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文本内容:
2019-2020年高中数学
8.8抛物线训练理新人教A版
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是(A)4(B)6(C)8(D)
122.以抛物线y=的焦点为圆心,3为半径的圆与直线4x+3y+2=0相交所得的弦长为(A)(B)(C)(D)
83.(xx·福州模拟)过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线共有(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条
4.以抛物线y2=4x的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为(A)x2+y2+2x=0(B)x2+y2+x=0(C)x2+y2-x=0(D)x2+y2-2x=
05.易错题P是抛物线y=x2上任意一点,则当P点到直线x+y+2=0的距离最小时,P点与该抛物线的准线的距离是(A)2(B)1(C)(D)
6.xx•泉州模拟过点-1,0作抛物线y=x2+x+1的切线,则其中一条切线为A2x+y+2=0B3x+y+3=0Cx+y+1=0D3x-y+3=0
二、填空题(每小题6分,共18分)
7.抛物线y=的焦点与双曲线-=1的上焦点重合,则m=____.
8.(预测题)过抛物线y=8x2的焦点作直线交抛物线于A,B两点,线段AB的中点M的纵坐标为2,则线段AB的长为______.
9.(xx·百色模拟)设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B为该抛物线上两点,若+=则||+2||=_______.
三、解答题(每小题15分,共30分)
10.(xx·江西高考)已知过抛物线y2=2pxp0的焦点,斜率为的直线交抛物线于Ax1y1),B(x2y2x1x2两点,且|AB|=9.1求该抛物线的方程;2O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.
11.xx·厦门模拟如图直线l y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.1求实数b的值;2求以点A为圆心,且被抛物线C的准线截得的弦长为2的圆的方程.【探究创新】(16分)已知抛物线x2=2y的焦点为F,准线为l,过l上一点P作抛物线的两条切线,切点分别为A、B.某学习小组在研究讨论中提出如下三个猜想1直线PA、PB恒垂直;2直线AB恒过焦点F;3等式·=λ中的λ恒为常数.现请你一一进行论证.答案解析
1.【解析】选B.∵点P到y轴的距离是4,延长使得和准线相交于点Q,则|PQ|等于点P到焦点的距离,而|PQ|=6,所以点P到该抛物线焦点的距离为
6.【方法技巧】抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的求解技巧抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化1若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离;2若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.2【解析】选C.因为抛物线y=的标准方程为x2=4y,所以,焦点坐标为01,即圆心坐标为01,它到直线4x+3y+2=0的距离为d==1,所以弦长为=.
3.【解析】选C.作出图形,可知点(0,1)在抛物线y2=4x外.因此,过该点可作抛物线y2=4x的切线有两条,还能作一条与抛物线y2=4x的对称轴平行的直线,因此共有三条直线与抛物线只有一个交点.
4.【解析】选D.因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0),即所求圆的圆心,又圆过原点,所以圆的半径为r=1,故所求圆的方程为x-12+y2=1,即x2-2x+y2=0,故选D.
5.【解题指南】先根据题设条件求出点P的坐标,再根据抛物线的性质求出点P到准线的距离即可.【解析】选C.由题意,抛物线的准线方程是y=P点到直线x+y+2=0的距离最小时,点P处的切线必与直线x+y+2=0平行,故令y′=2x=-1,得x=,得点P的纵坐标为所以P点与该抛物线的准线的距离是+=,故选C.
6.【解析】选B.由题意可知切线斜率存在设过点-10与抛物线y=x2+x+1相切的直线斜率为k,则切线方程为y=kx+1代入y=x2+x+1得x2+1-kx+1-k=0Δ=1-k2-41-k=0解得k=1或k=-3即切线方程为y=x+1和y=-3x+1即x-y+1=0和3x+y+3=
0.故选B.
7.【解析】因为抛物线y=的标准方程为x2=16y,焦点坐标为0,4,又因为双曲线-=1的上焦点坐标为0),依题意有4=,解得m=
13.答案:13【误区警示】本题易出现y=的焦点为(0,)的错误,原因是对抛物线的标准方程记忆不准确.
