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2019-2020年高中数学人教B版选修4-4教学案第一章1-3曲线的极坐标方程[对应学生用书P8][读教材·填要点]1.曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下,有一个二元方程Fρ,θ=
0.如果曲线C是由极坐标ρ,θ满足方程的所有的点组成的,则称此二元方程Fρ,θ=0为曲线C的极坐标方程.2.直线的极坐标方程1当直线l过极点,从极轴到l的角是θ0,则l的方程为θ=θ
0.2当直线l过点Md0且垂直于极轴时,l的方程为ρcosθ=d.3当直线l过点Md,,且平行于极轴时,l的方程为ρsin_θ=d.4极点到直线l的距离为d,极轴到过极点的直线l的垂线的角度为α,此时直线l的方程为ρcos_α-θ=d.[小问题·大思维]1.在直角坐标系中,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程.那么,在极坐标系中,曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程?提示在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,可是在极坐标系内,曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程.例如,给定曲线ρ=θ,设点P的一极坐标为,那么点P适合方程ρ=θ,从而是曲线上的一个点,但点P的另一个极坐标就不适合方程ρ=θ了.所以在极坐标系内,确定某一个点P是否在某一曲线C上,只需判断点P的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可.2.在直线的极坐标方程中,ρ的取值范围是什么?提示ρ的取值范围是全体实数.[对应学生用书P8]极坐标方程与直角坐标方程的互化[例1] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化1y2=4x;2y2+x2-2x-1=0;3ρcos2=1;4ρ2cos2θ=4;5ρ=.[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标的互化公式.[精解详析] 1将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y2=4x,得ρsinθ2=4ρcosθ.化简,得ρsin2θ=4cosθ.2将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y2+x2-2x-1=0,得ρsinθ2+ρcosθ2-2ρcosθ-1=
0.化简,得ρ2-2ρcosθ-1=
0.3∵ρcos2=1,∴ρ·=1,即ρ+ρcosθ=2∴+x=
2.化简,得y2=-4x-1.4∵ρ2cos2θ=4,∴ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=4,即x2-y2=
4.5∵ρ=,∴2ρ-ρcosθ=
1.∴2-x=
1.化简,得3x2+4y2-2x-1=
0.直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以或同除以ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.1.求极坐标方程ρcos=1所表示的直角坐标方程.解将ρcos=1化为ρcosθ+ρsinθ=
1.将ρcosθ=x,ρsinθ=y代入上式,得x+=1,即x+y-2=
0.求曲线的极坐标方程[例2] 在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为C与x轴、y轴的交点.1写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;2设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.[思路点拨] 1利用两角差余弦公式展开,结合互化公式可得直角坐标方程.2先求出P点的直角坐标,再求出OP的极坐标方程.[精解详析] 1由ρcos=1得ρ=
1.从而C的直角坐标方程为x+y=1,即x+y=
2.当θ=0时,ρ=2,所以M20.当θ=时,ρ=,所以N.2∵M点的直角坐标为20,N点的直角坐标为,所以P点的直角坐标为.则P点的极坐标为,所以直线OP的极坐标方程为θ=ρ∈R.2.设M是定圆O内一定点,任作半径OA,连接MA,自M作MP⊥MA交OA于P,求P点的轨迹方程.解以O为极点,射线OM为极轴,建立极坐标系,如图.设定圆O的半径为r,OM=a,Pρ,θ是轨迹上任意一点.∵MP⊥MA,∴|MA|2+|MP|2=|PA|
2.由余弦定理,可知|MA|2=a2+r2-2arcosθ,|MP|2=a2+ρ2-2aρcosθ.而|PA|=r-ρ,由此可得a2+r2-2arcosθ+a2+ρ2-2aρcosθ=r-ρ
