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2019-2020年高二(下)6月月考数学试卷含解析
一、选择题(每小题5分,共50分)1.复数满足z(1+i)=2i,则复数Z的实部与虚部之差为( ) A.﹣2B.2C.1D.0 2.设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是变量x和y的n次方个样本点,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论正确的是( ) A.直线l过点 B.x和y的相关系数为直线l的斜率 C.x和y的相关系数在0到1之间 D.当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数一定相同 3.命题“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是( ) A.若a2+b2≠0,则a≠0且b≠0B.若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0 C.若a=0且b=0,则a2+b2≠0D.若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0 4.已知6件产品中有2件次品,今从中任取2件,在已知其中一件是次品的前提下,另一件也是次品的概率为( ) A.B.C.D. 5.已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)=( ) A.B.2C.D.3 6.设,则f(n+1)﹣f(n)=( ) A.B. C.D. 7.为了解疾病A是否与性别有关,在一医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表患疾病A不患疾病A合计男20525女101525合计302050请计算出统计量Χ2,你有多大的把握认为疾病A与性别有关下面的临界值表供参考( )P(Χ2≥k)
0.
050.
0100.
0050.
0013.
8416.
6357.
87910.828 A.95%B.99%C.
99.5%D.
99.9% 8.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( ) A.∀x∈R,f(x)≤f(x0)B.﹣x0是f(﹣x)的极小值点 C.﹣x0是﹣f(x)的极小值点D.﹣x0是﹣f(﹣x)的极小值点 9.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2﹣x)﹣x2+8x﹣8,则曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程是( ) A.y=2x﹣1B.y=xC.y=3x﹣2D.y=﹣2x+3 10.已知函数则“a≤﹣2”是“f(x)在R上单调递减”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
二、填空题(每小题5分,共25分)11.若=a+bi(i为虚数单位,a,b∈R),则a+b= . 12.设=a,则二项式的展开式中的常数项为 . 13.函数y=ax﹣lnx在定义域上单调递减,则a∈ . 14.根据下面一组等式S1=1S2=2+3=5S3=4+5+6=15S4=7+8+9+10=34S5=11+12+13+14+15=65S6=16+17+18+19+20+21=111S7=22+23+24+25+26+27+28=175…可得S1+S3+S5+…+S2n﹣1= . 15.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),记φ(x)=p(ξ<x),给出下列结论
①φ
(0)=
0.5;
②φ(x)=1﹣φ(﹣x);
③p(|ξ|<2)=2φ
(2)﹣1.则正确结论的序号是 .
三、解答题(共75分)16.证明1,,2不能为同一等差数列的三项. 17.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为,他们的投票相互没有影响,规定若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资.
(1)求该公司决定对该项目投资的概率;
(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率. 18.甲、乙两人玩猜数字游戏,规则如下
①连续竞猜3次,每次相互独立;
②每次竟猜时,先由甲写出一个数字,记为a,再由乙猜甲写的数字,记为b,已知a,b∈{0,1,2,3,4,5},若|a﹣b|≤1,则本次竞猜成功;
③在3次竞猜中,至少有2次竞猜成功,则两人获奖.(Ⅰ)求甲乙两人玩此游戏获奖的概率;(Ⅱ)现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏,这6人中有且仅有2对双胞胎记选出的4人中含有双胞胎的对数为X,求X的分布列和期望. 19.某产品按行业生产标准分成6个等级,等级系数ξ依次为1,2,3,4,5,6,按行业规定产品的等级系数ξ≥5的为一等品,3≤ξ<5的为二等品,ξ<3的为三等品.若某工厂生产的产品均符合行业标准,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下;(I)以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况,试分别求出该厂生产原一等品、二等品和三等品的概率;(II)已知该厂生产一件产品的利润y(单位元)与产品的等级系数ζ的关系式为,若从该厂大量产品中任取两件,其利润记为Z,求Z的分布列和数学期望. 20.已知函数f(x)=﹣alnx++x(a≠0)(I)若曲线y=f(x)在点(1,f
(1)))处的切线与直线x﹣2y=0垂直,求实数a的值;(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅲ)当a∈(﹣∞,0)时,记函数f(x)的最小值为g(a),求证g(a)≤﹣e﹣4. 21.设函数f(x)=lnx﹣ax,g(x)=ex﹣ax,其中a为实数.
