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2019-2020年高中数学人教B版选修4-4教学案第一章1-1直角坐标系平面上的伸缩变换[对应学生用书P1][读教材·填要点]1.直角坐标系1直线上点的坐标在直线上取定一点O,取定一个方向,再取一个长度单位,就构成了直线上的坐标系,简称数轴.建立数轴后直线上的点与全体实数之间就建立了一一对应关系.2平面直角坐标系在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线,一条称为x轴,一条称为y轴,交点O称为原点.取定长度单位,则构成了平面上的一个直角坐标系.在平面上建立了直角坐标系后,平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系.3空间直角坐标系过空间中一个定点O,作三边互相垂直且有相同长度单位的数轴,就构成了空间直角坐标系.建立空间直角坐标系后,在空间中的点和有序数组x,y,z之间就建立了一一对应关系.2.平面上的伸缩变换设点Px,y是平面上的任意一点,在变换a0,b0的作用下,变为平面上的新点QX,Y,这种变换就是平面上的伸缩变换.[小问题·大思维]1.用坐标法解决几何问题时,坐标系的建立是否是唯一的?提示对于同一个问题,可建立不同的坐标系解决,但应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴,以便使计算更简单、方便.2.伸缩变换中的系数a,b有什么特点?在伸缩变换下,平面直角坐标系是否发生变化?提示伸缩变换中的系数a0,b
0.在伸缩变换下,平面直角坐标系保持不变,只是对点的坐标进行伸缩变换.[对应学生用书P1]用坐标法求轨迹方程[例1] 已知点H-30,点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足·=0,=-.当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C.[思路点拨] 设出动点Mx,y,将·=0,=-,坐标化后建立x,y的关系式可求得.[精解详析] 设Mx,y,P0,y′,Qx′,0x′0,∵=-,·=0,∴x,y-y′=-x′-x,-y,且3,y′·x,y-y′=0,∴
①3x+yy′-y′2=
0.
②将
①代入
②式得y2=4xx0.即动点M的轨迹C是以O00为顶点,以10为焦点的抛物线除去原点.求轨迹方程,其实质就是根据题设条件,把几何关系通过“坐标”转化成代数关系,得到对应的方程.1求轨迹方程的一般步骤是建系→设点→列式→化简→检验.2求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小,也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性.3由于观察的角度不同,探求关系的方法也不同,解题时要善于从多角度思考问题.
1.在平面直角坐标系xOy中,已知点A-11,P是动点,且三角形POA的三边所在直线的斜率满足kOP+kOA=kPA.求点P的轨迹C的方程.解设点Px,y为所求轨迹上的任意一点,则由kOP+kOA=kPA得,+=,整理得轨迹C的方程为y=x2x≠0且x≠-
1.用坐标法解决几何问题[例2] 已知△ABC中,AB=AC,BD,CE分别为两腰上的高.求证BD=CE.[思路点拨] 本题考查坐标法在几何中的应用.解答本题可通过建立平面直角坐标系,将几何证明问题转化为代数运算问题.[精解详析] 如图,以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.设B-a0,Ca0,A0,h,则直线AC的方程为y=-x+h,即hx+ay-ah=
0.直线AB的方程为y=x+h,即hx-ay+ah=
0.由点到直线的距离公式得|BD|=,|CE|=,∴|BD|=|CE|,即BD=CE.1建立适当的直角坐标系,将平面立体几何问题转化为解析几何问题,即“形”转化为“数”,再回到“形”中,此为坐标法的基本思想.2建立坐标系时,要充分利用图形的几何特征.例如,中心对称图形,可利用它的对称中心为坐标原点;轴对称图形,可利用它的对称轴为坐标轴;题设中有三条两两垂直的直线,可考虑以三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系等.2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,BD的中点.求E,F两点间的距离.解如图,以D为空间坐标原点,建立空间直角坐标系,则A1101,B1111,B110,∴E1,,1,F,,0.∴|EF|==,即E,F两点间的距离为.平面上的伸缩变换[例3] 在同一坐标系下经过伸缩变换后,圆x2+y2=1变成了什么曲线?[思路点拨] 将伸缩变换中的x,y分别用X,Y表示,代入已知的曲线方程,即可得到所求曲线的方程,再由方程判断曲线的类型.[精解详析] ∵∴代入圆的方程x2+y2=1,有2+2=1,∴+=
1.∴经过伸缩变换后,圆x2+y2=1变成了椭圆+=
