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2019-2020年高中数学人教A版选修4-54-2用数学归纳法证明不等式举例教案教学目标
1、了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,
2、理解数学归纳法的操作步骤,
3、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点理解经典不等式的证明思路.教学过程
一、复习准备
1.求证.
2.求证.
二、讲授新课
1、用数学归纳法证明不等式的方法作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法,以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法
2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法.设要证命题为P(n).
(1)证明当n取第一个值n0时,结论正确,即验证P(n0)正确;
(2)假设n=k(k∈N且k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时,结论也正确,即由P(k)正确推出P(k+1)正确,根据
(1),
(2),就可以判定命题P(n)对于从n0开始的所有自然数n都正确.在用数学归纳法证明不等式的具体过程中,要注意以下几点
(1)在从n=k到n=k+1的过程中,应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化,也就是要认清不等式的结构特征;
(2)瞄准当n=k+1时的递推目标,有目的地进行放缩、分析;
(3)活用起点的位置;
(4)有的试题需要先作等价变换
三、应用举例例1比较与的大小,试证明你的结论.分析试值→猜想结论→用数学归纳法证明→要点….证明(略)小结反思试值→猜想→证明巩固练习1已知数列的各项为正数,Sn为前n项和,且,归纳出an的公式并证明你的结论.解题要点提示试值n=1234,→猜想an→数学归纳法证明例2证明不等式.要点证明(略)例3证明贝努利不等式.分析贝努力不等式中涉及到两个字母,表示大于-1且不等于0的任意实数,是大于1的自然数,用数学归纳法只能对进行归纳巩固练习2试证明不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列,当n>1n∈N*且a、b、c互不相等时,均有an+cn>2bn.解答要点当a、b、c为等比数列时,设a=c=bqq>0且q≠
1.∴an+cn=….当a、b、c为等差数列时,有2b=a+c,则需证>nn≥2且n∈N*.….当n=k+1时,ak+1+ck+1+ak+1+ck+1>ak+1+ck+1+ak·c+ck·a=ak+cka+c>k·=k+
1.
3.小结反思应用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式;技巧凑配、放缩.
四、巩固练习
1.用数学归纳法证明.
2.已知.
五、课堂小结
六、布置作业教材P
533、
5、8题.。