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2019-2020年高中数学人教B版选修4-1教学案第一章1-21-2-2 圆周角定理[对应学生用书P19] [读教材·填要点]1.圆周角的定义从⊙O上任一点P引两条分别与该圆相交于A和B的射线PA,PB,叫做∠APB所对的弧,∠APB叫做所对的圆周角.2.圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.3.圆周角定理的推论1推论1直径或半圆所对的圆周角都是直角.2推论2同弧或等弧所对的圆周角相等.3推论3等于直角的圆周角的所对弦是圆的直径.[小问题·大思维]1.圆心角的大小与圆的半径有关系吗?提示圆心角的度数等于它所对弧的度数,与圆的半径没有关系.2.相等的圆周角所对的弧也相等吗?提示不一定.只有在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧才相等.[对应学生用书P19] 圆周角与圆心角问题[例1] 锐角三角形ABC内接于⊙O,∠ABC=60°,∠BAC=40°,作OE⊥AB交劣弧于点E,连接EC,求∠OEC.[思路点拨] 本题考查圆周角定理与圆心角定理的应用.解决本题需要先求∠OEC所对的弧的度数,然后根据圆心角定理得∠OEC的度数.[精解详析] 连接OC.∵∠ABC=60°,∠BAC=40°,∴∠ACB=80°.∵OE⊥AB,∴E为的中点.∴和的度数均为80°.∴∠EOC=80°+80°=160°.∴∠OEC=10°.圆周角定理可以理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍;圆周角的度数等于它所对圆心角的一半.1.在半径为5cm的圆内有长为5cm的弦,求此弦所对的圆周角.解如图所示,AB=5cm,过点O作OD⊥AB于点D.∵OD⊥AB,OD经过圆心O,∴AD=BD=cm.在Rt△AOD中,OD==cm,∴∠OAD=30°,∴∠AOD=60°.∴∠AOB=2∠AOD=120°.∴∠ACB=∠AOB=60°.∵∠AOB=120°,∴劣弧的度数为120°,优弧的度数为240°.∴∠AEB=×240°=120°,∴此弦所对的圆周角为60°或120°.利用圆周角定理证明线段相等[例2] 如图所示,已知⊙O中,的中点分别是E,F,直线EF交AC于P,交AB于Q.求证△APQ是等腰三角形.[思路点拨] 要证等腰三角形,可分别用弧的度数表示∠APQ与∠AQP,然后根据等腰三角形的定义作出判断.[精解详析] 连接CE,BF,∵E,F分别是⊙O中与的中点,∴=,=.又∵∠FPC=∠ACE+∠PEC=+的度数,∠FPC=∠APQ,∴∠APQ的度数=+的度数,同理∠AQP的度数=+的度数,∴∠APQ=∠AQP.∴△APQ是等腰三角形.1在圆中,只要有弧,就存在着所对的圆周角.同弧所对的圆周角相等,而相等的角为几何命题的推理提供了条件,要注意此种意识的应用.2证明一条线段等于两条线段之和,可将其分为两段,其中一段等于已知线段,再去证明另一段也等于已知线段.
2.如图,AB是⊙O的一条弦,∠ACB的平分线交AB于点E,交⊙O于点D.求证AC·CB=DC·CE.证明连接BD.在△ACE与△DCB中,∵∠EAC与∠BDC是同弧所对的圆周角,∴∠EAC=∠BDC.又∵CE为∠ACB的平分线,∴∠ACE=∠DCB,∴△ACE∽△DCB.∴=.∴AC·CB=DC·CE.利用圆周心角定理及其推论求线段长[例3] 如图,AB是⊙O的直径,AB=2cm,点C在圆周上,且∠BAC=30°,∠ABD=120°,CD⊥BD于D.求BD的长.[思路点拨] 本题考查“直径所对的圆周角为直角”的应用.解答本题可连接BC,然后利用直角三角形的有关知识解决.[精解详析] 连接BC,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠BAC=30°,AB=2cm,∴BC==1cm.∵∠ABD=120°,∴∠DBC=120°-60°=60°.∵CD⊥BD,∴∠BCD=90°-60°=30°.∴BD==
0.5cm.在圆中,直径是一条特殊的弦,其所对的圆周角是直角,所对的弧是半圆,利用此性质既可以计算角、线段又可以证明线线垂直、平行等位置关系,还可以证明比例式相等.3.如图,△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以AC为直径的圆与斜边交于点P,求BP长.解连接CP,∵AC为圆的直径,∴∠CPA=90°,即CP⊥AB.又∵∠ACB=90°,∴由射影定理可知AC2=AP·AB.∴AP===
3.