1.利用坐标伸缩变换求变换后的曲线方程,其实质是从中求出然后将其代入已知的曲线方程求得关于X,Y的曲线方程.3.在同一直角坐标系中,将直线2x-y=3变成直线2X-6Y=9,求满足图形变换的伸缩变换.解设伸缩变换为将其代入2X-6Y=9,得2λx-6μy=9,与2x-y=3进行比较,得故伸缩变换为[对应学生用书P3]
一、选择题1.在同一坐标系中,将曲线y=3sin2x变为曲线Y=sinX的伸缩变换是 A. B.C.D.解析选B 设将其代入Y=sinX,得μy=sinλx,即y=sinλx.比较y=3sin2x与y=sinλx,可得=3,λ=2,∴μ=,λ=
2.∴2.已知平面上两定点A,B,且A-10,B10,动点P与两定点连线的斜率之积为-1,则动点P的轨迹是 A.直线B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分解析选B 设点P的坐标为x,y,因为kPA·kPB=-1,所以·=-1,整理得x2+y2=1x≠±1.故动点P的轨迹是圆除去点10,-10的部分.3.将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是 A.椭圆B.比原来大的圆C.比原来小的圆D.双曲线解析选D 由伸缩变换的意义可得.4.已知两定点A-20,B10.如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围成的图形的面积等于 A.πB.4πC.8πD.9π解析选B 设P点的坐标为x,y,∵|PA|=2|PB|,∴x+22+y2=4[x-12+y2].即x-22+y2=
4.故P点的轨迹是以20为圆心,以2为半径的圆,它的面积为4π.
二、填空题5.△ABC中,B-20,C20,△ABC的周长为10,则点A的轨迹方程为__________________.解析∵△ABC的周长为10,∴|AB|+|AC|+|BC|=10,其中|BC|=4,则有|AB|+|AC|=64,∴点A的轨迹为椭圆除去与B,C共线的两点,且2a=62c=4,∴a=3,c=2,b2=5,∴点A的轨迹方程为+=1y≠0.答案+=1y≠06.将对数曲线y=log3x的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为________.解析设Px,y为对数曲线y=log3x上任意一点,变换后的对应点为P′X,Y.由题意知伸缩变换为∴代入y=log3x得Y=log3X,即y=log
3.答案y=log37.把圆x2+y2=16沿x轴方向均匀压缩为椭圆X2+=1,则坐标变换公式是________.解析设φ则代入x2+y2=16得+=
1.∴16a2=116b2=
16.∴故答案8.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下余弦曲线y=cosx的方程变为________.解析∵∴代入y=cosx得Y=3cos2X.答案Y=3cos2X
三、解答题9.在同一平面直角坐标系中,将曲线x2-36y2-8x+12=0变成曲线X2-Y2-4X+3=0,求满足条件的伸缩变换.解x2-36y2-8x+12=0可化为2-9y2=
1.
①X2-Y2-4X+3=0可化为X-22-Y2=
1.
②比较
①②,可得即所以将曲线x2-36y2-8x+12=0上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的3倍,就可得到曲线X2-Y2-4X+3=0的图象.10.如图,动点M与两定点A-1,0,B10构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为
4.设动点M的轨迹为C.求轨迹C的方程.解设M的坐标为x,y,当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1且x≠-
1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为.由题意,有·=4,化简可得,4x2-y2-4=
0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0x≠1且x≠-1.11.已知动点Px,y与两定点M-10,N10连线的斜率之积等于常数λλ≠0.1求动点P的轨迹C的方程;2试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状.解1由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零,所以kPM·kPN=·=λλ≠0,x≠±1,整理得x2-=1λ≠0,x≠±1.即动点P的轨迹C的方程为x2-=1λ≠0,x≠±1.2
①当λ0时,轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的双曲线除去顶点;
②当-1λ0时,轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的椭圆除去长轴的两个端点;
③当λ=-1时,轨迹C为以原点为圆心、1为半径的圆除去点-10,10;
④当λ-1时,轨迹C为中心在原点、焦点在y轴上的椭圆除去短轴的两个端点.。