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2019-2020年高中数学《直线和圆的位置关系》导学案北师大版必修
21.理解直线与圆的位置关系的种类.
2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.
3.会用方程思想判别式法或点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.一艘船在沿直线返回港口的途中接到台风预报:台风中心位于船正西70千米处受影响的范围是半径为30千米的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40千米处如果这艘船不改变航线那么它是否会受到台风影响这个问题可归结为直线和圆是否有公共点的问题也是我们这节课研究的对象.问题1:直线与圆的位置关系有三种: 、 、 . 判断直线与圆的位置关系有两种方法:1代数法:联立直线方程与圆的方程消去x或y整理成一元二次方程后计算判别式Δ当判别式Δ0时直线和圆 ;当判别式Δ=0时直线和圆 ;当判别式Δ0时直线和圆 . 2几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:dr⇒ d=r⇒ dr⇒ . 问题2:过一定点是否都存在圆的切线如果存在如何求圆的切线方程1若点在圆内此时直线和圆相交不存在圆的切线.2若点在圆上则过该点的切线只有 切线方程求法如下:
①直接法先求该点与圆心的连线的直线的斜率再利用垂直关系求出切线斜率最后用点斜式求出切线方程.
②设元法先设出切线方程注意斜率不存在时的讨论再利用圆心到切线的距离等于半径求出所设参数.
③公式法设Ax0y0是圆x-a2+y-b2=r2上的一点则过点A的切线方程为:x-ax0-a+y-b·y0-b=r2特别地当圆心在原点时即:Ax0y0是圆x2+y2=r2上一点则过点A的切线方程为: . 3若点在圆外则过该点的切线有 切线方程求法如下: 首先分析斜率不存在是否满足条件再分析斜率存在时:设斜率为k写出切线方程利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率从而求出切线方程.问题3:计算直线被圆截得的弦长的常用方法1几何法:运用弦心距即圆心到直线的距离、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.2代数法:运用韦达定理及两点距离公式有|AB|= . 问题4:用直线与圆的知识解决实际问题的步骤1仔细审题理解题意;2引入 建立 ; 3用直线与圆的知识解决已建立的数学模型;4用结果解释 .
1.直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是 .A.相交 B.相切C.相离D.相切或相交
2.自点A-14作圆x-22+y-32=1的切线则切线长为 .A.B.3C.D.
53.若直线y=kx+2与圆x-22+y-32=1有两个不同的交点则k的取值范围是 .
4.过原点作圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线求切线方程.圆的切线方程已知圆的方程是x2+y2=r2求经过圆上一点Mx0y0的切线方程.求圆的弦长求直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长.利用圆的方程求最值已知实数xy满足x-22+y2=4求3x2+4y2的最值.求过点P45的圆x-22+y2=4的切线方程.已知圆C:x2+y2-8y+12=0直线l:ax+y+2a=
0.当直线l与圆C相交于AB两点且AB=2时求直线l的方程.已知点Pxy在圆x2+y-12=1上运动则的最大值为 ;最小值为 .
1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是 .A.相切 B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离
2.圆C:x2+y2-4x=0在点P1处的切线方程为 .A.x+y-2=0B.x+y-4=0C.x-y+4=0D.x-y+2=
03.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切则实数m等于 .
4.已知圆x2+y2=8内一点P-12过点P的直线l的倾斜角为135°直线l交圆于A、B两点求AB的长. xx年·北京卷直线y=x被圆x2+y-22=4截得的弦长为 . 考题变式我来改编:第10课时 直线和圆的位置关系知识体系梳理问题1:相交 相切 相离 1相离 相切 相交2相交 相切 相离问题2:2一条
③x0x+y0y=r23两条问题3:2·|xA-xB|=问题4:2数学符号 数学模型 4实际问题基础学习交流
1.A ∵d==14∴直线与圆的位置关系是相交.
2.B 因为过圆外一点作圆的切线两条切线长相等故切线长为=3或2--1=
3.
3.0 依题意有1解得0k∴k的取值范围是
0.
