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2019-2020年高考冲刺卷(理科数学试卷六)含答案
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合,,则等于(A)(B)(C)(D)2.下列给出的函数中,既不是奇函数也不是偶函数的是(A)(B)(C)(D)
3.设,,,则(A)(B)(C)(D)4.设向量,,且,则等于(A)(B)(C)(D)
5.阅读右侧程序框图,为使输出的数据为,则
①处应填的数字为(A)(B)(C)(D)
6.已知函数
①,
②,则下列结论正确的是(A)两个函数的图象均关于点成中心对称(B)两个函数的图象均关于直线成中心对称(C)两个函数在区间上都是单调递增函数(D)两个函数的最小正周期相同7.已知曲线及两点和,其中.过,分别作轴的垂线,交曲线于,两点,直线与轴交于点,那么(A)成等差数列(B)成等比数列(C)成等差数列(D)成等比数列8.如图,四面体的三条棱两两垂直,,为四面体外一点.给出下列命题.
①不存在点使四面体有三个面是直角三角形
②不存在点使四面体是正三棱锥
③存在点使与垂直并且相等
④存在无数个点使点在四面体的外接球面上其中真命题的序号是(A)
①②(B)
②③(C)
③(D)
③④第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在复平面内,复数对应的点到原点的距离为_____.
10.如图,从圆外一点引圆的切线和割线,已知,,圆心到的距离为,则圆的半径为_____.
11.已知椭圆经过点,则______,离心率______.
12.一个棱锥的三视图如图所示,则这个棱锥的体积为_____.
13.某展室有9个展台,现有件展品需要展出,要求每件展品独自占用个展台,并且件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有______种;如果进一步要求件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位,则不同的展出方法有____种.
14.已知数列的各项均为正整数,对于,有当时,______;若存在,当且为奇数时,恒为常数,则的值为______.
三、解答题本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)设中的内角,,所对的边长分别为,,,且.(Ⅰ)当时,求角的度数;(Ⅱ)求面积的最大值.16.(本小题满分13分)甲、乙、丙三人独立破译同一份密码,已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为.且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为.(Ⅰ)求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率;(Ⅱ)求的值;(Ⅲ)设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为,求的分布列和数学期望.
17.(本小题满分13分)如图是边长为的正方形,平面,,,与平面所成角为.Ⅰ求证平面;Ⅱ求二面角的余弦值;(Ⅲ)设点是线段上一个动点,试确定点的位置,使得平面,并证明你的结论.
18.(本小题满分14分)已知函数,其中.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若直线是曲线的切线,求实数的值;(Ⅲ)设,求在区间上的最大值.(其中为自然对数的底数)
19.(本小题满分14分)已知抛物线的焦点为,过的直线交轴正半轴于点,交抛物线于两点,其中点在第一象限.(Ⅰ)求证以线段为直径的圆与轴相切;(Ⅱ)若,求的取值范围.
20.(本小题满分13分)定义为有限项数列的波动强度.(Ⅰ)当时,求;(Ⅱ)若数列满足,求证;(Ⅲ)设各项均不相等,且交换数列中任何相邻两项的位置,都会使数列的波动强度增加,求证数列一定是递增数列或递减数列.中国人民大学附属中学高考冲刺卷数学理试卷
(六)参考答案
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分.题号12345678答案CBADBCAD
二、填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.
10.
11.,
12.
13.,
14.;或注11题,13题,14题第一问2分,第二问3分.
三、解答题本大题共6小题,共80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分.
15.(本小题满分13分)解(Ⅰ)因为,所以.……………………2分因为,,由正弦定理可得.…………………4分因为,所以是锐角,所以.……………………6分(Ⅱ)因为的面积,……………………7分所以当最大时,的面积最大.因为,所以.……………………9分因为,所以,……………………11分所以,(当时等号成立)……………………12分所以面积的最大值为.……………………13分
16.(本小题满分13分)解记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件,依题意有且相互独立.(Ⅰ)甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为.…………………3分(Ⅱ)设“三人中只有甲破译出密码”为事件,则有=,…………………5分所以,.……………………7分(Ⅲ)的所有可能取值为.……………………8分所以,,,==.……………………11分分布列为……………………12分所以,.……………………13分
17.(本小题满分13分)Ⅰ证明因为平面,所以.……………………2分因为是正方形,所以,从而平面.……………………4分Ⅱ解因为两两垂直,所以建立空间直角坐标系如图所示.因为与平面所成角为,即,……5分所以.由可知,.………6分则,,,,,所以,,………7分设平面的法向量为,则,即,令,则.…………………8分因为平面,所以为平面的法向量,,所以.…………………9分因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.………………10分Ⅲ解点是线段上一个动点,设.则,因为平面,所以,…………………11分即,解得.…………………12分此时,点坐标为,,符合题意.…………………13分
18.(本小题满分14分)解(Ⅰ),(),……………3分在区间和上,;在区间上,.所以,的单调递减区间是和,单调递增区间是.………4分(Ⅱ)设切点坐标为,则……………7分(1个方程1分)解得,.……………8分(Ⅲ),则,…………………9分解,得,所以,在区间上,为递减函数,在区间上,为递增函数.……………10分当,即时,在区间上,为递增函数,所以最大值为.………………11分当,即时,在区间上,为递减函数,所以最大值为.………………12分当,即时,的最大值为和中较大者;,解得,所以,时,最大值为,…………………13分时,最大值为.…………………14分综上所述,当时,最大值为,当时,的最大值为.
19.(本小题满分14分)解(Ⅰ)由已知设,则,圆心坐标为,圆心到轴的距离为,…………………2分圆的半径为,…………………4分所以,以线段为直径的圆与轴相切.…………………5分(Ⅱ)解法一设,由得,,…………………6分所以,,…………………8分由,得.又,,所以.…………………10分代入,得,,整理得,…………………12分代入,得,所以,…………………13分因为,所以的取值范围是.…………………14分解法二设,,将代入,得,所以(*),…………………6分由,,得,,…………………7分所以,,,…………………8分将代入(*)式,得,…………………10分所以,.…………………12分代入,得.…………………13分因为,所以的取值范围是.…………………14分20.(本小题满分13分)(Ⅰ)解………………1分.………………3分(Ⅱ)证明因为,,所以.……………4分因为,所以,或.若,则当时,上式,当时,上式,当时,上式,即当时,.………………6分若,则,.(同前)所以,当时,成立.……………7分(Ⅲ)证明由(Ⅱ)易知对于四个数的数列,若第三项的值介于前两项的值之间,则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.(将此作为引理)下面来证明当时,为递减数列.(ⅰ)证明.若,则由引理知交换的位置将使波动强度减小或不变,与已知矛盾.若,则,与已知矛盾.所以,.………………9分(ⅱ)设,证明.若,则由引理知交换的位置将使波动强度减小或不变,与已知矛盾.若,则,与已知矛盾.所以,.…………11分(ⅲ)设,证明.若,考查数列,则由前面推理可得,与矛盾.所以,.……………12分综上,得证.同理可证当时,有为递增数列.………………13分开始是否输出结束
①OABDCPABCO•正主视图俯视图侧左视图344333ABCDFEyBCAEzDFxM。