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2019-2020年高中数学人教A版选修2-3教学案2-1-1 离散型随机变量Word版含解析预习课本P44~45,思考并完成以下问题1.随机变量和离散型随机变量的概念是什么?随机变量是如何表示的?2.随机变量与函数的关系? 1.随机变量1定义在一个对应关系下,随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.2表示随机变量常用字母X,Y,ξ,η等表示.2.离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来,则称X为离散型随机变量.3.随机变量和函数的关系随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映射为实数,函数把实数映射为实数.在这两种映射之间,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域.1.判断下列命题是否正确.正确的打“√”,错误的打“×”1随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个. 2手机电池的使用寿命X是离数型随机变量. 答案1√ 2×2.下列变量中,是离散型随机变量的是 A.到xx年5月1日止,我国被确诊的爱滋病人数B.一只刚出生的大熊猫,一年以后的身高C.某人在车站等出租车的时间D.某人投篮10次,可能投中的次数答案D3.袋中有大小相同的红球6个,白球5个,从袋中无放回的条件下每次任意取出一个球,直到取出的球是白色为止,所需要的取球次数为随机变量X,则X的可能取值为 A.12,…,6 B.12,…,7C.12,…,11 D.123,…答案B4.在考试中,需回答三个问题,考试规则规定每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________.答案300100-100-300随机变量的概念[典例] 1抛掷一枚均匀硬币一次,随机变量为 A.抛掷硬币的次数B.出现正面的次数C.出现正面或反面的次数D.出现正面和反面的次数之和26件产品中有2件次品,4件正品,从中任取1件,则可以作为随机变量的是 A.取到的产品个数 B.取到的正品个数C.取到正品的概率D.取到次品的概率[解] 1抛掷一枚硬币一次,可能出现的结果是正面向上或反面向上.以某一个为标准,如正面向上的次数来描述这一随机试验,那么正面向上的次数就是随机变量ξ,ξ的取值是01,故选B.而A项中抛掷次数就是1,不是随机变量;C项中标准不明;D项中,出现正面和反面的次数之和为必然事件,试验前便知是必然出现的结果,也不是随机变量.2由随机变量的定义知,随机变量是随机试验的结果,排除C、D项,又取到的产品个数是一个确定值,排除A项.故选B项.[答案] 1B 2B判断一个试验是否是随机试验,依据是这个试验是否满足随机试验的三个条件,即1试验在相同条件下是否可重复进行;2试验的所有可能的结果是否是明确的,并且试验的结果不止一个;3每次试验的结果恰好是一个,而且在一次试验前无法预知出现哪个结果. [活学活用]指出下列哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由1某人射击一次命中的环数;2掷一枚质地均匀的骰子,出现的点数;3某个人的属相随年龄的变化.解1某人射击一次,可能命中的所有环数是01,…,10,而且出现哪一个结果是随机的,因此命中的环数是随机变量.2掷一枚骰子,出现的结果是1点,2点,3点,4点,5点,6点中的一个且出现哪一个结果是随机的,因此出现的点数是随机变量.3一个人的属相在他出生时就确定了,不随年龄的变化而变化,因此属相不是随机变量.离散型随机变量的判定[典例] 指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由.1湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯,将所有路灯进行编号,其中某一路灯的编号X;2在一次数学竞赛中,设
一、
二、三等奖,小明同学参加竞赛获得的奖次X;3丁俊晖在xx年世锦赛中每局所得的分数.[解] 1桥面上的路灯是可数的,编号X可以一一列出,是离散型随机变量.2小明获奖等次X可以一一列出,是离散型随机变量.3每局所得的分数X可以一一列举出来,是离散型随机变量.判断离散型随机变量的方法1明确随机试验的所有可能结果.2将随机试验的结果数量化.3确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出,如能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是. [活学活用]下列随机变量中不是离散型随机变量的是________填序号.
①广州白云机场候机室中一天的旅客数量X;
②广州某水文站观察到一天中珠江的水位X;
③某工厂加工的某种钢管,外径与规定的外径尺寸之差X;
④虎门大桥一天经过的车辆数X.解析
①④中的随机变量X的所有取值,我们都可以按照一定的次序一一列出,因此它们是离散型随机变量,
②中的随机变量X可以取某一区间内的一切值,但无法按一定次序一一列出,故不是离散型随机变量.