(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围;
(2)若g(x)在(﹣1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论. xx学年山东省德州市跃华学校高二(下)6月月考数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(每小题5分,共50分)1.复数满足z(1+i)=2i,则复数Z的实部与虚部之差为( ) A.﹣2B.2C.1D.0考点复数代数形式的乘除运算.专题计算题.分析由z(1+i)=2i,知z=,再由复数的代数形式的乘除运算得到z=1+i.由此能求出复数z的实部与虚部之差.解答解∵z(1+i)=2i,∴z===i(1﹣i)=i﹣i2=1+i.∴复数Z的实部与虚部之差=1﹣1=0.故选D.点评本题考查复数的代数形式的乘除运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 2.设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是变量x和y的n次方个样本点,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论正确的是( ) A.直线l过点 B.x和y的相关系数为直线l的斜率 C.x和y的相关系数在0到1之间 D.当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数一定相同考点线性回归方程.专题压轴题;阅读型.分析回归直线一定过这组数据的样本中心点,两个变量的相关系数不是直线的斜率,两个变量的相关系数的绝对值是小于1的,是在﹣1与1之间,所有的样本点集中在回归直线附近,没有特殊的限制.解答解回归直线一定过这组数据的样本中心点,故A正确,两个变量的相关系数不是直线的斜率,而是需要用公式做出,故B不正确,直线斜率为负,相关系数应在(﹣1,0)之间,故C不正确,所有的样本点集中在回归直线附近,不一定两侧一样多,故D不正确,故选A.点评本题考查线性回归方程,考查样本中心点的性质,考查相关系数的做法,考查样本点的分布特点,是一个基础题. 3.命题“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是( ) A.若a2+b2≠0,则a≠0且b≠0B.若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0 C.若a=0且b=0,则a2+b2≠0D.若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0考点四种命题.专题常规题型.分析若原命题是“若p,则q”,则逆否命题是“若非q,则非p”也就是将命题的条件与结论都否定,再进行互换.由此分别将“a2+b2=0”、“a=0且b=0”否定,得到否命题,再将其改成逆命题,就不难得出正确答案.解答解∵原命题是若a2+b2=0,则“a=0且b=0”∴否命题是“若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0”从而得到逆否命题是“若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0”故选D点评本题考查了原命题与逆否命题之间的关系,属于基础题.解题时应该注意含有逻辑词的条件的否定“p且q”的否定是“非p或非q”. 4.已知6件产品中有2件次品,今从中任取2件,在已知其中一件是次品的前提下,另一件也是次品的概率为( ) A.B.C.D.考点条件概率与独立事件.专题概率与统计.分析从中任取2件,在已知其中一件是次品的前提下,另一件也是次品,就是任取的两件都是次品.解答解6件产品中有2件次品,今从中任取2件,在已知其中一件是次品的前提下,另一件也是次品就是两件都是次品,所求概率为==.故选A.点评本题主要考查了条件概率的求法,解答此题的关键是概率的转化,属于中档题. 5.已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)=( ) A.B.2C.D.3考点离散型随机变量的期望与方差.专题概率与统计.分析利用数学期望的计算公式即可得出.解答解由数学期望的计算公式即可得出E(X)==.故选A.点评熟练掌握数学期望的计算公式是解题的关键. 6.设,则f(n+1)﹣f(n)=( ) A.B. C.D.考点函数的表示方法.专题计算题;函数的性质及应用.分析根据题中所给式子,求出f(n+1)和f(n),再两者相减,即得到f(n+1)﹣f(n)的结果.解答解根据题中所给式子,得f(n+1)﹣f(n)=﹣()=﹣=故选C.点评本题考查函数的表示方法,明确从n到n+1项数的变化是关键,属于基础题. 7.为了解疾病A是否与性别有关,在一医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表患疾病A不患疾病A合计男20525女101525合计302050请计算出统计量Χ2,你有多大的把握认为疾病A与性别有关下面的临界值表供参考( )P(Χ2≥k)
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87910.828 A.95%B.99%C.
