2019-2020年高中数学人教B版选修4-4教学案：第一章1-1直角坐标系平面上的伸缩变换

2019-2020年高中数学人教B版选修4-4教学案第一章1-1直角坐标系平面上的伸缩变换[对应学生用书P1][读教材·填要点]1．直角坐标系1直线上点的坐标在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位，就构成了直线上的坐标系，简称数轴．建立数轴后直线上的点与全体实数之间就建立了一一对应关系．2平面直角坐标系在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O称为原点．取定长度单位，则构成了平面上的一个直角坐标系．在平面上建立了直角坐标系后，平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系．3空间直角坐标系过空间中一个定点O，作三边互相垂直且有相同长度单位的数轴，就构成了空间直角坐标系．建立空间直角坐标系后，在空间中的点和有序数组x，y，z之间就建立了一一对应关系．2．平面上的伸缩变换设点Px，y是平面上的任意一点，在变换a0，b0的作用下，变为平面上的新点QX，Y，这种变换就是平面上的伸缩变换．[小问题·大思维]1．用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？提示对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴，以便使计算更简单、方便．2．伸缩变换中的系数a，b有什么特点？在伸缩变换下，平面直角坐标系是否发生变化？提示伸缩变换中的系数a0，b

0.在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，只是对点的坐标进行伸缩变换．[对应学生用书P1]用坐标法求轨迹方程[例1]　已知点H－30，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足·＝0，＝－.当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C.[思路点拨]　设出动点Mx，y，将·＝0，＝－，坐标化后建立x，y的关系式可求得．[精解详析]　设Mx，y，P0，y′，Qx′，0x′0，∵＝－，·＝0，∴x，y－y′＝－x′－x，－y，且3，y′·x，y－y′＝0，∴

①3x＋yy′－y′2＝

0.

②将

①代入

②式得y2＝4xx0．即动点M的轨迹C是以O00为顶点，以10为焦点的抛物线除去原点．求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．1求轨迹方程的一般步骤是建系→设点→列式→化简→检验．2求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．3由于观察的角度不同，探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题．

1.在平面直角坐标系xOy中，已知点A－11，P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足kOP＋kOA＝kPA.求点P的轨迹C的方程．解设点Px，y为所求轨迹上的任意一点，则由kOP＋kOA＝kPA得，＋＝，整理得轨迹C的方程为y＝x2x≠0且x≠－

1.用坐标法解决几何问题[例2]　已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为两腰上的高．求证BD＝CE.[思路点拨]　本题考查坐标法在几何中的应用．解答本题可通过建立平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算问题．[精解详析]　如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．设B－a0，Ca0，A0，h，则直线AC的方程为y＝－x＋h，即hx＋ay－ah＝

0.直线AB的方程为y＝x＋h，即hx－ay＋ah＝

0.由点到直线的距离公式得|BD|＝，|CE|＝，∴|BD|＝|CE|，即BD＝CE.1建立适当的直角坐标系，将平面立体几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想．2建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有三条两两垂直的直线，可考虑以三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系等．2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，BD的中点．求E，F两点间的距离．解如图，以D为空间坐标原点，建立空间直角坐标系，则A1101，B1111，B110，∴E1，，1，F，，0．∴|EF|＝＝，即E，F两点间的距离为.平面上的伸缩变换[例3]　在同一坐标系下经过伸缩变换后，圆x2＋y2＝1变成了什么曲线？[思路点拨]　将伸缩变换中的x，y分别用X，Y表示，代入已知的曲线方程，即可得到所求曲线的方程，再由方程判断曲线的类型．[精解详析]　∵∴代入圆的方程x2＋y2＝1，有2＋2＝1，∴＋＝

