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2019-2020年高中数学人教B版选修4-1教学案第一章1-11-1-4 锐角三角函数与射影定理[对应学生用书P12] [读教材·填要点]1.锐角三角函数的定义含有相等锐角α的所有直角三角形都相似,锐角三角函数或三角比为sinα=,cosα=,tanα=.2.射影定理1定理的内容直角三角形中,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项;斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项.2符号语言表示如图若CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,则
①AC2=AD·AB
②BC2=BD·AB
③CD2=AD·BD[小问题·大思维]1.线段的正射影还是线段吗?提示不一定.当该线段所在的直线与已知直线垂直时,线段的正射影为一个点.2.如何用勾股定理证明射影定理?提示如图,在Rt△ABC中,∵AB2=AC2+BC2,∴AD+DB2=AC2+BC2,∴AD2+2·AD·DB+DB2=AC2+BC2,即2AD·DB=AC2-AD2+BC2-DB
2.∵AC2-AD2=CD2,BC2-DB2=CD2,∴2AD·DB=2CD2,即CD2=AD·DB.在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2=AD2+AD·DB=ADAD+DB=AD·AB,即AC2=AD·AB.在Rt△BCD中,BC2=CD2+BD2=AD·DB+BD2=BDAD+DB=BD·AB,即BC2=BD·AB.[对应学生用书P13] 利用射影定理解决求值问题[例1] 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,已知BD=4,AB=29,试求BC,AC和CD的长度.[思路点拨] 本题考查射影定理与勾股定理的应用.解答本题可由已知条件先求出AD,然后利用射影定理求BC,AC和CD的长度.[精解详析] ∵BD=4,AB=29,∴AD=
25.由射影定理得CD2=AD·BD=25×4=100,∴CD=
10.BC2=BD·BA=4×
29.∴BC=
2.AC2=AD·AB=25×29,∴AC=
5.运用射影定理时,要注意其成立的条件,要结合图形去记忆定理,当所给条件中具备定理的条件时,可直接运用定理,不具备时可通过作垂线使之满足定理的条件,再运用定理.1.在Rt△ACB中,∠C=90°,CD⊥AB于D,若BD∶AD=1∶9,则tan∠BCD=________.解析由射影定理得CD2=AD·BD,又BD∶AD=1∶9,令BD=x,则AD=9xx0.∴CD2=9x2,CD=3x.Rt△CDB中,tan∠BCD===.答案利用射影定理解决证明问题[例2] 如图所示,在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于D,BE是∠ABC的平分线,交AD于F.求证=.[思路点拨] 本题考查射影定理的应用,利用三角形的内角平分线定理及射影定理可证得.[精解详析] 由三角形的内角平分线定理得,在△ABD中,=,
①在△ABC中,=,
②在Rt△ABC中,由射影定理知,AB2=BD·BC,即=.
③由
①③得=,
④由
②④得=.将原图分成两部分来看,分别在两个三角形中运用射影定理,实现了沟通两个比例式的目的,在求解此类问题时,一定要注意对图形进行剖析.2.如图,AD、BE是△ABC的高,DF⊥AB于F,交BE于G,FD的延长线交AC的延长线于H,求证DF2=FG·FH.证明∵BE⊥AC,∴∠ABE+∠BAE=90°.同理,∠H+∠HAF=90°∴∠ABE=∠H.又∠BFG=∠HFA,∴△BFG∽△HFA.∴BF∶HF=FG∶AF.∴BF·AF=FG·FH.Rt△ADB中,DF2=BF·AF,∴DF2=FG·FH.[对应学生用书P14]
一、选择题1.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,CD=2,BD=3,则AC等于 A. B.C.D.解析由射影定理知,CD2=BD·AD,∴AD=.∴AB=AD+BD=.∴AC2=AD·AB=×=.∴AC=.答案C2.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D为垂足,若CD=6cm,AD∶DB=1∶2,则AD的值是 A.6cmB.3cmC.18cmD.3cm解析∵AD∶DB=1∶2,∴可设AD=t,DB=2t.又∵CD2=AD·DB,∴36=t·2t,∴2t2=36,∴t=3cm,即AD=3cm.答案B3.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若=,则= A.B.C.D.解析如图,由射影定理,得AC2=CD·BC,AB2=BD·BC.∴==
