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2019-2020年高中数学
2.3平面向量的数量积
2.
3.1向量数量积的物理背景与定义优化训练新人教B版必修5分钟训练预习类训练,可用于课前
1.力使一个物体产生的位移为H,F与H的夹角为α,那么力F所做的功可表示为A.|F||H|sinαB.|F||H|cosαC.|F||H|tanαD.|F||H|cotα解析由功的物理意义.答案B
2.以下命题中,不与“非零向量a、b夹角为钝角”等价的是()A.非零向量a在非零向量b上的正射影为负值B.非零向量a、b的内积为负值C.非零向量a、b的长度皆小于a-b的长度D.非零向量a、b的平方和大于a+b的平方解析由三角形法则知a、b、a-b恰构成一个三角形,令|a|<|b|<|a-b|,且a与b夹角为锐角即可否定C选项的条件.答案D
3.已知|p|=2,|q|=3,且p与q的夹角为120°,则向量p在q方向上的正射影值为_____________;向量q在p方向上的正射影值为_____________.解析向量p在q方向上的正射影值为|p|sθ=2×cos120°=-
1.同理,|q|cosθ=3×cos120°=.答案-
14.已知|a|=10,|b|=12,且3a·b=-36,则a与b的夹角为____________.解析3a·b=3|a||b|cos〈a,b〉=3×10××12cos〈a,b〉=-36∴cos〈a,b〉=.∵cos〈a,b〉∈[0°,180°].∴cos〈a,b〉=120°.答案120°10分钟训练强化类训练,可用于课中
1.下列命题正确的是A.若|a|=|b|,则a=bB.若a、b为非零向量,则|a-b|<|a+b|C.若x、y满足|x+y|=|x|+|y|,则x·y=|x||y|D.若x、y为非零向量,则x与y同向的条件是存在实数k,使得x=ky解析对于A,显然不成立;对于B,|a-b|<|a+b||a-b|2<|a+b|2a-b2<a+b2a2+b2-2a·b<a2+b2+2a·ba·b>0,所以当a与b夹角为锐角时命题才能成立;对于C,|x+y|=|x|+|y||x+y|2=|x|+|y|2x+y2=|x|2+|y|2+2|x||y|x2+y2+2x·y=x2+y2+2|x||y|x·y=|x||y|,所以该命题正确;对于D,当且仅当k为正实数时才能成立.答案C
2.已知a、b都是单位向量,则下列结论中正确的是()A.a·b=1B.a2=b2C.a∥ba=bD.a·b=0解析单位向量是指模长为1的向量,对方向没有要求,因此夹角也无从得知,故A、C、D不正确,而|a|=,故B正确.答案B
3.在△ABC中,=a,=b,且a·b>0,则△ABC为三角形.()A.锐角B.直角C.钝角D.等腰直角解析∵·>0,∴·<0,即∠ABC为钝角.答案C
4.若|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为135°,则a·b等于A.B.C.D.12解析∵a·b=|a||b|cos135°=3×4×=.答案B
5.若|a|=2,b=-2a,则a·b=______________.解析|b|=2|a|=4,且b与a反向,∴〈a,b〉=180°.∴a·b=|a||b|cos180°=2×4×-1=-
8.答案-
86.已知|a|=4,|b|=5,当
①a∥b;
②a⊥b;
③〈a,b〉=120°时,分别求a与b的数量积.解
①a∥b,则a与b同向时,〈a,b〉=0°,此时a·b=|a||b|cos0°=4×5=
20.a与b反向时,〈a,b〉=180°,此时a·b=|a||b|cos180°=4×5×-1=-
20.
②a⊥b时,a·b=
0.
③〈a,b〉=120°,则a·b=|a||b|s〈a,b〉=4×5×=-
10.30分钟训练巩固类训练,可用于课后
1.对任意向量x和y,|x||y|与x·y的大小关系是()A.|x||y|≤x·yB.|x||y|>x·yC.|x||y|≥x·yD.|x||y|<x·y解析设x与y夹角为θ,则x·y=|x||y|cosθ≤|x||y|·1=|x||y|.特别地,当x或y等于0时,x·y=|x||y|=0;当θ=0°时,x·y=|x||y|.答案C
2.在△ABC中,若∠C=90°,AC=BC=4,则·等于A.16B.8C.-16D.-8解析∵∠C=90°,AC=BC=4,故△ABC为等腰直角三角形,∴BA=,∠ABC=45°.∴·=4×cos45°=
16.答案A
3.xx高考陕西卷,9向量、满足·=0且,则△ABC为A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形解析由=∠A=60°.又由·=0,知∠A的平分线与BC垂直,所以△ABC为等边三角形.答案A
4.已知|a|=4,b在a方向上的正射影的数量为-8,则a·b等于A.16B.32C.-16D.-32解析∵ab=|a||b|cos〈a,b〉=4×-8=-
32.答案D
5.已知a·b=2,|a|=|b|=,则下面正确的是A.〈a,b〉=45°B.a⊥bC.a与b同向D.a与b反向解析a·b=|a||b|cos〈a,b〉,即2=cos〈a,b〉,∴cos〈a,b〉=
1.∴〈a,b〉=0°,即a∥b,且a与b同向.答案C
6.已知|a|=8,e为单位向量,当它们之间夹角为60°时,a在e方向上的正射影为A.-4B.4C.2D.-2解析∵|a|cos60°=8×=
4.答案B
7.若非零向量α,β满足|α+β|=|α-β|,则α与β所成角的大小为_____________.解析设=α,=β,作平行四边形ABCD,则α+β=,α-β=,∴||=||.∴平行四边形ABCD为矩形.∴α⊥β.答案90°
8.已知a·b=,|a|=4,〈a,b〉=135°,则|b|=______________.解析a·b=|a||b|cos〈a,b〉,∴=4×|b|cos135°.∴|b|=
6.答案
69.若四边形ABCD满足+=0,且·=0,试判断四边形ABCD的形状.解∵+=0,∴=,即AB∥DC且AB=DC,∵四边形ABCD为平行四边形,又∵·=0,∴⊥,即AB⊥BC.∴四边形ABCD为矩形.
10.已知△ABC中,=c,=a,=b,若|c|=m,|b|=n,〈b,c〉=θ
①试用m、n、θ表示S△ABC;
②若c·b<0,且S△ABC=,|c|=3,|b|=5,则〈c,b〉为多少?解
①S△ABC=AB·AC·sin∠CAB=m·nsinθ.
②∵S△ABC==|b||c|sinθ,∴=×3×5sinθ.∴sinθ=.∵c·b<0,∴θ为钝角.∴θ=150°,即〈c,b〉=150°.。