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2019-2020年高二(下)期中数学试卷含解析
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.(5分)(xx春•宿迁校级期中)设函数,则导函数y′= .考点导数的运算.专题导数的概念及应用.分析根据题意和求导公式求出函数的导数即可.解答解由题意得,=,故答案为.点评本题考查求导公式的应用,属于基础题. 2.(5分)(xx春•宿迁校级期中)已知函数f(x)=ex,则f′
(0)的值为 1 .考点导数的运算.专题导数的概念及应用.分析先求导,再带值计算即可.解答解f′(x)=(ex)′=ex,∴f′
(0)=1.故答案为1.点评本题考查了常用求导公式,以及函数值的求法,属于基础题. 3.(5分)(xx春•宿迁校级期中)函数f(x)=2x3﹣6x+11的单调递减区间为 (﹣1,1) .考点利用导数研究函数的单调性.专题导数的综合应用.分析先求出函数的导数,通过解导函数小于0,从而求出函数的递减区间.解答解f(x)=2x3﹣6x+11,f′(x)=6x2﹣6,令f′(x)<0,解得﹣1<x<1,故答案为(﹣1,1);点评本题考察了函数的单调性,导数的应用,是一道基础题. 4.(5分)(xx春•宿迁校级期中)曲线y=ax2在点(1,a)处的切线的斜率为2,则a= 1 .考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题计算题;导数的概念及应用.分析首先求出函数的导数,然后求出f
(1)=2,进而求出a的值.解答解∵f(x)=2ax,曲线y=ax2在点(1,a)处的切线的斜率为2,∴f
(1)=2a=2,解得a=1.故答案为1.点评本题考查了导数的运算以及导数与斜率的关系,比较容易,属于基础题. 5.(5分)(xx春•宿迁校级期中)曲线y=x2在点P处的切线的倾斜角为,则点P的坐标为 .考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题导数的综合应用.分析求出原函数的导函数,得到函数在P点处的导数,由导数值等于1求得P的横坐标,则答案可求.解答解∵y=x2,∴y′=2x,设P(x0,y0),则y′=2x0,又曲线y=x2上的点P处的切线的倾斜角为,∴2x0=1,x0=.∴y0=()2=.∴点P的坐标为(,).故答案为;点评本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程,过曲线上的某点的切线的斜率,就是函数在该点处的导数值,是基础题. 6.(5分)(xx春•宿迁校级期中)若f(x)=2xf′
(1)+x2,则f′
(1)= ﹣2 .考点导数的运算.专题导数的概念及应用.分析利用求导法则求出f(x)的导函数,把x=1代入导函数中得到关于f′
(1)的方程,求出方程的解即可得到f′
(1)的值.解答解求导得f′(x)=2x+2f′
(1),把x=1代入得f′
(1)=2+2f′
(1),解得f′
(1)=﹣2.故答案为﹣2点评本题要求学生掌握求导法则.学生在求f(x)的导函数时注意f′
(1)是一个常数,这是本题的易错点. 7.(5分)(xx春•宿迁校级期中)已知f(x)=ax3+bx2+c,其导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)取得极小值时x的值是 0 .考点利用导数研究函数的极值.专题导数的概念及应用.分析由图象得到函数f(x)的单调区间,从而求出函数的极小值点.解答解由图象得在(﹣∞,0),(2,+∞)上,f′(x)<0,在(0,2)上,f′(x)>0,∴函数f(x)在(﹣∞,0),(2,+∞)递减,在(0,2)递增,∴f(x)极小值=f
(0),故答案为0.点评本题考查了函数的单调性,考查导数的应用,是一道基础题. 8.(5分)(xx春•宿迁校级期中)已知函数f(x)=x3+ax2+bx在x=1处有极值为2,则f
(2)等于 2 .考点利用导数研究函数的极值.专题导数的综合应用.分析由函数f(x)=x3+ax2+bx在x=1处有极值为2,利用导数的性质列出方程组求出a和b,由此能求出f
(2).解答解∵f(x)=x3+ax2+bx,∴f′(x)=3x2+2ax+b,∵函数f(x)=x3+ax2+bx在x=1处有极值为2,∴,解得a=﹣4,b=5,∴f(x)=x3﹣4x2+5x,∴f
