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2019-2020年高中数学人教B版选修4-4教学案第一章1-51-5-2球坐标系[读教材·填要点]1.球坐标系设空间中一点M的直角坐标为x,y,z,点M在xOy坐标面上的投影点为M0,连接OM和OM0,设z轴的正向与向量的夹角为φ,x轴的正向与0的夹角为θ,M点到原点O的距离为r,则由三个数r,θ,φ构成的有序数组r,θ,φ称为空间中点M的球坐标.在球坐标中限定r≥0,0≤θ2π,0≤φ≤π.2.直角坐标与球坐标的转化空间点M的直角坐标x,y,z与球坐标r,φ,θ之间的变换关系为[小问题·大思维]球坐标与平面上的极坐标之间有什么关系?提示空间某点的球坐标中的第二个坐标θ就是该点在xOy平面上投影点的极坐标中的第二个坐标θ.将球坐标化为直角坐标[例1] 已知点M的球坐标为,求它的直角坐标.[思路点拨] 本题考查球坐标与直角坐标的变换关系.解答本题需要先搞清球坐标中各个坐标的意义,然后代入相应的公式求解即可.[精解详析] ∵M的球坐标为,∴r=5,φ=,θ=.由变换公式得故它的直角坐标为.已知球坐标求直角坐标,可根据变换公式直接求解,但要分清哪个角是φ,哪个角是θ.1.已知点P的球坐标为,求它的直角坐标.解由变换公式得x=rsinφcosθ=4sincos=2,y=rsinφsinθ=4sinsin=2,z=rcosφ=4cos=-
2.∴它的直角坐标为22,-
2.将直角坐标化为球坐标[例2] 设点M的直角坐标为11,,求它的球坐标.[思路点拨] 本题考查直角坐标与球坐标的变换关系.解答本题只需将已知条件代入变换公式求解即可,但应注意θ与φ的取值范围.[精解详析] 由坐标变换公式,可得r===
2.由rcosφ=z=,得cosφ==,φ=.又tanθ==1,θ=x0,y0,所以知M点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时,我们可以先设点M的球坐标为r,θ,φ,再利用变换公式求出r,θ,φ代入点的球坐标即可;也可以利用r2=x2+y2+z2,tanθ=,cosφ=求解.特别注意由直角坐标求球坐标时,θ和φ的取值应首先看清点所在的象限,准确取值,才能无误.2.设点M的直角坐标为,求它的球坐标.解由变换公式得r===
1.由rcosφ=z=-得cosφ=-,φ=.又tanθ==r0,y0,得θ=,∴M的球坐标为.球坐标系的应用[例3] 在赤道平面上,我们选取地球球心O为极点,以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴,建立坐标系.有A,B两个城市,它们的球坐标分别为AR,,,BR,,.飞机沿球的大圆圆弧飞行时,航线最短,求最短的路程.[思路点拨] 本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距离.解答本题需要搞清球的大圆的圆心角及求法.[精解详析] 如图所示,因为A,B,可知∠AOO1=∠O1OB=,∴∠O1AO=∠O1BO=.又∠EOC=,∠EOD=,∴∠COD=-=.∴∠AO1B=∠COD=.在Rt△OO1B中,∠O1BO=,OB=R,∴O1B=O1A=R.∵∠AO1B=,∴AB=R.在△AOB中,AB=OB=OA=R,∴∠AOB=.故飞机沿经过A,B两地的大圆飞行,航线最短,其路程为R.我们根据A,B两地的球坐标找到纬度和经度,当飞机沿着过A,B两地的大圆飞行时,飞行最快.求所飞行的路程实际上是要求我们求出过A,B两地的球面距离.
3.用两平行面去截球,如图,在两个截面圆上有两个点,它们的球坐标分别为A,B8,θB,,求出这两个截面间的距离.解由已知,OA=OB=8,∠AOO1=,∠BOO1=.∴在△AOO1中,OO1=
4.在△BOO2中,∠BOO2=,OB=8,∴OO2=4,则O1O2=OO1+OO2=
8.即两个截面间的距离O1O2为
8.
一、选择题1.已知一个点P的球坐标为,点P在xOy平面上的投影点为P0,则与的夹角为 A.- B.C.D.解析选A ∵φ=,∴OP与OP0之间的夹角为=.2.点M的球坐标为r,φ,θφ,θ∈0,π,则其关于点000的对称点的坐标为 A.-r,-φ,-θB.r,π-φ,π-θC.r,π+φ,θD.r,π-φ,π+θ解析选D 设点M的直角坐标为x,y,z,则点M关于000的对称点M′的直角坐标为-x,-y,-z,设M′的球坐标为r′,φ′,θ′,因为所以可得即M′的球坐标为r,π-φ,π+θ.3.点P的球坐标为,则它的直角坐标为 A.100B.-1,-10C.0,-10D.-100解析选D x=rsinφcosθ=1·sin·cosπ=-1,y=rsinφsinθ=1·sinsinπ=0,z=rcosφ=1·cos=0,∴它的直角坐标为-100.4.已知点P的柱坐标为,点B的球坐标为,则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为 A.P511,BB.P115,BC.P,B115D.P115,B解析选B 球坐标与直角坐标的互化公式为柱坐标与直角坐标的互化公式为设P点的直角坐标为x,y,z,则x=cos=×=1,y=sin=1,z=
5.设B点的直角坐标为x′,y′,z′,则x′=sincos=××=,y′=sinsin=××=,z′=cos=×=.所以点P的直角坐标为115,点B的直角坐标为.