4.解:已知圆的标准方程为x-12+y-12=1所以圆与坐标轴相切所以切线方程为x=0或y=
0.重点难点探究探究一:【解析】法一当点M不在坐标轴上时设切线的斜率为k半径OM的斜率为k1∵圆的切线垂直于过切点的半径∴k=-.∵k1=∴k=-.∴经过点M的切线方程是y-y0=-x-x0整理得x0x+y0y=+.又∵点Mx0y0在圆上∴+=r
2.∴所求的切线方程是x0x+y0y=r
2.当点M在坐标轴上时可以验证上面的方程同样适用.法二设Pxy为所求切线上的任意一点当P与M不重合时△OPM为直角三角形OP为斜边∴OP2=OM2+MP2即x2+y2=++x-x02+y-y02整理得x0x+y0y=r
2.可以验证当P与M重合时同样适合上式故所求的切线方程是x0x+y0y=r
2.法三设Pxy为所求切线上的任意一点M与P不重合当点M不在坐标轴上时由OM⊥MP得kOM·kMP=-1即·=-1整理得x0x+y0y=r
2.可以验证当点M在坐标轴上时同样适合上式;当P与M重合时亦适合上式.故所求的切线方程是x0x+y0y=r
2.【小结】1求圆的切线方程一般有三种方法:
①设切线斜率利用判别式但过程冗长计算复杂易出错通常不采用此法但该法却是判断直线和曲线相切的通法以后会经常用到;
②设切线斜率利用圆心到直线的距离等于半径;
③设切点利用过圆心和切点的直线与切线垂直.前两种方法要验证斜率是否存在.2过圆外一点可作圆的两条切线.探究二:【解析】法一直线x-y+2=0和圆x2+y2=4的公共点坐标就是方程组的解.根据x-y+2=0得y=x+2代入x2+y2=4得x2+x=0解得或∴公共点坐标为-1和02直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为=
2.法二如图设直线x-y+2=0与圆x2+y2=4交于AB两点弦AB的中点为M则OM⊥ABO为坐标原点所以OM==所以AB=2AM=2=2=
2.【小结】在本题的两种方法中前一种方法是代数法后一种方法是几何法.在处理与直线和圆相交形成的弦的有关问题时我们经常用到如下解法:1设弦的两个端点坐标分别为x1y
1、x2y2代入圆的方程后寻求坐标与弦的关系然后加以求解;2涉及圆的弦长问题时为了简化运算常利用垂径定理或半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形进行运算.探究三:【解析】由x-22+y2=4得y2=4x-x2所以3x2+4y2=3x2+44x-x2=-x2+16x=-x-82+64故3x2+4y2在x=8时有最大值64没有最小值.[问题]在圆的方程中变量x的取值范围是R吗[结论]将x=8代入圆方程x-22+y2=4得y2=-32矛盾所以上述解法是错误的.因为y2=4-x-22≥0所以x的取值范围不是R.于是正确解答如下:由x-22+y2=4得y2=4x-x2≥0得0≤x≤4所以3x2+4y2=3x2+44x-x2=-x2+16x=-x-82+640≤x≤4所以当x=y=0时3x2+4y2取得最小值0;当x=4y=0时3x2+4y2取得最大值
48.【小结】确定圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的变量的取值范围的方法:先配方再根据平方项非负来确定.圆的方程中变量的范围一般是以隐含条件的形式出现在试题中因此在解题时注意挖掘出这个隐含条件.思维拓展应用应用一:把点P45代入x-22+y2=4得4-22+52=294即点P在圆x-22+y2=4外.设切线斜率为k则切线方程为y-5=kx-4即kx-y+5-4k=0又圆心坐标为20r=2由圆心到切线的距离等于半径得=2解得k=.将k代入所设方程得此时切线方程为21x-20y+16=
0.当直线的斜率不存在时还有一条切线是x=
4.因此切线方程为x=4或21x-20y+16=
0.应用二:将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方后得到标准方程x2+y-42=4则此圆的圆心为C04半径为
2.法一过圆心C作CD⊥AB交AB于点D则根据题意和圆的性质得即:+2=
4.解得a=-7或a=-
1.即直线l的方程为7x-y+14=0或x-y+2=
0.法二联立方程组消去y得a2+1x2+4a2+2ax+4a2+4a+3=
0.Δ=-164a+30即a-设此方程的两根分别为x1x2由韦达定理知x1+x2=-x1x2=.由AB=2=可求出a=-7或a=-1所以直线l的方程是7x-y+14=0或x-y+2=
0.应用三: - 因为表示的几何意义是圆上的动点与21连线的斜率所以设=k即kx-y+1-2k=0当直线与圆相切时斜率k取最大值或最小值此时=1解得k=±.所以的最大值为最小值为-.基础智能检测
1.B 因为圆心00到直线x-y+1=0的距离d=1故直线与圆相交又00不在直线上所以直线不过圆心.
2.D 因为点P在圆C上kPC=-所以切线的斜率为所以切线方程为y-=x-1即x-y+2=
0.
3.-3或 由题设知圆心坐标为10因为直线与圆相切所以d==r=解得m=或-
3.
4.解:kAB=-1直线AB的方程为y-2=-x+1即x+y-1=
0.故圆心00到AB的距离d==从而弦长|AB|=2=.全新视角拓展2 本题考查直线和圆的位置关系以及简单的平面几何知识.法一几何法:圆心到直线的距离为d==圆的半径r=2所以弦长为l=2×=2=2;法二代数法:联立直线和圆的方程消去y可得x2-2x=0所以直线和圆的两个交点坐标分别为2200弦长为=
2.。