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2019-2020年高中数学人教B版选修4-4教学案第二章2-1曲线的参数方程[读教材·填要点]定义设在平面上取定了一个直角坐标系xOy,把坐标x,y表示为第三个变量t的函数a≤t≤b
①如果对于t的每一个值a≤t≤b
①式所确定的点Mx,y都在一条曲线上;而这条曲线上的任一点Mx,y,都可由t的某个值通过
①式得到,则称
①式为该曲线的参数方程,其中变量t称为参数.如果从参数方程中消去参数t,就得到联系x和y的方程Fx,y=0,则方程Fx,y=0是这条曲线的直角坐标方程即普通方程.[小问题·大思维]1.参数方程中的参数t是否一定有实际意义?提示参数是联系变数x,y的桥梁,可以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.2.曲线的参数方程一定是唯一的吗?提示同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样.如和m∈R都表示直线x=2y+
1.将参数方程化为普通方程[例1] 指出下列参数方程表示什么曲线1t为参数2t为参数3t为参数[思路点拨] 本题考查化参数方程为普通方程的方法.解答此题需要从一个方程中解出t,代入另一个方程.[精解详析] 1x-12+y+22=16cos2t+16sin2t=16,即x-12+y+22=16,表示以1,-2为圆心,半径为4的圆.22+2=cos2t+sin2t=1,即+=1,表示中心在原点,焦点在x轴上的椭圆.3x2-y2=2t-2-t2-2t+2-t2=-4,即y2-x2=
4.又2t0,y≥2=2,故y2-x2=4y≥2,它表示双曲线的上支.1将参数方程化为普通方程时,消去参数的常用方法有
①代入法.先由一个方程求出参数的表达式用直角坐标变量表示,再代入另一个方程.
②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数.例如,对于参数方程如果t是常数,θ是参数,那么可以利用公式sin2θ+cos2θ=1消参;如果θ是常数,t是参数,那么可以利用t+2-t-2=4消参.2一般来说,如果消去曲线的参数方程中的参数,就可以得到曲线的普通方程,但要注意,这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点,即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的.1.已知曲线的参数方程为0≤θ≤2π.把它化成普通方程,并说明它表示什么曲线.解由x=sinθ+1,y=cosθ+3可得sinθ=x-1,cosθ=y-
3.由sin2θ+cos2θ=1得x-12+y-32=1,∴曲线的普通方程为x-12+y-32=1,它表示以13为圆心.1为半径的圆.求曲线的参数方程[例2] 经过原点作圆x2-2ax+y2=0的弦,求这些弦的中点的轨迹参数方程.[思路点拨] 本题考查曲线参数方程的求法.解答本题需要先确定参数,然后分别用同一个参数表示x和y.[精解详析] 如图,设OQ是经过原点的任意一条弦,OQ的中点是Mx,y,设弦OQ和x轴的夹角为θ,取θ作为参数.已知圆的圆心是O′a0,连接O′M,那么O′M⊥OQ,过点M作MM′⊥OO′,那么|OM|=acosθ,∴θ为参数这就是所求轨迹的参数方程.1求曲线参数方程的主要步骤第一步,建立直角坐标系,设x,y是轨迹上任意一点的坐标,画出草图画图时要注意根据几何条件选择点的位置,以利于发现变量之间的关系.第二步,选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点一是曲线上每一点的坐标x,y与参数的关系比较明显,容易列出方程;二是x,y的值可以由参数唯一确定.例如,在研究运动问题时,通常选时间为参数;在研究旋转问题时,通常选旋转角为参数.此外,离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数.第三步,根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等,建立点的坐标与参数的函数关系式.2求曲线的参数方程时,要根据题设条件或图形特性求出参数的取值范围并标注出来.2.如图所示,OA是圆C的直径,且OA=2a,射线OB与圆交于Q点,和经过A点的切线交于B点,作PQ⊥OA,交OA于D,PB∥OA.试求点P的轨迹的参数方程.解设Px,y是轨迹上任意一点,取∠DOQ=θ.由PQ⊥OA,PB∥OA,得x=OD=OQcosθ=OAcos2θ=2acos2θ,y=AB=OAtanθ=2atanθ.所以P点轨迹的参数方程为-θ
一、选择题1.将参数方程0≤θ≤2π化为普通方程为 A.y=x-2 B.y=x+2C.y=x-22≤x≤3D.y=x+20≤y≤1解析选C 化为普通方程y=x-2,但是x∈
[23],y∈
[01].2.当参数θ变化时,由点P2cosθ,3sinθ所确定的曲线过点 A.23B.15C.D.20解析选D 当2cosθ=2,即cosθ=1时,3sinθ=
0.3.曲线的参数方程为则曲线是 A.线段B.双曲线的一支C.圆D.射线解析选D 消去参数得x-3y-5=0,且x≥2,故是射线.4.下列参数方程t为参数与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是 A.B.C.D.解析选D A显然错误,B中x∈[-11]与原题中x的范围不同,C可化为y-=0,故选D.
