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2019-2020年高中数学人教A版选修4-5教学案第四讲一数学归纳法 对应学生用书P39数学归纳法1数学归纳法的概念先证明当n取第一值n0例如可取n0=1时命题成立,然后假设当n=kk∈N+,k≥n0时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.这种证明方法叫做数学归纳法.2数学归纳法适用范围数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明.3数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤
①证明当n取第一个值n0如取n0=1或2等时命题正确;
②假设当n=kk∈N+,k≥n0时结论正确,证明当n=k+1时命题也正确.由此可以断定,对于任意不小于n0的正整数n,命题都正确. 对应学生用书P39利用数学归纳法证明恒等式[例1] 证明当n≥2,n∈N+时,…=.[思路点拨] 注意到这是与正整数n有关的命题,可考虑用数学归纳法证明.[证明] 1当n=2时,左边=1-=,右边==.∴当n=2时,等式成立.2假设n=kk≥2,k∈N+时等式成立,即…1-=当n=k+1时,…==·==.∴当n=k+1时,等式也成立,由12知,对任意n≥2,n∈N+等式成立.利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点一是要准确表述n=n0时命题的形式,二是要准确把握由n=k到n=k+1时,命题结构的变化特点.并且一定要记住在证明n=k+1成立时,必须使用归纳假设.1.在用数学归纳法证明,对任意的正偶数n,均有1-+-+…+-=2成立时,1第一步检验的初始值n0是什么?2第二步归纳假设n=2k时k∈N+等式成立,需证明n为何值时,方具有递推性;3若第二步归纳假设n=kk为正偶数时等式成立,需证明n为何值时,等式成立.解1n0为
2.此时左边为1-,右边为2×=.2假设n=2kk∈N+时,等式成立,就需证明n=2k+2即下一个偶数时,命题也成立.3若假设n=kk为正偶数时,等式成立,就需证明n=k+2即k的下一个正偶数时,命题也成立.2.求证1+++…+=n∈N+.证明1当n=1时,左边=1,右边==1,所以左边=右边,等式成立.2假设当n=kk≥1,k∈N+时等式成立,即1+++…+=.则当n=k+1时,1+++…++=+=+==.这就是说,当n=k+1时,等式也成立.由12可知,对任何x∈N+等式都成立.用数学归纳法证明整除问题[例2] 求证x2n-y2nn∈N+能被x+y整除.[思路点拨] 本题是与正整数有关的命题,直接分解出因式x+y有困难,故可考虑用数学归纳法证明.[证明] 1当n=1时,x2-y2=x+yx-y能被x+y整除.2假设n=kk≥1,k∈N+时,x2k-y2k能被x+y整除,那么当n=k+1时,x2k+2-y2k+2=x2·x2k-y2·y2k-x2y2k+x2y2k=x2x2k-y2k+y2kx2-y2∵x2k-y2k与x2-y2都能被x+y整除,∴x2x2k-y2k+y2kx2-y2能被x+y整除.即n=k+1时,x2k+2-y2k+2能被x+y整除.由12可知,对任意正整数n命题均成立.利用数学归纳法证明整除时,关键是整理出除数因式与商数因式积的形式.这就往往要涉及到“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧,凑出n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题得证.3.用数学归纳法证明3n+17n-1n∈N+能被9整除.证明
①当n=1时,4×7-1=27能被9整除命题成立.
②假设n=k时命题成立,即3k+1·7k-1能被9整除,当n=k+1时,[3k+3+1]·7k+1-1=[3k+1+3]·7·7k-1=7·3k+1·7k-1+21·7k=[3k+1·7k-1]+18k·7k+6·7k+21·7k=[3k+1·7k-1]+18k·7k+27·7k,由归纳假设3k+1·7k-1能被9整除,又因为18k·7k+27·7k也能被9整除,所以[3k+1+1]·7k+1-1能被9整除,即n=k+1时命题成立.则
①②可知对所有正整数n命题成立.4.用数学归纳法证明1-3+xnn∈N+能被x+2整除.证明1n=1时,1-3+x=-x+2,能被x+2整除,命题成立.2假设n=kk≥1时,1-3+xn能被x+2整除,则可设1-3+xk=x+2fxfx为k-1次多项式,当n=k+1时,1-3+xk+1=1-3+x3+xk=1-3+x[1-x+2fx]=1-3+x+x+23+xfx=-x+2+x+23+xfx=x+2[-1+3+xfx],能被x+2整除,即当n=k+1时命题成立.由12可知,对n∈N+,1-3+xn能被x+2整除.用数学归纳法证明几何问题[例3] 平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,求证这n条直线把平面分割成n2+n+2个区域.[思路点拨] 用数学归纳法进行证明,关键是考虑k条直线将平面分成的部分数与k+1条直线将平面分成的部分数之间的关系,利用该关系可以实施从假设到n=k+1时的证明.[证明] 1当n=1时,一条直线把平面分成两个区域,又×12+1+2=2,∴n=1时命题成立.2假设n=k时,命题成立,即k条满足题意的直线把平面分割成了k2+k+2个区域.