2019-2020年高中数学人教A版选修4-5教学案：第一讲二2-绝对值不等式的解法

2019-2020年高中数学人教A版选修4-5教学案第一讲二2-绝对值不等式的解法对应学生用书P131．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥cc0型不等式的解法只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥aa0型不等式求解．|ax＋b|≤cc0型不等式的解法先化为－c≤ax＋b≤c，再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式|ax＋b|≥cc0的解法先化为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．

②以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．

③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像有时需要考查函数的增减性是解题关键．对应学生用书P13|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥cc0型的不等式的解法　[例1]　解下列不等式1|5x－2|≥8；22≤|x－2|≤

4.[思路点拨]　利用|x|a及|x|aa0型不等式的解法求解．[解]　1|5x－2|≥8⇔5x－2≥8或5x－2≤－8⇔x≥2或x≤－，∴原不等式的解集为.2原不等式价于由

①得x－2≤－2，或x－2≥2，∴x≤0，或x≥

4.由

②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤

6.∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0，或4≤x≤6}．|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法

①当c0时，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.

②当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|c的解集为∅.

③当c0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为∅.1．解下列不等式1|3－2x|9；24＜|3x－2|＜8；3|x2－3x－4|x＋

1.解1∵|3－2x|9，∴|2x－3|

9.∴－92x－

39.即－62x

12.∴－3x

6.∴原不等式的解集为{x|－3x6}．2由4＜|3x－2|＜8，得⇒⇒∴－2＜x＜－或2＜x＜.∴原不等式的解集为.3不等式可转化为x2－3x－4x＋1或x2－3x－4－x－1，∴x2－4x－50或x2－2x－

30.解得x5或x－1或－1x3，∴不等式的解集是5，＋∞∪－∞，－1∪－13．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法[例2]　解不等式|x＋7|－|x－2|≤

3.[思路点拨]　解该不等式，可采用三种方法1利用绝对值的几何意义；2利用各绝对值的零点分段讨论；3构造函数，利用函数图像分析求解．解法一|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点坐标为x到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－

1.由图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，即x∈－∞，－1]．法二令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝

2.

①当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，∴－9≤3成立，∴x＜－

7.

②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，即2x≤－2，∴x≤－1，∴－7≤x≤－

1.

③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，即9≤3不成立，∴x∈∅.∴原不等式的解集为－∞，－1]．法三将原不等式转化为|x＋7|－|x－2|－3≤0，构造函数y＝|x＋7|－|x－2|－3，即y＝作出函数的图像，从图可知，当x≤－1时，有y≤0，即|x＋7|－|x－2|－3≤0，所以，原不等式的解集为－∞，－1]．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤cc0型不等式的三种解法分区间分类讨论法、图像法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况．2．解不等式|2x－1|＋|3x＋2|≥

8.解1x≤－时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x－3x＋2≥

8.⇔－5x≥9⇔x≤－，∴x≤－；2－x时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x＋3x＋2≥8⇔x＋3≥8⇔x≥5，∴x∈∅；3x≥时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔5x＋1≥8⇔5x≥7⇔x≥，∴x≥.∴原不等式的解集为∪.3．解不等式|x－1|＋|2－x|＞3＋x.解把原不等式变为|x－1|＋|x－2|＞3＋x，1当x≤1时，∴原不等式变为－x－1－x－2＞3＋x，解得x＜0；2当1＜x≤2时，∴原不等式变为x－1－x－2＞3＋x，解得x∈∅；3当x＞2时，∴原不等式变为x－1＋x－2＞3＋x，解得x＞

6.综上，原不等式解集为－∞，0∪6，＋∞.含绝对值不等式的恒成立问题[例3]　已知不等式|x＋2|－|x＋3|m.1若不等式有解；2若不等式解集为R；3若不等式解集为∅，分别求出m的范围．[思路点拨]　解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的范围．[解]　法一因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点Px与两定点A－2，B－3距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.由图像知|PA|－|PB|max＝1，|PA|－|PB|min＝－