6.∴BP=AB-AP=10-
3.6=
6.
4.[对应学生用书P21]
一、选择题1.在⊙O中,∠AOB=84°,则弦AB所对的圆周角是 A.42° B.138°C.84°D.42°或138°解析借助圆形和圆周角定理可知,弦AB所对的圆周角有两种情况,即为42°或138°.答案D2.如图,AC是⊙O的直径,AB、CD是⊙O的两条弦,且AB∥CD,如果∠BAC=32°,那么∠AOD= A.16°B.32°C.48°D.64°解析∵AB∥CD,∴=.又∵∠BAC=32°,∴的度数为64°.∴∠AOD=64°.答案D
3.如图,△ABC内接于⊙O,∠C=30°,AB=2,则⊙O的半径为 A.B.2C.2D.4解析连接AO并延长交⊙O于D,连接BD.∠D=∠C=30°,在Rt△ABD中,AD=2AB=4,∴半径为
2.答案B4.如图,已知AB是半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,那么等 A.sin∠BPDB.cos∠BPDC.tan∠BPDD.以上答案都不对解析连接BD,由BA是直径,知△ADB是直角三角形.由∠DCB=∠DAB,∠CDA=∠CBA,∠CPD=∠BPA,得△CPD∽△APB.==cos∠BPD.答案B
二、填空题5.如图,A,E是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交于点F,则AF的长为______.解析如图,连接AB,AC,CE,由A,E为半圆周上的三等分点,得∠FBD=30°,∠ABD=60°,∠ACB=30°.又∵BC=4,∴AB=2,AD=,BD=
1.则DF=,故AF=.答案6.如图所示,已知AB是⊙O的直径,CD与AB相交于E,∠ACD=60°,∠ADC=45°,则∠AEC=________.解析如图,连接BC.根据圆周角定理的推论1,可知∠ACB=90°.∵∠ACD=60°,∴∠DCB=30°,的度数=60°.∵∠ADC=45°,∴的度数=90°.∴∠AEC=∠DCB+∠CBE=+的度数=75°.答案75°
7.如图,在⊙O中,已知∠ACB=∠CDB=60°,AC=3,则△ABC的周长是________.解析由圆周角定理,得∠A=∠D=∠ACB=60°.∴AB=BC.∴△ABC为等边三角形.∴周长等于
9.答案98.如图,在圆的内接四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ABD=30°,∠BDC=45°,AD=1,则BC=________.解析连接AC.因为∠ABC=90°,所以AC为圆的直径.又∠ACD=∠ABD=30°,所以AC=2AD=
2.又∠BAC=∠BDC=45°,故BC=.答案
三、解答题
9.如图,已知在⊙O中,直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD和BD的长.解因为AB为直径.所以∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ABC中,BC===8cm.因为CD平分∠ACB,所以=,所以△ADB为等腰直角三角形.所以AD=BD=AB=×10=5cm.10.江苏高考如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AB异侧的两点.证明∠OCB=∠D.证明因为B,C是圆O上的两点,所以OB=OC.故∠OCB=∠B.又因为C,D是圆O上位于AB异侧的两点,故∠B,∠D为同弧所对的两个圆周角,所以∠B=∠D.因此∠OCB=∠D.11.如图
①所示,在圆内接△ABC中,AB=AC,D是BC边上的一点,E是直线AD和△ABC外接圆的交点.1求证AB2=AD·AE;2如图
②所示,当D为BC延长线上的一点时,第1题的结论成立吗?若成立请证明;若不成立,请说明理由.证明1如图
①,连接BE.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ACB=∠AEB,∴∠ABC=∠AEB.∵∠BAE=∠DAB,∴△ABD∽△AEB.∴=,即AB2=AD·AE.2如图
②,连接BE,结论仍然成立,证法同1.。