8.【解析】设Ax1y1Bx2y2则y1+y2=
4.又∵y=8x2即x2=∴2p=p=∴|AB|=y1+y2+p=.答案:
9.【解题指南】先过A,B两点分别作准线的垂线,再过B作AC的垂线,垂足为E,在直角三角形ABE中,求得cos∠BAE==得出直线AB的斜率,进而得到直线AB的方程为y=x-1,将其代入抛物线的方程求得A,B的坐标,最后利用距离公式求得结果即可.【解析】过A,B两点分别作准线的垂线,再过B作AC的垂线,垂足为E,设BF=m则BD=m∵+2=∴AC=AF=2m如图,在直角三角形ABE中,AE=AC-BD=2m-m=mAB=3m∴cos∠BAE==∴直线AB的斜率为k=tan∠BAE=∴直线AB的方程为:y=x-1将其代入抛物线的方程化简得2x2-5x+2=0∴x1=2x2=∴A2B),又F(1,0),则||+2||==
6.答案
610.【解析】1抛物线y2=2pxp0的焦点坐标为0,所以直线AB过点0,斜率为,所以直线AB的方程是y=x-,与抛物线方程y2=2px联立,消去y得4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=,由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=9,解得p=4,因此抛物线方程为y2=8x.2由p=4及4x2-5px+p2=0得x2-5x+4=0,解得x1=1x2=4y1=y2=,从而A1)B4),设Cx3y3,则有=x3y3+λ=1)+λ4)=1+4λ+λ)又因为=+λ,所以x3y3=1+4λ+λ,即x3=1+4λ,y3=+λ,又因为y32=8x3,即+λ2=81+4λ,即2λ-12=4λ+1,解得λ=0或λ=2.【变式备选】动点P在x轴与直线l y=3之间的区域(含边界)上运动,且到点F01和直线l的距离之和为4.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)过点Q0-1作曲线C的切线,求所作的切线与曲线C所围成区域的面积.【解析】
(1)设Pxy,根据题意,得=4,化简,得y=(y≤3.
(2)设过Q的切线方程为y=kx-1,代入抛物线方程,整理得x2-4kx+4=0.由Δ=16k2-16=0.解得k=±1.于是所求切线方程为y=±x-1(亦可用导数求得切线方程).切点的坐标为(2,1),(-2,1).由对称性知所求的区域的面积为S==.11.【解析】1由得x2-4x-4b=0*因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=-42-4×-4b=0解得b=-
1.2由1可知b=-1故方程*即为x2-4x+4=0解得x=2代入x2=4y得y=
1.故点A21抛物线的准线y=-1所以r2=22+12=5所以圆A的方程为x-22+y-12=
5.【探究创新】【证明】1由x2=2y,得y=,对其求导,得y′=x,设Ax
1、Bx2则直线PA、PB的斜率分别为kPA=x1,kPB=x2,由点斜式得直线PA方程为y-=x1x-x1,即y=x1x-
①,同理,直线PB方程为y=x2x-
②,由
①、
②两式得点P坐标为,,∵点P在准线y=上,∴=,即x1x2=-
1.∴kPA·kPB=x1x2=-1,∴PA⊥PB,猜想1是正确的.2直线AB的斜率k==,由点斜式得直线AB方程为y-=x-x1,将上式变形并注意到x1x2=-1,得y=,显然,直线AB恒过焦点F0,,猜想2是正确的.3当AB∥x轴时,根据抛物线的对称性知A-1,、B1或A1,、B-1,,这时点P坐标为0,.·=-10·10=-1,=0,-1,=1,有λ=-
1.下面证·=-必成立,∵=x1,-0,=x1,,=x2,-0,=x2,,∴·=x1x2+x12-1x22-1=x1x2+=x1x2+[x1x22+2x1x2-x1+x22+1]=-1+[-12+2×-1-x1+x22+1]=-1-x1+x
22.又=,-0,=,-0,=,-1,∴=x1+x22+1,故·=-,λ恒为-
1.猜想3也是正确的.【变式备选】已知抛物线y2=4x,过点M02的直线l与抛物线交于A、B两点,且直线l与x轴交于点C.1求证:|MA|,|MC|,|MB|成等比数列;2设=α,=β试问α+β是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.【解析】1由题意设直线l的方程为y=kx+2k≠0,联立方程可得得:k2x2+4k-4x+4=0
①设Ax1,y1,Bx2,y2,又C,0),则x1+x2=,x1·x2=
②|MA|·|MB|=·=,而|MC|2==,∴|MC|2=|MA|·|MB|≠0,即|MA|,|MC|,|MB|成等比数列.2由=α,=β得,x1,y1-2=α-x1,-y1x2,y2-2=β-x2,-y2即得α=,β=,则α+β=由1中
②代入得α+β=-1,故α+β为定值且定值为-1.。