2019-2020年高中数学人教B版选修4-4教学案：第一章1-51-5-2球坐标系

2019-2020年高中数学人教B版选修4-4教学案第一章1-51-5-2球坐标系[读教材·填要点]1．球坐标系设空间中一点M的直角坐标为x，y，z，点M在xOy坐标面上的投影点为M0，连接OM和OM0，设z轴的正向与向量的夹角为φ，x轴的正向与0的夹角为θ，M点到原点O的距离为r，则由三个数r，θ，φ构成的有序数组r，θ，φ称为空间中点M的球坐标．在球坐标中限定r≥0，0≤θ2π，0≤φ≤π.2．直角坐标与球坐标的转化空间点M的直角坐标x，y，z与球坐标r，φ，θ之间的变换关系为[小问题·大思维]球坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？提示空间某点的球坐标中的第二个坐标θ就是该点在xOy平面上投影点的极坐标中的第二个坐标θ.将球坐标化为直角坐标[例1]　已知点M的球坐标为，求它的直角坐标．[思路点拨]　本题考查球坐标与直角坐标的变换关系．解答本题需要先搞清球坐标中各个坐标的意义，然后代入相应的公式求解即可．[精解详析]　∵M的球坐标为，∴r＝5，φ＝，θ＝.由变换公式得故它的直角坐标为.已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求解，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.1．已知点P的球坐标为，求它的直角坐标．解由变换公式得x＝rsinφcosθ＝4sincos＝2，y＝rsinφsinθ＝4sinsin＝2，z＝rcosφ＝4cos＝－

2.∴它的直角坐标为22，－

2.将直角坐标化为球坐标[例2]　设点M的直角坐标为11，，求它的球坐标．[思路点拨]　本题考查直角坐标与球坐标的变换关系．解答本题只需将已知条件代入变换公式求解即可，但应注意θ与φ的取值范围．[精解详析]　由坐标变换公式，可得r＝＝＝

2.由rcosφ＝z＝，得cosφ＝＝，φ＝.又tanθ＝＝1，θ＝x0，y0，所以知M点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为r，θ，φ，再利用变换公式求出r，θ，φ代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝，cosφ＝求解．特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．2．设点M的直角坐标为，求它的球坐标．解由变换公式得r＝＝＝

1.由rcosφ＝z＝－得cosφ＝－，φ＝.又tanθ＝＝r0，y0，得θ＝，∴M的球坐标为.球坐标系的应用[例3]　在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系．有A，B两个城市，它们的球坐标分别为AR，，，BR，，.飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程．[思路点拨]　本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距离．解答本题需要搞清球的大圆的圆心角及求法．[精解详析]　如图所示，因为A，B，可知∠AOO1＝∠O1OB＝，∴∠O1AO＝∠O1BO＝.又∠EOC＝，∠EOD＝，∴∠COD＝－＝.∴∠AO1B＝∠COD＝.在Rt△OO1B中，∠O1BO＝，OB＝R，∴O1B＝O1A＝R.∵∠AO1B＝，∴AB＝R.在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝.故飞机沿经过A，B两地的大圆飞行，航线最短，其路程为R.我们根据A，B两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过A，B两地的大圆飞行时，飞行最快．求所飞行的路程实际上是要求我们求出过A，B两地的球面距离．

3.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A，B8，θB，，求出这两个截面间的距离．解由已知，OA＝OB＝8，∠AOO1＝，∠BOO1＝.∴在△AOO1中，OO1＝

4.在△BOO2中，∠BOO2＝，OB＝8，∴OO2＝4，则O1O2＝OO1＋OO2＝

8.即两个截面间的距离O1O2为

8.

一、选择题1．已知一个点P的球坐标为，点P在xOy平面上的投影点为P0，则与的夹角为　　A．－　　　　　　　　　　B.C.D.解析选A　∵φ＝，∴OP与OP0之间的夹角为＝.2．点M的球坐标为r，φ，θφ，θ∈0，π，则其关于点000的对称点的坐标为　　A．－r，－φ，－θB．r，π－φ，π－θC．r，π＋φ，θD．r，π－φ，π＋θ解析选D　设点M的直角坐标为x，y，z，则点M关于000的对称点M′的直角坐标为－x，－y，－z，设M′的球坐标为r′，φ′，θ′，因为所以可得即M′的球坐标为r，π－φ，π＋θ．3．点P的球坐标为，则它的直角坐标为　　A．100B．－1，－10C．0，－10D．－100解析选D　x＝rsinφcosθ＝1·sin·cosπ＝－1，y＝rsinφsinθ＝1·sinsinπ＝0，z＝rcosφ＝1·cos＝0，∴它的直角坐标为－100．4．已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为　　A．P511，BB．P115，BC．P，B115D．P115，B解析选B　球坐标与直角坐标的互化公式为柱坐标与直角坐标的互化公式为设P点的直角坐标为x，y，z，则x＝cos＝×＝1，y＝sin＝1，z＝

5.设B点的直角坐标为x′，y′，z′，则x′＝sincos＝××＝，y′＝sinsin＝××＝，z′＝cos＝×＝.所以点P的直角坐标为115，点B的直角坐标为.

