2019-2020年高中数学人教A版选修4-54-2用数学归纳法证明不等式举例教案

2019-2020年高中数学人教A版选修4-54-2用数学归纳法证明不等式举例教案教学目标

1、了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，

2、理解数学归纳法的操作步骤，

3、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点理解经典不等式的证明思路.教学过程

一、复习准备

1.求证.

2.求证.

二、讲授新课

1、用数学归纳法证明不等式的方法作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法

2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P（n）．

（1）证明当n取第一个值n0时，结论正确，即验证P（n0）正确；

（2）假设n=k（k∈N且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P（k）正确推出P（k+1）正确，根据

（1），

（2），就可以判定命题P（n）对于从n0开始的所有自然数n都正确．在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点

（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；

（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；

（3）活用起点的位置；

（4）有的试题需要先作等价变换

三、应用举例例1比较与的大小，试证明你的结论.分析试值→猜想结论→用数学归纳法证明→要点….证明（略）小结反思试值→猜想→证明巩固练习1已知数列的各项为正数，Sn为前n项和，且，归纳出an的公式并证明你的结论.解题要点提示试值n=1234，→猜想an→数学归纳法证明例2证明不等式.要点证明（略）例3证明贝努利不等式.分析贝努力不等式中涉及到两个字母，表示大于-1且不等于0的任意实数，是大于1的自然数，用数学归纳法只能对进行归纳巩固练习2试证明不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1n∈N*且a、b、c互不相等时，均有an+cn＞2bn.解答要点当a、b、c为等比数列时，设a=c=bqq＞0且q≠

1.∴an+cn=….当a、b、c为等差数列时，有2b=a+c，则需证＞nn≥2且n∈N*.….当n=k+1时，ak+1+ck+1+ak+1+ck+1＞ak+1+ck+1+ak·c+ck·a=ak+cka+c＞k·=k+

1.

3.小结反思应用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式；技巧凑配、放缩.

四、巩固练习

1.用数学归纳法证明.

2.已知.

五、课堂小结

六、布置作业教材P

533、

5、8题.。