2.整理化简,得ρ=.求直线的极坐标方程[例3] 求出下列直线的极坐标方程1过定点Mρ0,θ0,且与极轴成α弧度的角;2过定点Mρ0,θ0,且与直线θ=θ0垂直.[思路点拨] 本题考查直线的极坐标方程的求法.解答本题需要根据已知条件画出极坐标系,然后借助平面几何的知识建立ρ与θ间的关系.[精解详析] 1设Pρ,θ为直线上任意一点如图,且记∠OPM=∠1,∠OMP=∠2,则∠1=α-θ,∠2=π-α-θ0.在△OMP中应用正弦定理得=,即ρ=ρ0·=ρ0·.即直线方程为ρsinθ-α=ρ0sinθ0-α.2设Pρ,θ为直线上任意一点如图所示,△OMP为直角三角形,显然有ρcosθ-θ0=ρ
0.这就是所求直线方程.求直线极坐标方程的步骤1设ρ,θ为直线上任一点的极坐标.2写出动点满足的几何条件.3把上述条件转化为ρ,θ的等式.4化简整理.3.求过A且和极轴所成角为的直线方程.解如图所示,A,即|OA|=3,∠AOB=.设Mρ,θ为直线上任一点,由已知得∠MBx=,∴∠OAB=-=.∴∠OAM=π-=.∠OMA=∠MBx-θ=-θ.在△MOA中,根据正弦定理,得=.sin=sin=,将sin展开,化简上面的方程,可得ρsinθ+cosθ=+.∴过A且和极轴所成角为的直线方程为ρsinθ+cosθ=+.[对应学生用书P10]
一、选择题1.极坐标方程cosθ=ρ≥0表示的曲线是 A.余弦曲线 B.两条相交直线C.一条射线D.两条射线解析选D ∵cosθ=,∴θ=±+2kπk∈Z.又∵ρ≥0,∴cosθ=表示两条射线.2.在极坐标系中与曲线Cρ=4sinθ相切的一条直线的方程为 A.ρcosθ=2B.ρsinθ=2C.ρ=4sinD.ρ=4sin解析选A ρ=4sinθ的普通方程为x2+y-22=4,ρcosθ=2的普通方程为x=2,圆x2+y-22=4与直线x=2显然相切.3.直线θ=α和直线ρsinθ-α=1的位置关系是 A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.重合解析选B 直线θ=α化为直角坐标方程为y=xtanα,ρsinθ-α=1化为ρsinθcosα-ρcosθsinα=1,即y=xtanα+.所以两直线平行.4.过点A50和直线θ=垂直的直线的极坐标方程是 A.ρsin=5B.ρcos=C.ρsin=D.ρsin=解析选C 直线θ=即直线y=x,∴过点A50和直线θ=垂直的直线方程为y=-x+5,其极坐标方程为ρsin=.
二、填空题5.在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ=3,则点到直线l的距离为________.解析将直线l的极坐标方程ρsinθ=3化为直角坐标方程为y=3,点在直角坐标系中为,1,故点到直线l的距离为
2.答案26.在极坐标系中,圆ρ=4被直线θ=分成两部分的面积之比是________.解析∵直线θ=过圆ρ=4的圆心,∴直线把圆分成两部分的面积之比是1∶
1.答案1∶17.在极坐标系ρ,θ0≤θ2π中,曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为________.解析由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,其普通方程为x2+y2=2y.ρcosθ=-1的普通方程为x=-
1.联立解得点-11的极坐标为.答案8.在极坐标系中,定点A1,,点B在直线lρcosθ+ρsinθ=0上运动.当线段AB最短时,点B的极坐标是________.解析将ρcosθ+ρsinθ=0化为直角坐标方程为x+y=0,点A化为直角坐标得A01.如图,过A作AB⊥直线l于B.因为△AOB为等腰直角三角形,又因为|OA|=1,则|OB|=,θ=,故B点的极坐标是B.答案
三、解答题9.求过-23点且斜率为2的直线的极坐标方程.解由题意知,直线的直角坐标方程为y-3=2x+2,即2x-y+7=
0.设Mρ,θ为直线上任意一点,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入直角坐标方程2x-y+7=0,得2ρcosθ-ρsinθ+7=
0.这就是所求的极坐标方程.10.在极坐标系中,曲线Cρ=10cosθ和直线l3ρcosθ-4ρsinθ-30=0相交于A,B两点,求线段|AB|的长.解分别将曲线C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程圆C x2+y2=10x,即x-52+y2=25,圆心C50.直线l3x-4y-30=
0.因为圆心C到直线l的距离d==3,所以|AB|=2=
8.11.如图,点A在直线x=4上移动,△OPA为等腰直角三角形,△OPA的顶角为∠OPAO,P,A依次按顺时针方向排列,求点P的轨迹方程,并判断轨迹形状.解取O为极点,x正半轴为极轴,建立极坐标系,则直线x=4的极坐标方程为ρcosθ=
4.设Aρ0,θ0,Pρ,θ.∵点A在直线ρcosθ=4上,∴ρ0cosθ0=
4.
①∵△OPA为等腰直角三角形,且∠OPA=,而|OP|=ρ,|OA|=ρ0,以及∠POA=,∴ρ0=ρ,且θ0=θ-.
②把
②代入
①,得点P的轨迹的极坐标方程为ρcos=
4.由ρcos=4得ρcosθ+sinθ=
4.∴点P轨迹的普通方程为x+y=4,是过点40且倾斜角为的直线.。