1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤

1.1若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m1，m的范围为－∞，1．2若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的范围为－∞，－1．3若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的范围为[1，＋∞．法二由|x＋2|－|x＋3|≤|x＋2－x＋3|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|x＋3－x＋2|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤

1.1若不等式有解，则m∈－∞，1．2若不等式解集为R，则m∈－∞，－1．3若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞．问题1是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题fxa恒成立⇔fxmaxa，fxa恒成立⇔fxmina.4．把本例中的“”改成“”，即|x＋2|－|x＋3|m时，分别求出m的范围．解由例题知－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1，所以1若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值大即可，即m∈－1，＋∞．2若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值大即可，即m∈1，＋∞．3若不等式的解集为∅，m只要不大于|x＋2|－|x＋3|的最小值即可，即m∈－∞，－1]．5．把本例中的“－”改成“＋”，即|x＋2|＋|x＋3|m时，分别求出m的范围．解|x＋2|＋|x＋3|≥|x＋2－x＋3|＝1，即|x＋2|＋|x＋3|≥

1.1若不等式有解，m为任何实数均可，即m∈R.2若不等式解集为R，即m∈－∞，1．3若不等式解集为∅，这样的m不存在，即m∈∅.对应学生用书P151．不等式|x＋1|3的解集是　　A．{x|x－4或x2}　　B．{x|－4x2}C．{x|x－4或x≥2}D．{x|－4≤x2}解析|x＋1|3，则x＋13或x＋1－3，因此x－4或x

2.答案A2．不等式＞0的解集为　　A.B.C.D.解析原不等式⇒⇒⇒答案C3．不等式|x＋1|＋|x＋2|5的所有实数解的集合是　　A．－32B．－13C．－41D.解析|x＋1|＋|x＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－

41.因此|x＋1|＋|x＋2|5解集是－41．答案C4．不等式1≤|2x－1|2的解集为　　A.B.C.D.解析1≤|2x－1|2则1≤2x－12或－22x－1≤－1，因此－x≤0或1≤x.答案D5．不等式|x＋2|≥|x|的解集是________．解析因不等式两边是非负实数，所以不等式两边可以平方，两边平方得x＋22≥x2，∴x2＋4x＋4≥x

2.即x≥－

1.∴原不等式的解集为{x|x≥－1}．答案{x|x≥－1}6．不等式|2x－1|－x1的解集是__________．解析原不等式等价于|2x－1|x＋1⇔－x－12x－1x＋1⇔⇔0x

2.答案{x|0x2}7．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|＜a的解集为∅，则a的取值范围为________．解析法一由|x＋2|＋|x－1|＝|x＋2|＋|1－x|≥|x＋2＋1－x|＝3，知a≤3时，原不等式无解．法二数轴上任一点到－2与1的距离之和最小值为

3.所以当a≤3时，原不等式的解集为∅.答案－∞，3]8．解不等式|3x－2|＋|x－1|＞

3.解1当x≤时，|3x－2|＋|x－1|＝1－x＋2－3x＝3－4x，由3－4x＞3得x＜

0.2当＜x＜1时，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋1－x＝2x－1，由2x－1＞3得x＞2，∴x∈∅.3当x≥1时，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋x－1＝4x－3，由4x－3＞3得x＞，∴x＞.故原不等式的解集为.9．已知fx＝|ax－2|＋|ax－a|a＞0．1当a＝1时，求fx≥x的解集；2若不存在实数x，使fx＜3成立，求a的取值范围．解1当a＝1时，fx＝|x－2|＋|x－1|≥x，当x≥2时，原不等式可转化为x－2＋x－1≥x，解得x≥3；当1＜x＜2时，原不等式可转化为2－x＋x－1≥x，解得x≤1，∴x∈∅；当x≤1时，原不等式可转化为2－x＋1－x≥x，解得x≤

1.综上可得，解集为{x|x≤1或x≥3}．2依题意，对∀x∈R，都有fx≥3，则fx＝|ax－2|＋|ax－a|≥|ax－2－ax－a|＝|a－2|≥3，∴a－2≥3或a－2≤－3，∴a≥5或a≤－1舍，∴a的取值范围是[5，＋∞．。