文本内容:
2019-2020年高中数学
2.
4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义素材新人教A版必修4命题方向1计算向量的数量积例1已知|a|=4,|b|=5,当1a∥b;2a⊥b;3a与b的夹角为60°时,分别求a与b的数量积.[分析] a∥b时其夹角为0°或180°,a⊥b时其夹角为90°,将两向量的模及夹角代入数量积公式计算即可.[解析] 1∵a∥b,若a与b同向,则θ=0°,∴a·b=|a||b|cos0°=4×5=20;若a与b反向,则θ=180°,∴a·b=|a||b|cos180°=4×5×-1=-
20.2当a⊥b时,θ=90°,∴a·b=|a||b|cos90°=
0.3当a与b夹角为60°时,a·b=|a||b|cos60°=4×5×=
10.命题方向2求一个向量在另一个向量方向上的投影例2已知|a|=4,e为单位向量,它们的夹角为,则a在e方向上的投影是____________;e在a方向上的投影是____________.[分析] 将已知量代入a在b方向上的投影公式|a|cosθ中计算即可.[答案] -2 -命题方向3待定系数法求抛物线的标准方程例3已知a、b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.[分析] 根据模长的关系,利用两向量的夹角公式计算.[解析] 根据|a|=|b|,有|a|2=|b|2,又由|b|=|a-b|,得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,∴a·b=|a|
2.而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,∴|a+b|=|a|.设a与a+b的夹角为θ,则cosθ===.又0°≤θ≤180°,∴θ=30°.命题方向4求向量的模例4已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为,求|a+b|,|a-b|的值.[分析] 先分别求|a+b|
2、|a-b|2,将模的计算转化为数量积的问题.[解析] 因为a2=|a|2=25,b2=|b|2=25,a·b=|a||b|cosθ=5×5×cos=,所以|a+b|====5,|a-b|====
5.命题方向5判断平面图形的形状例5在△ABC中,=c,=a,=b,且a·b=b·c=c·a,试判断△ABC的形状.[分析] 易知a+b+c=0,分别将a、b、c移至等号右边,得到三个等式,分别平方可得a·b、b·c、c·a,选取两个等式相减即可得到a、b、c中两个向量的长度之间的关系.[解析] 在△ABC中,易知++=0,即a+b+c=0,因此a+c=-b,a+b=-c,从而两式相减可得b2+2a·b-c2-2a·c=c2-b2,则2b2+2a·b-a·c=2c2,因为a·b=c·a=a·c,所以2b2=2c2,即|b|=|c|.同理可得|a|=|b|,故||=||=||,即△ABC是等边三角形.。