二、填空题5.方程x2+y2-4tx-2ty+3t2-4=0t为参数所表示的圆的圆心轨迹的参数方程为________.解析由x2+y2-4tx-2ty+3t2-4=0得x-2t2+y-t2=4+2t
2.设圆心坐标为x,y,则答案6.已知曲线C的参数方程是t为参数.则点M101,M254与曲线C的位置关系__________________________填点是否在曲线上.解析将M1的坐标01代入方程组,解得t=
0.因此M1在曲线C上.同理可知方程组无解,故M2不在曲线C上.答案M1在曲线C上,M2不在曲线C上7.若点x,y在曲线0≤θ≤2π上,则x2+y2的最小值是________.解析法一由题可知,x2+y2=3+2cosθ2+-4+2sinθ2=29+12cosθ-16sinθ=29+20cosθ+φtanφ=,当cosθ+φ=-1时最小,因此可得最小值为
9.法二将原式转化为普通方程x-32+y+42=4,它表示圆.令t=x2+y2,则t可看成圆上的点到点00的距离的平方,圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离减去半径,tmin=[-2]2=9,所以x2+y2的最小值为
9.答案98.在直角坐标系xOy中,已知曲线C1t为参数与曲线C2θ为参数,a>0有一个公共点在x轴上,则a=________.解析曲线C1的普通方程为2x+y=3,曲线C2的普通方程为+=
1.直线2x+y=3与x轴的交点坐标为,故曲线+=1也经过这个点,代入解得a=.答案
三、解答题9.化下列参数方程为普通方程1t∈R且t≠-1;
2.解1变形为∴x≠-1,y≠
2.∴x+y=1x≠-1.2
②式平方,再结合
①得y2=x2+2x.由x=tanθ+知|x|≥
2.所以方程为x+12-y2=1|x|≥2.10.物体从高处以初速度v0m/s沿水平方向抛出,求以抛出点为原点,水平直线为x轴,物体所经路线的参数方程.解设物体抛出的时刻为0s,在时刻ts时其坐标为Mx,y,由于物体作平抛运动,依题意,得这就是物体所经路线的参数方程.11.舰A在舰B的正东,相距6km;舰C在舰B的北偏西30°,相距4km.它们准备围捕海中某动物,某时刻舰A发现动物信号,4s后舰B、舰C同时发现这种信号,舰A于是发射麻醉炮弹.假设舰与动物都是静止的,动物信号的传播速度为1km/s,炮弹初速度为km/s,其中g为重力加速度,空气阻力不计,求舰A炮击的方位角与仰角.解以BA为x轴,BA中垂线为y轴建立直角坐标系如图,则B-30,A30,C-52.设该动物位于Px,y.因为|BP|=|CP|,所以P在线段BC的中垂线上,易知中垂线方程是y=x+7.又|PB|-|PA|=4,所以P在以A,B为焦点的双曲线右支上,双曲线方程是-=
1.从而得P85.设∠xAP=α,则tanα=kAP=,∴α=60°.这样炮弹发射的方位角为北偏东30°.再以A为原点,AP为x′轴建立坐标系x′Ay′如图.|PA|=10,设弹道曲线方程是其中θ为仰角.将P100代入,消去t便得sin2θ=,θ=30°或60°.这样舰A发射炮弹的仰角为30°或60°.。