③中X的取值为某一范围内的实数,无法全部列出,不是离散型随机变量,故不是离散型随机变量.答案
②③用随机变量表示试验的结果[典例] 写出下列随机变量可能取的值,并说明这些值所表示的随机试验的结果.1袋中有大小相同的红球10个,白球5个,从袋中每次任取1个球,取后不放回,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数.2从标有数字123456的6张卡片中任取2张,所取卡片上的数字之和.[解] 1设所需的取球次数为X则X=1234,…,1011,X=i表示前i-1次取到的均是红球,第i次取到白球,这里i=1234,…,11.2设所取卡片上的数字之和为X则X=345,…,11.X=3表示“取出标有12的两张卡片”;X=4表示“取出标有13的两张卡片”;X=5表示“取出标有23或14的两张卡片”;X=6表示“取出标有24或15的两张卡片”;X=7表示“取出标有34或25或16的两张卡片”;X=8表示“取出标有26或35的两张卡片”;X=9表示“取出标有36或45的两张卡片”;X=10表示“取出标有46的两张卡片”;X=11表示“取出标有56的两张卡片”.[一题多变]1.[变条件]若本例2中条件不变,所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量ξ,请问ξ有哪些取值?其中ξ=4表示什么含义?解ξ的所有可能取值有12345.ξ=4表示“取出标有15或26的两张卡片”.2.[变条件,变问法]甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛,规定采用“七局四胜制”,用X表示需要比赛的局数,写出X所有可能的取值,并写出表示的试验结果.解根据题意可知X的可能取值为4567.X=4表示共打了4局,甲、乙两人有1人连胜4局.X=5表示在前4局中有1人输了一局,最后一局此人胜出.X=6表示在前5局中有1人输了2局,最后一局此人胜出.X=7表示在前6局中,两人打平,后一局有1人胜出.解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点1关键点解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值,以及取每一个值对应的意义,即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果.2注意点解答过程中不要漏掉某些试验结果. 层级一 学业水平达标1.给出下列四个命题
①15秒内,通过某十字路口的汽车的数量是随机变量;
②解答高考数学乙卷的时间是随机变量;
③一条河流每年的最大流量是随机变量;
④一个剧场共有三个出口,散场后某一出口退场的人数是随机变量.其中正确的个数是 A.1 B.2C.3D.4解析选D 由随机变量的概念可以直接判断
①②③④都是正确的.2.随机变量X是某城市1天之中发生的火警次数,随机变量Y是某城市1天之内的温度.随机变量ξ是某火车站1小时内的旅客流动人数.这三个随机变量中不是离散型随机变量的是 A.X和ξB.只有YC.Y和ξD.只有ξ解析选B 某城市1天之内的温度不能一一列举,故不是离散型随机变量,故选B.3.抛掷两颗骰子,所得点数之和为ξ,那么ξ=4表示的随机试验结果是 A.两颗都是2点B.一颗是3点,另一颗是1点C.两颗都是4点D.一颗是3点,一颗是1点或两颗都是2点解析选D ξ=4表示两颗骰子的点数和为4.4.袋中有大小相同的5个钢球,分别标有12345五个号码.在有放回地抽取条件下依次取出2个球,设两个球号码之和为随机变量ξ,则ξ所有可能取值的个数是 A.25B.10C.9D.5解析选C 第一次可取12345中的任意一个,由于是有放回抽取,第二次也可取12345中的任何一个,两次的号码和可能为2345678910.故选C.5.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为 A.第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品B.第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品C.前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品D.前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品解析选D ξ就是检测到次品前正品的个数,ξ=k表明前k次检测到的都是正品,第k+1次检测到的是次品.6.甲进行3次射击,甲击中目标的概率为,记甲击中目标的次数为X,则X的可能取值为________.解析甲可能在3次射击中,一次未中,也可能中1次,2次,3次.答案01237.在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取3件,记次品的件数为ξ,则{ξ2}表示的试验结果是________.解析应分ξ=0和ξ=1两类.ξ=0表示取到3件正品;ξ=1表示取到1件次品、2件正品.故{ξ2}表示的试验结果为取到1件次品、2件正品或取到3件正品.答案取到1件次品、2件正品或取到3件正品8.一袋中装有6个同样大小的黑球,编号为123456.现从中随机取出3个球,以ξ表示取出的球的最大号码,用x,y,z表示取出的三个球编号为x,y,zxyz,则ξ=5表示的试验结果构成的集合是____________________________________________________.