99.5%D.
99.9%考点独立性检验的应用.专题概率与统计.分析根据所给的列联表得到求观测值所用的数据,把数据代入观测值公式中,做出观测值,同所给的临界值表进行比较,得到所求的值所处的位置,得到百分数.解答解根据所给的列联表,得到k2==
8.333>
7.879,临界值表P(Χ2≥k)
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0013.
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87910.828∴至少有
99.5%的把握说明疾病A与性别有关.故选C.点评本题考查独立性检验的应用,考查根据列联表做出观测值,根据所给的临界值表进行比较,本题是一个基础题. 8.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( ) A.∀x∈R,f(x)≤f(x0)B.﹣x0是f(﹣x)的极小值点 C.﹣x0是﹣f(x)的极小值点D.﹣x0是﹣f(﹣x)的极小值点考点函数在某点取得极值的条件;函数的图象与图象变化.专题压轴题;函数的性质及应用.分析A项,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,不一定是最大值点,故不正确;B项,f(﹣x)是把f(x)的图象关于y轴对称,因此,﹣x0是f(﹣x)的极大值点;C项,﹣f(x)是把f(x)的图象关于x轴对称,因此,x0是﹣f(x)的极小值点;D项,﹣f(﹣x)是把f(x)的图象分别关于x轴、y轴做对称,因此﹣x0是﹣f(﹣x)的极小值点.解答解对于A项,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,不一定是最大值点,因此不能满足在整个定义域上值最大,故A错误;对于B项,f(﹣x)是把f(x)的图象关于y轴对称,因此,﹣x0是f(﹣x)的极大值点,故B错误;对于C项,﹣f(x)是把f(x)的图象关于x轴对称,因此,x0是﹣f(x)的极小值点,故C错误;对于D项,﹣f(﹣x)是把f(x)的图象分别关于x轴、y轴做对称,因此﹣x0是﹣f(﹣x)的极小值点,故D正确.故选D.点评本题考查函数的极值,考查函数图象的对称性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 9.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2﹣x)﹣x2+8x﹣8,则曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程是( ) A.y=2x﹣1B.y=xC.y=3x﹣2D.y=﹣2x+3考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题计算题.分析由f(x)=2f(2﹣x)﹣x2+8x﹣8,可求f
(1)=1,对函数求导可得,f′(x)=﹣2f′(2﹣x)﹣2x+8从而可求f′
(1)=2即曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线斜率k=f′
(1)=2,进而可求切线方程.解答解∵f(x)=2f(2﹣x)﹣x2+8x﹣8,∴f
(1)=2f
(1)﹣1∴f
(1)=1∵f′(x)=﹣2f′(2﹣x)﹣2x+8∴f′
(1)=﹣2f′
(1)+6∴f′
(1)=2根据导数的几何意义可得,曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线斜率k=f′
(1)=2∴过(1,1)的切线方程为y﹣1=2(x﹣1)即y=2x﹣1故选A.点评本题主要考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,解题的关键是要由已知先要求出函数的导数,进而可求k=f′
(1),从而可求切线方程. 10.已知函数则“a≤﹣2”是“f(x)在R上单调递减”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件考点必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题计算题.分析利用分段函数a的范围判断函数的单调性,利用函数的单调性求出a的范围,然后利用充要条件判断方法判断即可.解答解函数,当“a≤﹣2”时f(x)=x2+ax,x≤1是减函数,f(x)=ax2+x也是减函数,所以函数是单调减函数;函数是减函数,则函数的对称轴满足⇒a≤2.所以函数则“a≤﹣2”是“f(x)在R上单调递减”的充要条件.故选C.点评本题考查函数的单调性与函数的对称轴的应用,充要条件的判断.