那么当n=k+1时,k+1条直线中的k条直线把平面分成了k2+k+2个区域,第k+1条直线被这k条直线分成k+1段,每段把它们所在的区域分成了两块,因此增加了k+1个区域,所以k+1条直线把平面分成了k2+k+2+k+1=[k+12+k+1+2]个区域.∴n=k+1时命题也成立.由12知,对一切的n∈N+,此命题均成立.用数学归纳法证明几何问题时,一定要清楚从n=k到n=k+1时,新增加的量是多少.一般地,证明第二步时,常用的方法是加1法,即在原来k的基础上,再增加一个,当然我们也可以从k+1个中分出1个来,剩下的k个利用假设.5.求证凸n边形对角线条数fn=n∈N+,n≥3.证明1当n=3时,即f3=0时,三角形没有对角线,命题成立.2假设n=kk∈N+,k≥3时命题成立,即凸k边形对角线条数fk=.将凸k边形A1A2…Ak在其外面增加一个新顶点Ak+1,得到凸k+1边形A1A2…AkAk+1,Ak+1依次与A2,A3,…,Ak-1相连得到对角线k-2条,原凸k边形的边A1Ak变成了凸k+1边形的一条对角线,则凸k+1边形的对角线条数为fk+k-2+1=+k-1===fk+1,即当n=k+1时,结论正确.根据12可知,命题对任何n∈N+,n≥3都成立.6.求证平面内有nn≥2条直线,其中任意两条直线不平行,任意三条直线不过同一点,求证它们彼此互相分割成n2条线段或射线.证明1当n=2时,两条直线不平行,彼此互相分割成4条射线,命题成立.2假设当n=k时,命题成立,即k条满足条件的直线彼此互相分割成k2条线段或射线.那么n=k+1时,取出其中一条直线为l,其余k条直线彼此互相分割成k2条线段或射线直线l把这k条直线又一分为二,多出k条线段或射线;l又被这k条直线分成k+1部分,所以这k+1条直线彼此互相分割成k2+k+k+1=k+12条线段或射线,即n=k+1时,命题成立.由12知,命题成立. 对应学生用书P411.数学归纳法证明中,在验证了n=1时命题正确,假定n=k时命题正确,此时k的取值范围是 A.k∈N B.k1,k∈N+C.k≥1,k∈N+D.k2,k∈N+解析数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法,所以k是正整数,又第一步是递推的基础,所以k大于等于
1.答案C2.某个命题1当n=1时,命题成立,2假设n=kk≥1,k∈N+时成立,可以推出n=k+2时也成立,则命题对________成立 A.正整数B.正奇数C.正偶数D.都不是解析由题意知,k=1时,k+2=3;k=3时,k+2=5,依此类推知,命题对所有正奇数成立.答案B3.设fn=+++…+n∈N+,那么fn+1-fn等于 A. B.C.+D.-解析因为fn=++…+,所以fn+1=++…+++,所以fn+1-fn=+-=-.答案D4.如果1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+nn+1n+2=nn+1n+an+b对一切正整数n都成立,a,b的值可以等于 A.a=1,b=3B.a=-1,b=1C.a=1,b=2D.a=2,b=3解析令n=12得到关于a,b的方程组,解得即可.答案D5.观察式子1=11-4=-1+2,1-4+9=1+2+3,…猜想第n个式子应为________.答案1-4+9-16+…+-1n-1n2=-1n+1·6.用数学归纳法证明“1×4+2×7+3×10+…+n3n+1=nn+
12.n∈N+”时,若n=1,则左端应为________.解析n=1时,左端应为1×4=
4.答案47.记凸k边形的内角和为fk,则凸k+1边形的内角和fk+1=fk+________.解析由凸k边形变为凸k+1边形时,增加了一个三角形图形.故fk+1=fk+π.答案π8.设a∈N+,n∈N+,求证an+2+a+12n+1能被a2+a+1整除.证明1当n=1时,a3+a+13=[a+a+1][a2-aa+1+a+12]=2a+1a2+a+1.结论成立.2假设当n=k时,结论成立,即ak+2+a+12k+1能被a2+a+1整除,那么n=k+1时,有ak+1+2+a+12k+1+1=a·ak+2+a+12a+12k+1=a[ak+2+a+12k+1]+a+12a+12k+1-aa+12k+1=a[ak+2+a+12k+1]+a2+a+1a+12k+
1.因为ak+2+a+12k+1,a2+a+1均能被a2+a+1整除,又a∈N+,故ak+1+2+a+12k+1+1能被a2+a+1整除,即当n=k+1时,结论也成立.由12可知,原结论成立.9.有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求证这n个圆将平面分成fn=n2-n+2个部分.n∈N+证明1当n=1时,一个圆将平面分成两个部分,且f1=1-1+2=2,所以n=1时命题成立.2假设n=kk≥1时命题成立.即k个圆把平面分成fk=k2-k+2个部分.则n=k+1时,在k+1个圆中任取一个圆O,剩下的k个圆将平面分成fk个部分,而圆O与k个圆有2k个交点,这2k个点将圆O分成2k段弧,每段弧将原平面一分为二,故得fk+1=fk+2k=k2-k+2+2k=k+12-k+1+
2.∴当n=k+1时,命题成立.综合12可知,对一切n∈N+,命题成立.10.用数学归纳法证明n∈N+时,2cosx-12cos2x-1…2cos2n-1x-1=.证明1当n=1时,左边=2cosx-1,右边===2cosx-1,即左边=右边,∴命题成立.2假设当n=k时,命题成立,即2cosx-12cos2x-1…2cos2k-1x-1=.则当n=k+1时,左边=2cosx-12cos2x-1…2cos2k-1x-1·2cos2kx-1=·2cos2kx-1===.∴n=k+1时命题成立.由12可知,对n∈N+时命题成立.。