二、填空题5．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为xOy坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为zOx坐标面，如图所示．若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为________．解析由球坐标的定义可知，该地的球坐标为R，，.答案6．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．解析由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．答案－222　7．设点M的直角坐标为－1，－1，，则它的球坐标为________．解析由坐标变换公式，得r＝＝＝2，cosφ＝＝，∴φ＝.∵tanθ＝＝＝1，又∵x0，y0，∴θ＝.∴M的球坐标为.答案8．在球坐标系中，方程r＝1表示________，方程φ＝表示空间的________．解析数形结合，根据球坐标的定义判断形状．答案球心在原点，半径为1的球面　顶点在原点，轴截面顶角为的圆锥面

三、解答题9．如图，请你说出点M的球坐标．解由球坐标的定义，记|OM|＝R，OM与z轴正向所夹的角为φ.设M在xOy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组R，θ，φ表示．∴M点的球坐标为MR，θ，φ．10．已知点P的球坐标为，求它的直角坐标．解根据坐标变换公式得∴点P的直角坐标为.11．如图，建立球坐标系，正四面体ABCD的棱长为1，求A，B，C，D的球坐标．其中O是△BCD的中心解O是△BCD的中心，则OC＝OD＝OB＝，AO＝.∴C，D，B，A.[对应学生用书P19][对应学生用书P19]利用平面直角坐标系解决几何问题1．利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴对称中心正好是坐标系中的x轴，y轴坐标原点．2．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．[例1]　线段AB与CD互相垂直且平分于点O，|AB|＝2a，|CD|＝2b，动点P满足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P的轨迹方程．[解]　以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，如图所示．设Px，y，则A－a0，Ba0，C0，－b，D0，b，由题设，知|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|.∴·＝·.化简得x2－y2＝，∴动点P的轨迹方程为x2－y2＝.平面直角坐标系中的伸缩变换设点Px，y是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点PX，Y对应点P′x′，y′，称这种变换为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．[例2]　在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线X－52＋Y＋62＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．[解]　将代入X－52＋Y＋62＝1中，得2x－52＋2y＋62＝

1.化简，得2＋y＋32＝.该曲线是以为圆心，为半径的圆.极坐标的求法1．在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程Fρ，θ＝

0.如果曲线C是由极坐标ρ，θ满足方程的所有点组成的，则称此二元方程Fρ，θ＝0为曲线C的极坐标方程．2．平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处．一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．3．求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，其在极坐标中仍然适用．注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．[例3]　△ABC的底边BC＝10，∠A＝∠B，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程．[解]　如图，令Aρ，θ．△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝，又|BC|＝10，|AB|＝ρ，所以由正弦定理，得＝.化简，得A点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cosθ.极坐标与直角坐标的互化1．互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位．2．互化公式为3．直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcosθ，ρsinθ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．[例4]　把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线．1ρ＝2acosθa＞0；2ρ＝9sinθ＋cosθ；3ρ＝4；42ρcosθ－3ρsinθ＝

5.[解]　1ρ＝2acosθ，两边同时乘以ρ，得ρ2＝2aρcosθ，即x2＋y2＝2ax.整理得x2＋y2－2ax＝0，即x－a2＋y2＝a

2.它是以a0为圆心，以a为半径的圆．2两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρsinθ＋cosθ，即x2＋y2＝9x＋9y，又可化为2＋2＝.它是以为圆心，以为半径的圆．3将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x2＋y2＝

16.它是以原点为圆心，以4为半径的圆．42ρcosθ－3ρsinθ＝5，即2x－3y＝

5.它是一条直线.柱坐标系与球坐标系1．柱坐标设M是空间内任意一点，它在xOy平面上的射影为M0，用ρ，θρ≥00≤θ＜2π来表示点M0在平面xOy上的极坐标．这时点M的位置可由有序数组ρ，θ，z表示，叫做点M的柱坐标．2．球坐标建立空间直角坐标系O­xyz，设M是空间任意一点，连接OM，记|OM|＝r，OM与Oz轴正向所夹的角为φ，设M在xOy平面上的射影为M

