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2019-2020年高中数学人教A版选修4-5教学案第三讲三排序不等式 对应学生用书P351.顺序和、乱序和、反序和设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn为b1,b2,…,bn的任一排列,称a1b1+a2b2+…+anbn为这两个实数组的顺序积之和简称顺序和,称a1bn+a2bn-1+…+anb1为这两个实数组的反序积之和简称反序和.称a1c1+a2c2+…+ancn为这两个实数组的乱序积之和简称乱序和.2.排序不等式排序原理定理排序原理,又称为排序不等式 设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn为b1,b2,…,bn的任一排列,则有a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn,等号成立反序和等于顺序和⇔a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn.排序原理可简记作反序和≤乱序和≤顺序和.[说明] 排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时,所得两两乘积之和最大;反向单调一增一减时,所得两两乘积之和最小. 对应学生用书P35[例1] 已知a,b,c为正数,且a≥b≥c,求证++≥++.[思路点拨] 分析题目中已明确a≥b≥c,所以解答本题时可直接构造两个数组,再用排序不等式证明即可.[证明] ∵a≥b0,于是≤,又c0,从而≥,同理≥,从而≥≥.又由于顺序和不小于乱序和,故可得++≥++=++≥++=++=++.所以原不等式成立.利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构,从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组.1.已知0αβγ,求证sinαcosβ+sinβcosγ+sinγ·cosαsin2α+sin2β+sin2γ.证明∵0αβγ,且y=sinx在为增函数,y=cosx在为减函数,∴0sinαsinβsinγ,cosαcosβcosγ
0.∴sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosαsinαcosα+sinβcosβ+sinγcosγ=sin2α+sin2β+sin2γ.2.设x≥1,求证1+x+x2+…+x2n≥2n+1xn.证明∵x≥1,∴1≤x≤x2≤……≤xn.由排序原理得12+x2+x4+…+x2n≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1即1+x2+x4+…+x2nn≥n+1xn.
①又因为x,x2,…,xn1为1,x,x2,…,xn的一个排列由排序原理得1·x+x·x2+…+xn-1·xn+xn·1≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1得x+x3+…+x2n-1+xn≥n+1xn
②将
①②相加得1+x+x2+…+x2n≥2n+1xn.用排序不等式证明不等式对所证不等式中的字母大小顺序作出假设[例2] 在△ABC中,试证≤[思路点拨] 可构造△ABC的边和角的有序数列,应用排序不等式来证明.[证明] 不妨设a≤b≤c,于是A≤B≤C.由排序不等式,得aA+bB+cC≥aA+bB+cC,aA+bB+cC≥bA+cB+aC,aA+bB+cC≥cA+aB+bC.相加,得3aA+bB+cC≥a+b+cA+B+C=πa+b+c,得≥.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系,对于没有给出大小关系的情况,要根据各字母在不等式中地位的对称性,限定一种大小关系.3.设a,b,c都是正数,求证++≥a+b+c.证明由题意不妨设a≥b≥c>0,由不等式的单调性,知ab≥ac≥bc,≥≥.由排序不等式,知ab×+ac×+bc×≥ab×+ac×+bc×,即所证不等式++≥a+b+c成立.4.设a1,a2,…,an是12,…,n的一个排列,求证++…+≤++…+.证明设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列,且b1b2…bn-1;c1,c2,…,cn-1是a2,a3,…,an的一个排列,且c1c2…cn-1,则…且b1≥1,b2≥2,…,bn-1≥n-1,c1≤2,c2≤3,…,cn-1≤n.利用排序不等式,有++…+≥++…+≥++…+.∴原不等式成立.对应学生用书P361.有一有序数组,其顺序和为A,反序和为B,乱序和为C,则它们的大小关系为 A.A≥B≥C B.A≥C≥BC.A≤B≤CD.A≤C≤B解析由排序不等式,顺序和≥乱序和≥反序和知;A≥C≥B.答案B2.若A=x+x+…+x,B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1其中x1x2,…,xn都是正数,则A与B的大小关系为 A.ABB.ABC.A≥BD.A≤B解析依序列{xn}的各项都是正数,不妨设0<x1≤x2≤…≤xn则x2,x3,…,xn,x1为序列{xn}的一个排列.依排序原理,得x1x1+x2x2+…+xnxn≥x1x2+x2x3+…+xnx1,即x+x+…+x≥x1x2+x2x3+…+xnx
1.答案C3.锐角三角形中,设P=,Q=acosC+bcosB+ccosA,则P,Q的关系为 A.P≥Q B.P=QC.P≤QD.不能确定解析不妨设A≥B≥C,则a≥b≥c,cosA≤cosB≤cosC,则由排序不等式有Q=acosC+bcosB+ccosA≥acosB+bcosC+ccosA=R2sinAcosB+2sinBcosC+2sinCcosA=R[sinA+B+sinB+C+sinA+C]=RsinC+sinA+sinB=P=.答案C4.儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件,现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品,至少要花________钱. A.76元B.20元C.84元D.96元解析设a1=1件,a2=2件,a3=3件,b1=10元,b2=13元,b3=20元,则由排序原理反序和最小知至少要花a1b3+a2b2+a3b1=1×20+2×13+3×10=76元.答案A5.已知两组数123和456,若c1,c2,c3是456的一个排列,则1c1+2c2+3c3的最大值是________,最小值是________.解析由反序和≤乱序和≤顺序和知,顺序和最大,反序和最小,故最大值为32;最小值为
28.答案32 286.有4人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s4s3s7s,每个人接完水后就离开,则他们总的等候时间最短为________s.解析由题意知,等候的时间最短为3×4+4×3+5×2+7=
41.答案417.在Rt△ABC中,∠C为直角,A,B所对的边分别为a,b,则aA+bB与a+b的大小关系为________.解析不妨设a≥b0,则A≥B0,由排序不等式⇒2aA+bB≥aA+B+bA+B=a+b,∴aA+bB≥a+b.答案aA+bB≥a+b8.设a1,a2,a3为正数,求证a+a+aa1+a2+a3≤3a1a2a
3.证明不妨设a1≥a2≥a3>0,于是≤≤,a2a3≤a3a1≤a1a2,由排序不等式顺序和≥乱序和,得++≥·a2a3+·a3a1+·a1a2=a3+a1+a2,即3a1a2a3≥a+a+a12a3+a2+a1.9.某学校举行投篮比赛,按规则每个班级派三人参赛,第一人投m分钟,第二人投n分钟,第三人投p分钟,某班级三名运动员A,B,C每分钟能投进的次数分别为a,b,c,已知m>n>p,a>b>c,如何派三人上场能取得最佳成绩?解∵m>n>p,a>b>c,且由排序不等式知顺序和为最大值,∴最大值为ma+nb+pc,此时分数最高,∴三人上场顺序是A第一,B第二,C第三.10.设x,y,z为正数,求证x+y+z≤++.证明由于不等式关于x,y,z对称,不妨设0x≤y≤z,于是x2≤y2≤z2,≤≤,由排序原理反序和≤乱序和,得x2·+y2·+z2·≤x2·+y2·+z2·,x2·+y2·+z2·≤x2·+y2·+z2·,将上面两式相加得2x+y+z≤++,于是x+y+z≤++.。