二、填空题5.以地球中心为坐标原点,地球赤道平面为xOy坐标面,由原点指向北极点的连线方向为z轴正向,本初子午线所在平面为zOx坐标面,如图所示.若某地在西经60°,南纬45°,地球的半径为R,则该地的球坐标可表示为________.解析由球坐标的定义可知,该地的球坐标为R,,.答案6.已知点M的球坐标为,则它的直角坐标为________,它的柱坐标是________.解析由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标.答案-222 7.设点M的直角坐标为-1,-1,,则它的球坐标为________.解析由坐标变换公式,得r===2,cosφ==,∴φ=.∵tanθ===1,又∵x0,y0,∴θ=.∴M的球坐标为.答案8.在球坐标系中,方程r=1表示________,方程φ=表示空间的________.解析数形结合,根据球坐标的定义判断形状.答案球心在原点,半径为1的球面 顶点在原点,轴截面顶角为的圆锥面
三、解答题9.如图,请你说出点M的球坐标.解由球坐标的定义,记|OM|=R,OM与z轴正向所夹的角为φ.设M在xOy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组R,θ,φ表示.∴M点的球坐标为MR,θ,φ.10.已知点P的球坐标为,求它的直角坐标.解根据坐标变换公式得∴点P的直角坐标为.11.如图,建立球坐标系,正四面体ABCD的棱长为1,求A,B,C,D的球坐标.其中O是△BCD的中心解O是△BCD的中心,则OC=OD=OB=,AO=.∴C,D,B,A.[对应学生用书P19][对应学生用书P19]利用平面直角坐标系解决几何问题1.利用问题的几何特征,建立适当坐标系,主要是兼顾到它们的对称性,尽量使图形的对称轴对称中心正好是坐标系中的x轴,y轴坐标原点.2.坐标系的建立,要尽量使我们研究的曲线的方程简单.[例1] 线段AB与CD互相垂直且平分于点O,|AB|=2a,|CD|=2b,动点P满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|,求动点P的轨迹方程.[解] 以AB的中点O为原点,直线AB为x轴建立直角坐标系,如图所示.设Px,y,则A-a0,Ba0,C0,-b,D0,b,由题设,知|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.∴·=·.化简得x2-y2=,∴动点P的轨迹方程为x2-y2=.平面直角坐标系中的伸缩变换设点Px,y是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点PX,Y对应点P′x′,y′,称这种变换为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.[例2] 在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线X-52+Y+62=1,求曲线C的方程,并判断其形状.[解] 将代入X-52+Y+62=1中,得2x-52+2y+62=
1.化简,得2+y+32=.该曲线是以为圆心,为半径的圆.极坐标的求法1.在给定的平面上的极坐标系下,有一个二元方程Fρ,θ=
0.如果曲线C是由极坐标ρ,θ满足方程的所有点组成的,则称此二元方程Fρ,θ=0为曲线C的极坐标方程.2.平面上点的极坐标的表示形式不唯一,因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处.一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式,有些表示形式可能不满足方程,这里要求至少有一组能满足极坐标方程.3.求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法,其在极坐标中仍然适用.注意求谁设谁,找出所设点的坐标ρ,θ的关系.[例3] △ABC的底边BC=10,∠A=∠B,以B为极点,BC为极轴,求顶点A的轨迹的极坐标方程.[解] 如图,令Aρ,θ.△ABC内,设∠B=θ,∠A=,又|BC|=10,|AB|=ρ,所以由正弦定理,得=.化简,得A点轨迹的极坐标方程为ρ=10+20cosθ.极坐标与直角坐标的互化1.互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位.2.互化公式为3.直角坐标方程化极坐标方程可直接将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入即可,而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcosθ,ρsinθ的整体形式,然后用x,y代替较为方便,常常两端同乘以ρ即可达到目的,但要注意变形的等价性.[例4] 把下列极坐标方程化为直角坐标方程,并指出它们分别表示什么曲线.1ρ=2acosθa>0;2ρ=9sinθ+cosθ;3ρ=4;42ρcosθ-3ρsinθ=
5.[解] 1ρ=2acosθ,两边同时乘以ρ,得ρ2=2aρcosθ,即x2+y2=2ax.整理得x2+y2-2ax=0,即x-a2+y2=a
2.它是以a0为圆心,以a为半径的圆.2两边同时乘以ρ得ρ2=9ρsinθ+cosθ,即x2+y2=9x+9y,又可化为2+2=.它是以为圆心,以为半径的圆.3将ρ=4两边平方得ρ2=16,即x2+y2=