解析从6个球中选出3个球,其中有一个是5号球,其余的2个球是1234号球中的任意2个.∴试验结果构成的集合是{125,135,145,235,245,345}.答案{125,135,145,235,245,345}9.某车间三天内每天生产10件某产品,其中第一天,第二天分别生产了1件次品、2件次品,而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过.若厂内对车间生产的产品采用记分制,两天全不通过检查得0分,通过一天、两天分别得1分、2分,设该车间在这两天内得分为ξ,写出ξ的可能取值.解ξ的可能取值为012.ξ=0表示在两天检查中均发现了次品.ξ=1表示在两天检查中有1天没有检查到次品,1天检查到了次品.ξ=2表示在两天检查中没有发现次品.10.已知在10件产品中有2件不合格品,现从这10件产品中任取3件,这是一个随机现象.1写出该随机现象所有可能出现的结果.2试用随机变量来描述上述结果.解1从10件产品中任取3件,所有可能出现的结果是“不含不合格品”“恰有1件不合格品”“恰有2件不合格品”.2令X表示取出的3件产品中的不合格品数.则X所有可能的取值为012,对应着任取3件产品所有可能出现的结果.即“X=0”表示“不含不合格品”;“X=1”表示“恰有1件不合格品”;“X=2”表示“恰有2件不合格品”.层级二 应试能力达标1.
①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X;
②某人射击2次,击中目标的环数之和记为X;
③测量一批电阻,阻值在950Ω~1200Ω之间;
④一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机变量的是 A.
①② B.
①③C.
①④D.
①②④解析选A
①②中变量X所有可能取值是可以一一列举出来的,是离散型随机变量,而
③④中的结果不能一一列出,故不是离散型随机变量.2.抛掷两枚骰子,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ,则“ξ4”表示的试验结果是 A.第一枚6点,第二枚2点B.第一枚5点,第二枚1点C.第一枚2点,第二枚6点D.第一枚6点,第二枚1点解析选D 只有D中的点数差为6-1=54,其余均不是,应选D.3.袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取得黑球,则另换一个红球放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放回5个球”的事件为 A.X=4B.X=5C.X=6D.X≤4解析选C 第一次取到黑球,则放回1个球,第二次取到黑球,则共放回2个球…,共放了五回,第六次取到了红球,试验终止,故X=6.4.袋中有大小相同的5个球,分别标有12345五个号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为y,则y所有可能值的个数是 A.25B.10C.7D.6解析选C ∵y表示取出的2个球的号码之和,又1+2=31+3=41+4=51+5=62+3=52+4=62+5=73+4=73+5=84+5=9,故y的所有可能取值为3456789,共7个.5.一串钥匙有5把,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数X的最大值可能为________.解析由题意可知X取最大值时只剩下一把钥匙,但锁此时未打开,故试验次数为4.答案46.一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字两两不同,设他拨到所要号码时总共拨的次数为ξ,则随机变量ξ的所有可能取值的种数为________.解析由于后四位数字两两不同,且都大于5,因此只能是6789四位数字的不同排列,故有A=24种.答案247.写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.1一个袋中装有2个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数ξ;2抛掷甲、乙两枚骰子,所得点数之和Y.解1ξ可取012.ξ=i,表示取出的3个球中有i个白球,3-i个黑球,其中i=012.2Y的可能取值为234,…,12.若以i,j表示抛掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点,则{Y=2}表示11;{Y=3}表示12,21;{Y=4}表示13,22,31;…;{Y=12}表示66.8.写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所表示的随机试验的结果.在一个盒子中,放有标号分别为123的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,记ξ=|x-2|+|y-x|.解因为x,y可能取的值为123,所以0≤|x-2|≤10≤|x-y|≤2,所以0≤ξ≤3,所以ξ可能的取值为0123,用x,y表示第一次抽到卡片号码为x,第二次抽到卡片号码为y,则随机变量ξ取各值的意义为ξ=0表示两次抽到卡片编号都是2,即22.ξ=1表示11,21,23,33.ξ=2表示12,32.ξ=3表示13,31.。