2.即=.∴=.答案C4.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AD∶BD=2∶3,则△ACD与△CBD周长的相似比为 A.2∶3B.4∶9C.∶3D.不确定解析如图,在Rt△ACB中,CD⊥AB,由射影定理得,CD2=AD·BD,即=.又∵∠ADC=∠BDC=90°,∴△ACD∽△CBD.又∵AD∶BD=2∶3,令AD=2x,BD=3xx0,∴CD2=6x
2.∴CD=x.∴△ACD与△CBD周长的相似比为==,即相似比为∶
3.答案C
二、填空题5.如果两条直角边在斜边上的射影分别是4和16,则此直角三角形的面积是________.解析由题意知,直角三角形斜边长为20,根据射影定理知,斜边上的高为=8,所以直角三角形的面积为×20×8=
80.答案806.已知在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,BC=cm,BD=3cm,则AD的长是________.解析∵BC2=BD·AB,∴15=3AB,∴AB=5cm.∴AD=AB-BD=5-3=2cm.答案2cm7.如图,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD=,点E,F分别为线段AB,AD的中点,则EF=________.解析连接DE,可知△AED为直角三角形,则EF是Rt△DEA斜边上的中线,其长等于斜边长的一半,为.答案8.已知在梯形ABCD中,DC∥AB,∠D=90°,AC⊥BC,AB=10cm,AC=6cm,则此梯形的面积为________.解析如图,过C作CE⊥AB于E.在Rt△ACB中,∵AB=10cm,AC=6cm,AC2=AE·AB,∴AE=
3.6cm,BE=AB-AE=
6.4cm.又∵CE2=AE·BE,∴CE==
4.8cm.又∵在梯形ABCD中,CE⊥AB,∴DC=AE=
3.6cm.∴S梯形ABCD==
32.64cm2.答案
32.64cm2
三、解答题9.已知∠CAB=90°,AD⊥CB,△ACE,△ABF是正三角形,求证DE⊥DF.证明如图,在Rt△BAC中,AC2=CD·CB,AB2=BD·BC,∴=====.∵AC=AE,AB=BF,∴=,即=.又∠FBD=∠60°+∠ABD,∠EAD=60°+∠CAD,∠ABD=∠CAD,∴∠FBD=∠EAD.∴△EAD∽△FBD.∴∠BDF=∠ADE.∴∠FDE=∠FDA+∠ADE=∠FDA+∠BDF=90°.∴DE⊥DF.10.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,DF⊥AC于F,DE⊥AB于E,试证明1AB·AC=BC·AD;2AD3=BC·CF·BE.证明1Rt△ABC中,AD⊥BC,∴S△ABC=AB·AC=BC·AD.∴AB·AC=BC·AD.2Rt△ADB中,DE⊥AB,由射影定理可得BD2=BE·AB,同理CD2=CF·AC,∴BD2·CD2=BE·AB·CF·AC.又Rt△BAC中,AD⊥BC,∴AD2=BD·DC,∴AD4=BE·AB·CF·AC.又AB·AC=BC·AD,即AD3=BC·CF·BE.11.如图所示,CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线,CE⊥CD,CE=,连接DE交BC于点F,AC=4,BC=
3.求证1△ABC∽△EDC;2DF=EF.证明1在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,则AB=
5.∵D为斜边AB的中点,∴AD=BD=CD=AB=
2.
5.∴===.∴△ABC∽△EDC.2由1知,∠B=∠CDF,∵BD=CD,∴∠B=∠DCF,∴∠CDF=∠DCF.∴DF=CF.
①由1知,∠A=∠CEF,∠ACD+∠DCF=90°,∠ECF+∠DCF=90°,∴∠ACD=∠ECF.由AD=CD,得∠A=∠ACD.∴∠ECF=∠CEF,∴CF=EF.
②由
①②,知DF=EF.。