1.∴经过伸缩变换后，圆x2＋y2＝1变成了椭圆＋＝

1.利用坐标伸缩变换求变换后的曲线方程，其实质是从中求出然后将其代入已知的曲线方程求得关于X，Y的曲线方程．3．在同一直角坐标系中，将直线2x－y＝3变成直线2X－6Y＝9，求满足图形变换的伸缩变换．解设伸缩变换为将其代入2X－6Y＝9，得2λx－6μy＝9，与2x－y＝3进行比较，得故伸缩变换为[对应学生用书P3]

一、选择题1．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin2x变为曲线Y＝sinX的伸缩变换是　　A.　　　　　　B.C.D.解析选B　设将其代入Y＝sinX，得μy＝sinλx，即y＝sinλx.比较y＝3sin2x与y＝sinλx，可得＝3，λ＝2，∴μ＝，λ＝

2.∴2．已知平面上两定点A，B，且A－10，B10，动点P与两定点连线的斜率之积为－1，则动点P的轨迹是　　A．直线B．圆的一部分C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分解析选B　设点P的坐标为x，y，因为kPA·kPB＝－1，所以·＝－1，整理得x2＋y2＝1x≠±1．故动点P的轨迹是圆除去点10，－10的部分．3．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是　　A．椭圆B．比原来大的圆C．比原来小的圆D．双曲线解析选D　由伸缩变换的意义可得．4．已知两定点A－20，B10．如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于　　A．πB．4πC．8πD．9π解析选B　设P点的坐标为x，y，∵|PA|＝2|PB|，∴x＋22＋y2＝4[x－12＋y2]．即x－22＋y2＝

4.故P点的轨迹是以20为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π.

二、填空题5．△ABC中，B－20，C20，△ABC的周长为10，则点A的轨迹方程为__________________．解析∵△ABC的周长为10，∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，其中|BC|＝4，则有|AB|＋|AC|＝64，∴点A的轨迹为椭圆除去与B，C共线的两点，且2a＝62c＝4，∴a＝3，c＝2，b2＝5，∴点A的轨迹方程为＋＝1y≠0．答案＋＝1y≠06．将对数曲线y＝log3x的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为________．解析设Px，y为对数曲线y＝log3x上任意一点，变换后的对应点为P′X，Y．由题意知伸缩变换为∴代入y＝log3x得Y＝log3X，即y＝log

3.答案y＝log37．把圆x2＋y2＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆X2＋＝1，则坐标变换公式是________．解析设φ则代入x2＋y2＝16得＋＝

1.∴16a2＝116b2＝

16.∴故答案8．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下余弦曲线y＝cosx的方程变为________．解析∵∴代入y＝cosx得Y＝3cos2X.答案Y＝3cos2X

三、解答题9．在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线X2－Y2－4X＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．解x2－36y2－8x＋12＝0可化为2－9y2＝

1.

①X2－Y2－4X＋3＝0可化为X－22－Y2＝

1.

②比较

①②，可得即所以将曲线x2－36y2－8x＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线X2－Y2－4X＋3＝0的图象．10．如图，动点M与两定点A－1，0，B10构成△MAB，且直线MA，MB的斜率之积为

4.设动点M的轨迹为C.求轨迹C的方程．解设M的坐标为x，y，当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；当x＝1时，直线MB的斜率不存在．于是x≠1且x≠－

1.此时，MA的斜率为，MB的斜率为.由题意，有·＝4，化简可得，4x2－y2－4＝

0.故动点M的轨迹C的方程为4x2－y2－4＝0x≠1且x≠－1．11．已知动点Px，y与两定点M－10，N10连线的斜率之积等于常数λλ≠0．1求动点P的轨迹C的方程；2试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．解1由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝·＝λλ≠0，x≠±1，整理得x2－＝1λ≠0，x≠±1．即动点P的轨迹C的方程为x2－＝1λ≠0，x≠±1．2

①当λ0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的双曲线除去顶点；

②当－1λ0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的椭圆除去长轴的两个端点；

③当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心、1为半径的圆除去点－10，10；

④当λ－1时，轨迹C为中心在原点、焦点在y轴上的椭圆除去短轴的两个端点．。