0.Ox轴按逆时针方向旋转到OM0时，所转过的最小正角为θ，则Mr，θ，φ为M点的球坐标．[例5]　在柱坐标系中，求满足的动点Mρ，θ，z围成的几何体的体积．[解]　根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝10≤θ2π，0≤z≤2的动点Mρ，θ，z的轨迹是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱，如图所示，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，∴V＝Sh＝πr2h＝2π.[例6]　如图，长方体OABC—D′A′B′C′中，OA＝OC＝a，BB′＝OA，对角线OB′与BD′相交于点P，顶点O为坐标原点，OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上．试写出点P的球坐标．[解]　r＝|OP|，φ＝∠D′OP，θ＝∠AOB，而|OP|＝a，∠D′OP＝∠OB′B，tan∠OB′B＝＝1，∴∠OB′B＝，θ＝∠AOB＝.∴点P的球坐标为.[对应学生用书P21]

一、选择题1．点M的直角坐标是－1，，则点M的极坐标为　　A.　　　　　　B.C.D.，k∈Z解析选C　ρ2＝－12＋2＝4，∴ρ＝

2.又∴∴θ＝π＋2kπ，k∈Z.即点M的极坐标为，k∈Z.2．化极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0为直角坐标方程为　　A．x2＋y2＝0或y＝1　　　　　B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1D．y＝1解析选C　ρρcosθ－1＝0，ρ＝＝0，或ρcosθ＝x＝

1.3．极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为　　A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆解析选C　ρcosθ＝4sinθcosθ，cosθ＝0，或ρ＝4sinθρ2＝4ρsinθ，则x＝0，或x2＋y2＝4y.4．极坐标系内曲线ρ＝2cosθ上的动点P与定点Q的最近距离等于　　A.－1B.－1C．1D.解析选A　将曲线ρ＝2cosθ化成直角坐标方程为x－12＋y2＝1，点Q的直角坐标为01，则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径，即－

1.

二、填空题5．极坐标方程5ρ2cos2θ＋ρ2－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为________________．解析原方程化为直角坐标方程为－＝1，∴c＝＝，双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为，0，－，0，故在极坐标系下，曲线的焦点坐标为，0，，π．答案，0，，π6．点M的球坐标为，则它的直角坐标为________．解析x＝6·sin·cos＝3，y＝6sinsin＝3，z＝6cos＝0，∴它的直角坐标为33，0．答案33，07．在极坐标系中，若过点30且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A，B两点，则|AB|＝________.解析过点30且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x＝3，曲线ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，把x＝3代入上式，得9＋y2－12＝0，解得，y1＝，y2＝－，所以|AB|＝|y1－y2|＝

2.答案28．在极坐标系中，过点A6，π作圆ρ＝－4cosθ的切线，则切线长为________．解析圆ρ＝－4cosθ化为x＋22＋y2＝4，点6，π化为－60，故切线长为＝＝

2.答案2

三、解答题9．求由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线X2＋Y2＝1的伸缩变换．解设变换为将其代入方程X2＋Y2＝1，得a2x2＋b2y2＝

1.又∵4x2＋9y2＝36，即＋＝1，∴又∵a0，b0，∴a＝，b＝.∴将曲线4x2＋9y2＝36变成曲线X2＋Y2＝1的伸缩变换为10．已知A，B两点的极坐标分别是，，求A，B两点间的距离和△AOB的面积．解求两点间的距离可用如下公式|AB|＝＝＝

2.S△AOB＝|ρ1ρ2sinθ1－θ2|＝2×4×sin＝×2×4＝

4.11．在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径为

1.Q点在圆周上运动，O为极点．1求圆C的极坐标方程；2若P在直线OQ上运动，且满足＝，求动点P的轨迹方程．解1如图所示，设Mρ，θ为圆C上任意一点．在△OCM中，可知|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM|＝1，∠＝.根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos.化简整理，得ρ2－6·ρcos＋8＝0为圆C的轨迹方程．2设Qρ1，θ1，则有ρ－6·ρ1cos＋8＝

0.

①设Pρ，θ，则OQ∶QP＝ρ1∶ρ－ρ1＝2∶3⇒ρ1＝ρ，又θ1＝θ，所以代入

①得ρ2－6·ρcos＋8＝0，整理得ρ2－15ρcos＋50＝0为P点的轨迹方程．。