二、填空题(每小题5分,共25分)11.若=a+bi(i为虚数单位,a,b∈R),则a+b= 2 .考点复数代数形式的乘除运算;复数相等的充要条件.专题计算题.分析把所给的等式左边的式子,分子和分母同乘以分母的共轭复数,变形为复数的标准代数形式,根据两个复数相等的充要条件,得到a和b的值,得到结果.解答解∵===1+i,∵=a+bi∴a+bi=1+i∴a=b=1∴a+b=2.故答案为2点评本题考查复数的乘除运算,考查复数相等的充要条件,复数的加减乘除运算是比较简单的问题,在高考时有时会出现,若出现则是要我们一定要得分的题目. 12.设=a,则二项式的展开式中的常数项为 24 .考点二项式系数的性质;定积分.专题计算题.分析求定积分求得a的值,求得二项式的展开式的通项公式,再在展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求得r的值,即可求得展开式中的常数项.解答解∵a==(x2﹣x)=2,则二项式=,故它的展开式的通项公式为Tr+1=•x4﹣r•2r•x﹣r=•x4﹣2r,令4﹣2r=0,可得r=2,故展开式的常数项为=24,故答案为24.点评本题主要考查求定积分,二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题. 13.函数y=ax﹣lnx在定义域上单调递减,则a∈ (﹣∞,0] .考点利用导数研究函数的单调性.专题导数的概念及应用.分析先求出函数的导数,问题转化为a<()min在(0,+∞)恒成立,从而求出a的范围.解答解y′=a﹣=,(x>0),若函数y=ax﹣lnx在定义域上单调递减,则ax﹣1<0在(0,+∞)恒成立,即a<()min在(0,+∞)恒成立,∴a≤0,故答案为(﹣∞,0].点评本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,函数恒成立问题,是一道基础题. 14.根据下面一组等式S1=1S2=2+3=5S3=4+5+6=15S4=7+8+9+10=34S5=11+12+13+14+15=65S6=16+17+18+19+20+21=111S7=22+23+24+25+26+27+28=175…可得S1+S3+S5+…+S2n﹣1= n4 .考点归纳推理.专题规律型.分析利用等差数列的通项公式与求和公式,可得Sn=(n3+n),再以2n﹣1代替n,得S2n﹣1=4n3﹣6n2+4n﹣1,结合和的特点可以求解.解答解由题中数阵的排列特征,设第i行的第1个数记为ai(i=1,2,3…n)则a2﹣a1=1a3﹣a2=2a4﹣a3=3…an﹣an﹣1=n﹣1以上n﹣1个式子相加可得,an﹣a1=1+2+…+(n﹣1)=×(n﹣1)=∴an=+1Sn共有n连续正整数相加,并且最小加数为+1,最大加数∴Sn=n•×+×(﹣1)=(n3+n)∴S2n﹣1=[(2n﹣1)3+(2n﹣1)]=4n3﹣6n2+4n﹣1∴S1=1S1+S3=16=24S1+S3+S5=81=34∴S1+S3+…+S2n﹣1=1+15+65+…+4n3﹣6n2+4n﹣1=n4.故答案n4点评本题以一个三角形数阵为载体,考查了等差数列的通项与求和公式、简单的合情推理等知识,属于中档题. 15.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),记φ(x)=p(ξ<x),给出下列结论
①φ
(0)=
0.5;
②φ(x)=1﹣φ(﹣x);
③p(|ξ|<2)=2φ
(2)﹣1.则正确结论的序号是
①②③ .考点正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.专题计算题.分析根据随机变量ξ服从正态分布N(0,1),曲线关于ξ=0对称,根据φ(x)=p(ξ<x),把所给的三个结论变化整理,根据概率和正态曲线的性质,得到结果.解答解随机变量ξ服从正态分布N(0,1),曲线关于ξ=0对称,记φ(x)=p(ξ<x),给出下列结论
①φ
(0)=P(ξ<0)=
0.5;故
①正确,
②φ(x)=P(ξ<x),1﹣φ(﹣x)=1﹣p(ξ<﹣x)=1﹣1+p(ξ<x)=p(ξ<x),故
②正确,
③p(|ξ|<2)=P(﹣2<ξ<2)=2P(ξ<2)﹣1,2φ
(2)﹣1=2P(ξ<2)﹣1,故
③正确故答案为
①②③点评本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,是一个简单的计算题,在解题过程中主要应用,概率的性质和正态曲线的特点,是一个送分题目.
