2019-2020年高中数学2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义优化训练新人教B版必修

2019-2020年高中数学

2.3平面向量的数量积

2.

3.1向量数量积的物理背景与定义优化训练新人教B版必修5分钟训练预习类训练，可用于课前

1.力使一个物体产生的位移为H，F与H的夹角为α，那么力F所做的功可表示为A.|F||H|sinαB.|F||H|cosαC.|F||H|tanαD.|F||H|cotα解析由功的物理意义.答案B

2.以下命题中，不与“非零向量a、b夹角为钝角”等价的是（）A.非零向量a在非零向量b上的正射影为负值B.非零向量a、b的内积为负值C.非零向量a、b的长度皆小于a-b的长度D.非零向量a、b的平方和大于a+b的平方解析由三角形法则知a、b、a-b恰构成一个三角形，令|a|＜|b|＜|a-b|，且a与b夹角为锐角即可否定C选项的条件.答案D

3.已知|p|=2，|q|=3，且p与q的夹角为120°，则向量p在q方向上的正射影值为_____________；向量q在p方向上的正射影值为_____________.解析向量p在q方向上的正射影值为|p|sθ=2×cos120°=-

1.同理，|q|cosθ=3×cos120°=.答案-

14.已知|a|=10，|b|=12，且3a·b=-36，则a与b的夹角为____________.解析3a·b=3|a||b|cos〈a，b〉=3×10××12cos〈a，b〉=-36∴cos〈a，b〉=.∵cos〈a，b〉∈［0°，180°］.∴cos〈a，b〉=120°.答案120°10分钟训练强化类训练，可用于课中

1.下列命题正确的是A.若|a|=|b|，则a=bB.若a、b为非零向量，则|a-b|＜|a+b|C.若x、y满足|x+y|=|x|+|y|，则x·y=|x||y|D.若x、y为非零向量，则x与y同向的条件是存在实数k，使得x=ky解析对于A，显然不成立；对于B，|a-b|＜|a+b||a-b|2＜|a+b|2a-b2＜a+b2a2+b2-2a·b＜a2+b2+2a·ba·b＞0，所以当a与b夹角为锐角时命题才能成立；对于C，|x+y|=|x|+|y||x+y|2=|x|+|y|2x+y2=|x|2+|y|2+2|x||y|x2+y2+2x·y=x2+y2+2|x||y|x·y=|x||y|，所以该命题正确；对于D，当且仅当k为正实数时才能成立.答案C

2.已知a、b都是单位向量，则下列结论中正确的是（）A.a·b=1B.a2=b2C.a∥ba=bD.a·b=0解析单位向量是指模长为1的向量，对方向没有要求，因此夹角也无从得知，故A、C、D不正确，而|a|=，故B正确.答案B

3.在△ABC中，=a，=b，且a·b＞0，则△ABC为三角形.（）A.锐角B.直角C.钝角D.等腰直角解析∵·＞0，∴·＜0，即∠ABC为钝角.答案C

4.若|a|=3，|b|=4，a，b的夹角为135°，则a·b等于A.B.C.D.12解析∵a·b=|a||b|cos135°=3×4×=.答案B

5.若|a|=2，b=-2a，则a·b=______________.解析|b|=2|a|=4，且b与a反向，∴〈a，b〉=180°.∴a·b=|a||b|cos180°=2×4×-1=-

8.答案-

86.已知|a|=4，|b|=5，当

①a∥b；

②a⊥b；

③〈a，b〉=120°时，分别求a与b的数量积.解

①a∥b，则a与b同向时，〈a，b〉=0°，此时a·b=|a||b|cos0°=4×5=

20.a与b反向时，〈a，b〉=180°，此时a·b=|a||b|cos180°=4×5×-1=-

20.

②a⊥b时，a·b=

0.

③〈a，b〉=120°，则a·b=|a||b|s〈a，b〉=4×5×=-

10.30分钟训练巩固类训练，可用于课后

1.对任意向量x和y，|x||y|与x·y的大小关系是（）A.|x||y|≤x·yB.|x||y|＞x·yC.|x||y|≥x·yD.|x||y|＜x·y解析设x与y夹角为θ，则x·y=|x||y|cosθ≤|x||y|·1=|x||y|.特别地，当x或y等于0时，x·y=|x||y|=0；当θ=0°时，x·y=|x||y|.答案C

2.在△ABC中，若∠C=90°，AC=BC=4，则·等于A.16B.8C.-16D.-8解析∵∠C=90°，AC=BC=4，故△ABC为等腰直角三角形，∴BA=，∠ABC=45°.∴·=4×cos45°=

16.答案A

3.xx高考陕西卷，9向量、满足·=0且，则△ABC为A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形解析由=∠A=60°.又由·=0，知∠A的平分线与BC垂直，所以△ABC为等边三角形.答案A

4.已知|a|=4，b在a方向上的正射影的数量为-8，则a·b等于A.16B.32C.-16D.-32解析∵ab=|a||b|cos〈a，b〉=4×-8=-

32.答案D

5.已知a·b=2，|a|=|b|=，则下面正确的是A.〈a，b〉=45°B.a⊥bC.a与b同向D.a与b反向解析a·b=|a||b|cos〈a，b〉，即2=cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉=

1.∴〈a，b〉=0°，即a∥b，且a与b同向.答案C

6.已知|a|=8，e为单位向量，当它们之间夹角为60°时，a在e方向上的正射影为A.-4B.4C.2D.-2解析∵|a|cos60°=8×=

4.答案B

7.若非零向量α，β满足|α+β|=|α-β|，则α与β所成角的大小为_____________.解析设=α，=β，作平行四边形ABCD，则α+β=，α-β=，∴||=||.∴平行四边形ABCD为矩形.∴α⊥β.答案90°

8.已知a·b=，|a|=4，〈a，b〉=135°，则|b|=______________.解析a·b=|a||b|cos〈a，b〉，∴=4×|b|cos135°.∴|b|=

6.答案

69.若四边形ABCD满足+=0，且·=0，试判断四边形ABCD的形状.解∵+=0，∴=，即AB∥DC且AB=DC，∵四边形ABCD为平行四边形，又∵·=0，∴⊥，即AB⊥BC.∴四边形ABCD为矩形.

10.已知△ABC中，=c，=a，=b，若|c|=m，|b|=n，〈b，c〉=θ

①试用m、n、θ表示S△ABC；

②若c·b＜0，且S△ABC=，|c|=3，|b|=5，则〈c，b〉为多少？解

①S△ABC=AB·AC·sin∠CAB=m·nsinθ.

②∵S△ABC==|b||c|sinθ，∴=×3×5sinθ.∴sinθ=.∵c·b＜0，∴θ为钝角.∴θ=150°，即〈c，b〉=150°.。