>0,所以u(t)在0<t<1上是增函数,u(t)<u
(1)=0,所以
⑤式不成立,与假设矛盾,所以g′(x0)≠0。