三、解答题(共75分)16.证明1,,2不能为同一等差数列的三项.考点反证法;等差关系的确定.专题推理和证明.分析根据等差数列的定义,利用反证法进行证明.解答证明假设1,,2为同一等差数列的三项.则有等差数列的定义知1×2=()2=3,则2=3不成立,则假设不成立,即原命题成立,即1,,2不能为同一等差数列的三项.点评本题主要考查反证法的应用,结合等差数列的定义和性质是解决本题的关键. 17.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为,他们的投票相互没有影响,规定若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资.
(1)求该公司决定对该项目投资的概率;
(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率.考点古典概型及其概率计算公式;相互独立事件的概率乘法公式.专题概率与统计.分析
(1)利用n次独立重复试验中事件A恰有k次发生的概率计算公式能求出该公司决定对该项目投资的概率.
(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有四种情形,分类进行讨论能求出结果.解答解
(1)该公司决定对该项目投资的概率为P=()2()+=.
(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形“同意”票张数“中立”票张数“反对”票张数事件A003事件B102事件C111事件D012P(A)=()3=,P(B)==,P(C)==,P(D)=,∵A、B、C、D互斥,∴P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.点评本题考查概率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意n次独立重复试验中事件A恰有k次发生的概率计算公式的灵活运用. 18.甲、乙两人玩猜数字游戏,规则如下
①连续竞猜3次,每次相互独立;
②每次竟猜时,先由甲写出一个数字,记为a,再由乙猜甲写的数字,记为b,已知a,b∈{0,1,2,3,4,5},若|a﹣b|≤1,则本次竞猜成功;
③在3次竞猜中,至少有2次竞猜成功,则两人获奖.(Ⅰ)求甲乙两人玩此游戏获奖的概率;(Ⅱ)现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏,这6人中有且仅有2对双胞胎记选出的4人中含有双胞胎的对数为X,求X的分布列和期望.考点离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率.专题概率与统计.分析(I)由题意基本事件的总数为个,记事件A为“甲乙两人一次竞猜成功”,分|a﹣b|=0和|a﹣b|=1.利用古典概型的概率计算公式即可得出P(A)=.设随机变量ξ表示在3次竞猜中竞猜成功的次数,则ξ~B.则甲乙两人获奖的概率P(ξ≥2)=1﹣P(ξ=0)﹣P(ξ=1).(II)由题意可知从6人中选取4人共有种选法,双胞胎的对数X的取值为0,1,2.X=0,表示的是分别从2对双胞胎中各自选取一个,再把不是双胞胎的2人都取来;X=1,表示的是从2对双胞胎中选取一对,另外2人的选取由两种方法,一种是把不是双胞胎的2人都选来,另一种是从另一双胞胎中选一个,从不是双胞胎的2人中选一个;X=2,表示的是把2对双胞胎2人都选来.据此即可得出X的分布列和EX.解答解(I)由题意基本事件的总数为个,记事件A为“甲乙两人一次竞猜成功”,若|a﹣b|=0,则共有6种竞猜成功;若|a﹣b|=1,a=1,2,3,4时,b分别有2个值,而a=0或5时,b只有一种取值.利用古典概型的概率计算公式即可得出P(A)=.设随机变量ξ表示在3次竞猜中竞猜成功的次数,则甲乙两人获奖的概率P(ξ≥2)=1﹣P(ξ=0)﹣P(ξ=1)=1﹣﹣=.(II)由题意可知从6人中选取4人共有种选法,双胞胎的对数X的取值为0,1,2.则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.随机变量X的分布列为期望为E(X)=.点评正确分类和熟练掌握古典概型的概率计算公式、二项分布、随机变量的分布列和数学期望是解题的关键. 19.某产品按行业生产标准分成6个等级,等级系数ξ依次为1,2,3,4,5,6,按行业规定产品的等级系数ξ≥5的为一等品,3≤ξ<5的为二等品,ξ<3的为三等品.