(2)=23﹣4×22+5×2=2.故答案为2.点评本题考查函数值的求法,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用. 9.(5分)(xx春•宿迁校级期中)已知函数y=x3﹣bx2在[1,+∞)上是增函数,则实数b的取值范围是 (﹣∞,] .考点利用导数研究函数的单调性.专题导数的概念及应用.分析先求出函数的导数,再将问题转化为bx在[1,+∞)上恒成立即可.解答解y′=3x2﹣2bx,若函数y=x3﹣bx2在[1,+∞)上是增函数,只需令y′≥0,∴只需bx在[1,+∞)上恒成立即可,而=,因此b,故答案为.点评本题考查了函数的单调性,函数恒成立问题,考查导数的应用,是一道基础题. 10.(5分)(xx春•宿迁校级期中)做一个容积为256cm3的方底无盖水箱,若用料最省,则此时水箱的高度是 4 .考点基本不等式.专题不等式的解法及应用.分析设底面边长为a,高度为x,可得a2x=256,其表面积为S=a2+4ax==a2+,利用基本不等式的性质即可得出.解答解设底面边长为a,高度为x,由题意可得a2x=256,其表面积为S=a2+4ax==a2+=3×64=192.当且仅当a=8,x=4时取等号.∴若用料最省,则此时水箱的高度是4.故答案为4.点评本题考查了长方体的表面积与体积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 11.(5分)(xx•深圳二模)若直线y=kx是y=lnx的切线,则k= .考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题计算题.分析欲求k的值,只须求出切线的斜率的值即可,故先利用导数求出在切处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.解答解∵y=lnx,∴y=,当x=1时,设切点为(m,lnm),得切线的斜率为,所以曲线在点(m,lnm)处的切线方程为y﹣lnm=×(x﹣m).它过原点,∴﹣lnm=﹣1,∴m=e,∴故答案为.点评本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题. 12.(5分)(xx春•宿迁校级期中)若函数y=﹣﹣2x+5有三个单调区间,则实数b的取值范围为 .考点利用导数研究函数的单调性.专题导数的综合应用.分析根据函数y=﹣﹣2x+5有三个单调区间,可知y′有正有负,而导函数是二次函数,导函数的图象与x轴有两个交点,△>0,即可求得b的取值范围.解答解∵函数y=﹣﹣2x+5有三个单调区间,∴y′=﹣4x2+2bx﹣2的图象与x轴有两个不同的交点,∴△=4b2﹣32>0解得b∈,故答案为.点评考查利用导数研究函数的单调性,把函数有三个单调区间,转化为导函数的图象与x轴的交点个数问题,体现了转化的思想,属中档题. 13.(5分)(xx春•姜堰市校级期末)f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)+x•f′(x)<0,且f(﹣4)=0,则不等式xf(x)>0的解集为 {x|x<﹣4,或0<x<4} .考点导数的运算.专题函数的性质及应用.分析利用导数求得函数y=xf(x)在(﹣∞,0)上是减函数,函数y=xf(x)在(0,+∞)上是增函数,且可得f
(4)=f(﹣4)=0,从而求得不等式xf(x)>0的解集.解答解∵当x<0时,f(x)+x•f′(x)<0,即[xf(x)]′<0,故函数y=xf(x)在(﹣∞,0)上是减函数.再根据f(x)为偶函数,可得函数y=xf(x)是奇函数且在(0,+∞)上是减函数.故由f(﹣4)=0,可得f
(4)=0,如图所示故不等式xf(x)>0的解集为{x|x<﹣4,或0<x<4},故答案为{x|x<﹣4,或0<x<4}.点评本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用,利用导数研究函数的单调性,属于基础题. 14.(5分)(xx•扬州二模)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),f′
(0)>0,对于任意实数x都有f(x)≥0,则的最小值为 2 .考点导数的运算;函数的最值及其几何意义.专题计算题;压轴题.分析先根据题目的条件建立关于a、b、c的关系式,再结合基本不等式求出最小即可,注意等号成立的条件.解答解∵f(x)=ax2+bx+c∴f′(x)=2ax+b,f′
(0)=b>0∵对任意实数x都有f(x)≥0∴a>0,c>0,b2﹣4ac≤0即则=而∴=≥2故答案为2点评本题主要考查了导数的运算,以及函数的最值及其几何意义和不等式的应用,属于基础题.