16.它是以原点为圆心,以4为半径的圆.42ρcosθ-3ρsinθ=5,即2x-3y=
5.它是一条直线.柱坐标系与球坐标系1.柱坐标设M是空间内任意一点,它在xOy平面上的射影为M0,用ρ,θρ≥00≤θ<2π来表示点M0在平面xOy上的极坐标.这时点M的位置可由有序数组ρ,θ,z表示,叫做点M的柱坐标.2.球坐标建立空间直角坐标系Oxyz,设M是空间任意一点,连接OM,记|OM|=r,OM与Oz轴正向所夹的角为φ,设M在xOy平面上的射影为M
0.Ox轴按逆时针方向旋转到OM0时,所转过的最小正角为θ,则Mr,θ,φ为M点的球坐标.[例5] 在柱坐标系中,求满足的动点Mρ,θ,z围成的几何体的体积.[解] 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知,满足ρ=10≤θ2π,0≤z≤2的动点Mρ,θ,z的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面为正方形的圆柱,如图所示,圆柱的底面半径r=1,h=2,∴V=Sh=πr2h=2π.[例6] 如图,长方体OABC—D′A′B′C′中,OA=OC=a,BB′=OA,对角线OB′与BD′相交于点P,顶点O为坐标原点,OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上.试写出点P的球坐标.[解] r=|OP|,φ=∠D′OP,θ=∠AOB,而|OP|=a,∠D′OP=∠OB′B,tan∠OB′B==1,∴∠OB′B=,θ=∠AOB=.∴点P的球坐标为.[对应学生用书P21]
一、选择题1.点M的直角坐标是-1,,则点M的极坐标为 A. B.C.D.,k∈Z解析选C ρ2=-12+2=4,∴ρ=
2.又∴∴θ=π+2kπ,k∈Z.即点M的极坐标为,k∈Z.2.化极坐标方程ρ2cosθ-ρ=0为直角坐标方程为 A.x2+y2=0或y=1 B.x=1C.x2+y2=0或x=1D.y=1解析选C ρρcosθ-1=0,ρ==0,或ρcosθ=x=
1.3.极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为 A.一条射线和一个圆B.两条直线C.一条直线和一个圆D.一个圆解析选C ρcosθ=4sinθcosθ,cosθ=0,或ρ=4sinθρ2=4ρsinθ,则x=0,或x2+y2=4y.4.极坐标系内曲线ρ=2cosθ上的动点P与定点Q的最近距离等于 A.-1B.-1C.1D.解析选A 将曲线ρ=2cosθ化成直角坐标方程为x-12+y2=1,点Q的直角坐标为01,则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径,即-
1.
二、填空题5.极坐标方程5ρ2cos2θ+ρ2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为________________.解析原方程化为直角坐标方程为-=1,∴c==,双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为,0,-,0,故在极坐标系下,曲线的焦点坐标为,0,,π.答案,0,,π6.点M的球坐标为,则它的直角坐标为________.解析x=6·sin·cos=3,y=6sinsin=3,z=6cos=0,∴它的直角坐标为33,0.答案33,07.在极坐标系中,若过点30且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A,B两点,则|AB|=________.解析过点30且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x=3,曲线ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0,把x=3代入上式,得9+y2-12=0,解得,y1=,y2=-,所以|AB|=|y1-y2|=
2.答案28.在极坐标系中,过点A6,π作圆ρ=-4cosθ的切线,则切线长为________.解析圆ρ=-4cosθ化为x+22+y2=4,点6,π化为-60,故切线长为==
2.答案2
三、解答题9.求由曲线4x2+9y2=36变成曲线X2+Y2=1的伸缩变换.解设变换为将其代入方程X2+Y2=1,得a2x2+b2y2=
1.又∵4x2+9y2=36,即+=1,∴又∵a0,b0,∴a=,b=.∴将曲线4x2+9y2=36变成曲线X2+Y2=1的伸缩变换为10.已知A,B两点的极坐标分别是,,求A,B两点间的距离和△AOB的面积.解求两点间的距离可用如下公式|AB|===
2.S△AOB=|ρ1ρ2sinθ1-θ2|=2×4×sin=×2×4=
4.11.在极坐标系中,已知圆C的圆心C,半径为
1.Q点在圆周上运动,O为极点.1求圆C的极坐标方程;2若P在直线OQ上运动,且满足=,求动点P的轨迹方程.解1如图所示,设Mρ,θ为圆C上任意一点.在△OCM中,可知|OC|=3,|OM|=ρ,|CM|=1,∠=.根据余弦定理,得1=ρ2+9-2·ρ·3·cos.化简整理,得ρ2-6·ρcos+8=0为圆C的轨迹方程.2设Qρ1,θ1,则有ρ-6·ρ1cos+8=
0.
①设Pρ,θ,则OQ∶QP=ρ1∶ρ-ρ1=2∶3⇒ρ1=ρ,又θ1=θ,所以代入
①得ρ2-6·ρcos+8=0,整理得ρ2-15ρcos+50=0为P点的轨迹方程.。