若某工厂生产的产品均符合行业标准,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下;(I)以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况,试分别求出该厂生产原一等品、二等品和三等品的概率;(II)已知该厂生产一件产品的利润y(单位元)与产品的等级系数ζ的关系式为,若从该厂大量产品中任取两件,其利润记为Z,求Z的分布列和数学期望.考点离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式.专题概率与统计.分析(I)由样本数据,结合行业规定,确定一等品有6件,二等品有9件,三等品有15件,即可估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率;(II)确定Z的可能取值为2,3,4,5,6,8.用样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得Z的分布列,从而可求数学期望.解答解(I)由样本数据知,30件产品中等级系数ξ≥7有6件,即一等品有6件,二等品有9件,三等品有15件﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)∴样本中一等品的频率为=
0.2,故估计该厂生产的产品的一等品率为
0.2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)二等品的频率为=
0.3,故估计该厂生产的产品的二等品率为
0.3;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)三等品的频率为=
0.5,故估计该厂生产的产品的三等品的频率为
0.5.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)(II)∵Z的可能取值为2,3,4,5,6,8.用样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得P(Z=2)=
0.5×
0.5=,P(Z=3)=2×=,P(Z=4)=×=,P(Z=5)=2××=,P(Z=6)=2××=,P(Z=8)==,∴可得X的分布列如下﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)其数学期望EX=
3.8(元)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)点评本题考查统计知识,考查离散型随机变量的分布列与期望,解题时利用样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率. 20.已知函数f(x)=﹣alnx++x(a≠0)(I)若曲线y=f(x)在点(1,f
(1)))处的切线与直线x﹣2y=0垂直,求实数a的值;(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅲ)当a∈(﹣∞,0)时,记函数f(x)的最小值为g(a),求证g(a)≤﹣e﹣4.考点微积分基本定理;利用导数研究函数的单调性.专题综合题;导数的综合应用.分析(I)先求f(x)的定义域为{x|x>0},先对已知函数进行求导,由f′
(1)=﹣2可求a(II)由=,通过比较﹣a与2a的大小解不等式f′(x)>0,f′(x)<0,从而可求函数的单调区间(III)由(II)可知,当a∈(﹣∞,0)时,函数f(x)的最小值f(﹣a),结合已知可求a,然后结合已知单调性可求,从而可证解答解(I)由已知可知f(x)的定义域为{x|x>0}(x>0)根据题意可得,f′
(1)=2×(﹣1)=﹣2∴﹣a﹣2a2+1=﹣2∴a=1或a=﹣(II)∵=
①a>0时,由f′(x)>0可得x>2a由f′(x)<0可得0<x<2a∴f(x)在(2a,+∞)上单调递增,在(0,2a)上单调递减
②当a<0时,由f′(x)>0可得x>﹣a由f′(x)<0可得0<x<﹣a∴f(x)在(﹣a,+∞)上单调递增,在(0,﹣a)上单调递减(III)由(II)可知,当a∈(﹣∞,0)时,函数f(x)的最小值f(﹣a)故g(a)=f(﹣a)=﹣aln(﹣a)﹣3a则g′(a)=﹣ln(﹣a)﹣4令g′(a)=0可得﹣ln(﹣a)﹣4=0∴a=﹣e﹣4当a变化时,g’(a),g(a)的变化情况如下表∴a=﹣e﹣4是g(a)在(﹣∞,0)上的唯一的极大值,从而是g(a)的最大值点当a<0时,=﹣e﹣4∴a<0时,g(a)≤﹣e﹣4.点评本题主要考查了导数的几何意义的应用,函数的导数与函数的单调性的应用,及函数的极值与最值的求解的相互关系的应用,属于函数知识的综合应用. 21.设函数f(x)=lnx﹣ax,g(x)=ex﹣ax,其中a为实数.