二、解答题本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)(xx春•宿迁校级期中)求下列函数的导数
(1)f(x)=﹣2x+3x;
(2)f(x)=log2x﹣x2;
(3)f(x)=(x2﹣9)(x﹣).考点导数的运算.专题导数的概念及应用.分析根据导数的运算法则求导即可.解答解
(1)f′(x)=﹣2+3xln3,
(2)f′(x)=﹣2x,
(3)f′(x)=(x2﹣9)′(x﹣)+(x2﹣9)(x﹣)′=2x(x﹣)+(x2﹣9)(1+)=3x2﹣12﹣.点评本题考查了导数的基本运算,属于基础题. 16.(14分)(xx春•宿迁校级期中)求函数f(x)=x+sinx在区间[0,2π]上的最值.考点利用导数研究函数的单调性.专题导数的综合应用.分析清楚函数的导数,求出极值点,判断函数的单调性,求出极值以及端点的函数值,然后求解最值.解答解分因为x∈[0,2π],所以令f′(x)>0得,所函数的增区间为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)令f′(x)<0得,所函数的减区间为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)由f
(0)=0,,,f(2π)=π得当x=2π时,函数f(x)取得最大值为π;当x=0时,函数f(x)取得最小值为0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14分)点评本题考查函数的最值的求法,导数的综合应用,考查计算能力. 17.(14分)(xx春•宿迁校级期中)已知曲线C y=x+
(1)求证曲线C上的各点处的切线的斜率小于1;
(2)求曲线C上斜率为0的切线方程.考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题计算题;证明题;导数的综合应用.分析
(1)求导y′=1﹣<1,从而可判断函数y=x+图象上各点处切线的斜率都小于1.
(2)令y′=1﹣=0得x=±1,从而由导数的几何意义求切线方程.解答解
(1)证明∵y=x+,∴y′=1﹣<1,即对函数y=x+定义域内的任一x,其导数值都小于1,由导数的几何意义可知,函数y=x+图象上各点处切线的斜率都小于1.
(2)令y′=1﹣=0,得x=±1,当x=1时,y=1+1=2;当x=﹣1时,y=﹣2,∴曲线y=x+的斜率为0的切线有两条,其切点分别为(1,2)与(﹣1,﹣2),切线方程分别为y=2或y=﹣2.点评本题考查了导数的几何意义与导数的综合应用,属于中档题. 18.(16分)(xx春•宿迁校级期中)某出版社出版一读物,为了排版设计的需要,规定一页上所印文字的矩形区域需要占去150cm2,上、下边各要留
1.5cm宽的空白,左、右两边各要留1cm宽的空白,出版商为了节约纸张,应选用怎样尺寸的矩形纸张来设计版面?考点导数在最大值、最小值问题中的应用.专题导数的综合应用.分析设所印文字的矩形区域的长宽分别为x,,求出所选纸张的面积表达式,利用函数的导数通过函数的单调性求解函数y取得最小值.解答解设所印文字的矩形区域的长宽分别为x,﹣﹣(1分)则所选纸张的面积为x∈(2,+∞)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分),x∈(2,+∞),,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)当x∈(2,10)时,y′<0,所以x∈(2,10)时,函数y为减函数,当x∈(10,+∞)时,y′>0,所以x∈(2,10)时,函数y为增函数,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)所以当x=10时,函数y取得最小值为216,故应选用长为18,宽为12的矩形纸张来设计版面.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)点评本题考查实际问题的解决,函数的导数的应用,考查转化思想以及计算能力. 19.(16分)(xx•山东)已知x=1是函数f(x)=mx3﹣3(m+1)x2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m<0.(Ⅰ)求m与n的关系表达式;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)当x∈[﹣1,1]时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.考点利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性.分析(Ⅰ)求出f′(x),因为x=1是函数的极值点,所以得到f