(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围;
(2)若g(x)在(﹣1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.考点利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断.专题导数的综合应用.分析
(1)求导数,利用f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,转化为﹣a≤0在(1,+∞)上恒成立,利用g(x)在(1,+∞)上有最小值,结合导数知识,即可求得结论;
(2)先确定a的范围,再分类讨论,确定f(x)的单调性,从而可得f(x)的零点个数.解答解
(1)求导数可得f′(x)=﹣a∵f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,∴﹣a≤0在(1,+∞)上恒成立,∴a≥,x∈(1,+∞).∴a≥1.令g′(x)=ex﹣a=0,得x=lna.当x<lna时,g′(x)<0;当x>lna时,g′(x)>0.又g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以lna>1,即a>e.故a的取值范围为a>e.
(2)当a≤0时,g(x)必为单调函数;当a>0时,令g′(x)=ex﹣a>0,解得a<ex,即x>lna,因为g(x)在(﹣1,+∞)上是单调增函数,类似
(1)有lna≤﹣1,即0<.结合上述两种情况,有.
①当a=0时,由f
(1)=0以及f′(x)=>0,得f(x)存在唯一的零点;
②当a<0时,由于f(ea)=a﹣aea=a(1﹣ea)<0,f
(1)=﹣a>0,且函数f(x)在[ea,1]上的图象不间断,所以f(x)在(ea,1)上存在零点.另外,当x>0时,f′(x)=﹣a>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,所以f(x)只有一个零点.
③当0<a≤时,令f′(x)=﹣a=0,解得x=.当0<x<时,f′(x)>0,当x>时,f′(x)<0,所以,x=是f(x)的最大值点,且最大值为f()=﹣lna﹣1.(i)当﹣lna﹣1=0,即a=时,f(x)有一个零点x=e;(ii)当﹣lna﹣1>0,即0<a<时,f(x)有两个零点;实际上,对于0<a<,由于f()=﹣1﹣<0,f()>0,且函数f(x)在[]上的图象不间断,所以f(x)在()上存在零点.另外,当0<x<时,f′(x)=﹣a>0,故f(x)在(0,)上时单调增函数,所以f(x)在(0,)上只有一个零点.下面考虑f(x)在(,+∞)上的情况,先证明f()=a()<0.为此,我们要证明当x>e时,ex>x2.设h(x)=ex﹣x2,则h′(x)=ex﹣2x,再设l(x)=h′(x)=ex﹣2x,则l′(x)=ex﹣2.当x>1时,l′(x)=ex﹣2>e﹣2>0,所以l(x)=h′(x)在(1,+∞)上时单调增函数;故当x>2时,h′(x)=ex﹣2x>h′
(2)=e2﹣4>0,从而h(x)在(2,+∞)上是单调增函数,进而当x>e时,h(x)=ex﹣x2>h(e)=ee﹣e2>0,即当x>e时,ex>x2当0<a<,即>e时,f()==a()<0,又f()>0,且函数f(x)在[,]上的图象不间断,所以f(x)在(,)上存在零点.又当x>时,f′(x)=﹣a<0,故f(x)在(,+∞)上是单调减函数,所以f(x)在(,+∞)上只有一个零点.综合(i)(ii)(iii),当a≤0或a=时,f(x)的零点个数为1,当0<a<时,f(x)的零点个数为2.点评此题考查的是可导函数的单调性与其导数的关系,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,难度较大. 。