(1)=0求出m与n的关系式;(Ⅱ)令f′(x)=0求出函数的极值点,讨论函数的增减性确定函数的单调区间;(Ⅲ)函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′(x)>3m代入得到不等式即3m(x﹣1)[x﹣(1+)]>3m,又因为m<0,分x=1和x≠1,当x≠1时g(t)=t﹣,求出g(t)的最小值.要使<(x﹣1)﹣恒成立即要g(t)的最小值>,解出不等式的解集求出m的范围.解答解(Ⅰ)f′(x)=3mx2﹣6(m+1)x+n.因为x=1是f(x)的一个极值点,所以f
(1)=0,即3m﹣6(m+1)+n=0.所以n=3m+6.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=3mx2﹣6(m+1)x+3m+6=3m(x﹣1)[x﹣(1+)]当m<0时,有1>1+,当x变化时f(x)与f(x)的变化如下表x(﹣∞,1+)1+(1+,1)1(1,+∞)f′(x)<00>00<0f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减由上表知,当m<0时,f(x)在(﹣∞,1+)单调递减,在(1+,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.(Ⅲ)由已知,得f′(x)>3m,即3m(x﹣1)[x﹣(1+)]>3m,∵m<0.∴(x﹣1)[x﹣1(1+)]<1.(*)10x=1时.(*)式化为0<1怛成立.∴m<0.20x≠1时∵x∈[﹣1,1],∴﹣2≤x﹣1<0.(*)式化为<(x﹣1)﹣.令t=x﹣1,则t∈[﹣2,0),记g(t)=t﹣,则g(t)在区间[﹣2,0)是单调增函数.∴g(t)min=g(﹣2)=﹣2﹣=﹣.由(*)式恒成立,必有<﹣⇒﹣<m,又m<0.∴﹣<m<0.综上
10、20知﹣<m<0.点评考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力,利用导数研究函数极值和单调性的能力,以及掌握不等式恒成立的条件. 20.(16分)(xx•湖南)已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx,a≠0.(Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x)﹣g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(Ⅱ)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1,C2于点M、N,证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.考点函数单调性的性质;利用导数研究曲线上某点切线方程;两条直线平行的判定.专题综合题;压轴题.分析(Ⅰ)先求函数h(x)的解析式,因为函数h(x)存在单调递减区间,所以h(x)<0有解,求出a的取值范围;(Ⅱ)先利用导数分别表示出函数在C1在点M处的切线与C2在点N处的切线,结合过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1,C2于点M、N,建立关系式,通过反证法进行证明即可.解答解(Ⅰ)b=2时,h(x)=lnx﹣ax2﹣2x,则h′(x)=﹣ax﹣2=﹣.因为函数h(x)存在单调递减区间,所以h(x)<0有解.又因为x>0时,则ax2+2x﹣1>0有x>0的解.
①当a>0时,y=ax2+2x﹣1为开口向上的抛物线,ax2+2x﹣1>0总有x>0的解;
②当a<0时,y=ax2+2x﹣1为开口向下的抛物线,而ax2+2x﹣1>0总有x>0的解;则△=4+4a≥0,且方程ax2+2x﹣1=0至少有一正根.此时,﹣1<a<0.综上所述,a的取值范围为(﹣1,0)∪(0,+∞).(Ⅱ)设点P、Q的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),0<x1<x2.则点M、N的横坐标为x=,C1在点M处的切线斜率为k1=,x=,k1=,C2在点N处的切线斜率为k2=ax+b,x=,k2=+b.假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则k1=k2.即=+b,则=(x22﹣x12)+b(x2﹣x1)=(x22+bx2)﹣(+bx1)=y2﹣y1=lnx2﹣lnx1.所以=.设t=,则lnt=,t>1
①令r(t)=lnt﹣,t>1.则r′t=﹣=.因为t>1时,r(t)>0,所以r(t)在[1,+∞)上单调递增.故r(t)>r
(1)=0.则lnt>.这与
①矛盾,假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.点评本题考查了函数单调性的应用,以及利用导数研究曲线上某点处的切线问题,属于难题.。