2019-2020年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案：第五章§1数系的扩充与复数的引入

2019-2020年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案第五章§1数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展已知方程1x2－2x＋2＝0，2x2＋1＝

0.问题1方程1在有理数数集中有解吗？实数范围内呢？提示在有理数集中无解；在实数范围内有解，其解为.问题2方程2在实数集中有解吗？提示没有．问题3若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？提示有解x＝i，但不是实数．1．复数的概念2．复数集复数的全体组成的集合，记作C.显然RC.复数的相等问题1若a，b，c，d∈R且a＝c，b＝d，复数a＋bi和c＋di相等吗？提示相等．问题2若a＋bi＝c＋di，那么实数a，b，c，d有何关系？提示a＝c，b＝d.复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.复平面及复数的几何意义问题1实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内的点表示吗？提示可以．问题2复数z＝a＋bia，b∈R与有序实数对a，b有何对应关系？与平面直角坐标系中的点Za，b有何对应关系？提示一一对应，一一对应．问题3在平面直角坐标系中点Za，b与向量＝a，b有何对应关系？提示一一对应关系．问题4复数z＝a＋bia，b∈R与有何对应关系？提示一一对应．1．复平面1当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．2任一个复数z＝a＋bia，b∈R与复平面内的点Za，b是一一对应的．这是复数的几何意义．一个复数z＝a＋bia，b∈R与复平面内的向量＝a，b是一一对应的．2．复数的模设复数z＝a＋bia，b∈R在复平面内对应的点是Za，b，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|＝.1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，b∈R这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数

0.3．只有两个复数都是实数时才能比较大小，否则没有大小关系．复数的基本概念[例1]　复数z＝m2－3m＋2＋m2＋m－2i，当实数m为何值时，1z为实数；2z为虚数；3z为纯虚数？[思路点拨]　分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．[精解详析]　1当m2＋m－2＝0，即m＝－2或m＝1时，z为实数．2当m2＋m－2≠0，即m≠－2且m≠1时，z为虚数．3当即m＝2时，z为纯虚数．[一点通]　1研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，初学者易忽略这一点．2对于纯虚数的问题，除了实部为零之外，勿忘其虚部必须不为零．1．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的　　A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝

0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．答案B2．若复数z＝x2－1＋i为纯虚数，则实数x的值为　　A．－1　　　　　　　　　　B．0C．1D.－1或1解析由复数z＝x2－1＋i为纯虚数得解得x＝－

1.答案A复数的相等[例2]　1已知2x－1＋i＝y－3－yi，x，y∈R，求x与y；2设z1＝1＋sinθ－icosθ，z2＝＋cosθ－2i.若z1＝z2，求θ.[思路点拨]　先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解．[精解详析]　1根据复数相等的充要条件，得方程组得2由已知，得解得则θ＝2kπk∈Z．[一点通]　1两个复数相等时，应分清楚两复数的实部和虚部，然后让其实部和虚部分别相等，列出相应的方程组求解．本题就是利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了化归的思想．2注意1小题的条件x，y∈R，若x，y未说明是实数，则不能这样解，比如若x为纯虚数，则可设x＝bib∈R且b≠0，然后再根据复数相等求相应的x，y.3．若ai＋2＝b－ia，b∈R，i为虚数单位，则a2＋b2＝　　A．0B．2C.D.5解析由题意得则a2＋b2＝

5.答案D4．若关于x的方程x2＋1＋2ix＋3m＋i＝0有实根，则实数m＝　　A.B.iC．－D.－i解析因为关于x的方程x2＋1＋2ix＋3m＋i＝0有实根，即x2＋1＋2ix＋3m＋i＝0⇔x2＋x＋3m＋2x＋1i＝0⇔⇒m＝，故选A.答案A复数的几何意义[例3]　实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋a2－3a＋2i的点1位于第二象限；2位于直线y＝x上？[思路点拨]　位于第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；位于直线y＝x上的点的横坐标等于纵坐标．[精解详析]　根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋a2－3a＋2i的点就是点Za2＋a－2，a2－3a＋2．1由点Z位于第二象限得解得－2a

1.故满足条件的实数a的取值范围为－21．2由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝

1.故满足条件的实数a的值为

1.[一点通]　按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置确定复数的实部、虚部满足的条件．5．若复数z＝a2－2a＋a2－a－2i对应的点在虚轴上，则　　A．a≠2或a≠1B．a≠2且a≠1C．a＝0D.a＝2或a＝0解析因为复数z＝a2－2a＋a2－a－2i对应的点在虚轴上，所以a2－2a＝0，解得a＝0或a＝

2.答案D6．已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量的坐标是　　A．－55B．5，－5C．55D.－5，－5解析向量，对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量＝2，－3，＝－32．由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝2＋3，－3－2＝5，－5．答案B7．在复平面内，求复数z，使复数z＝m2－m－2＋m2－3m＋2im∈R的对应点1在虚轴上；2在实轴负半轴上．解1若复数z对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0，∴m＝－1或m＝2，此时，z＝6i或z＝

0.2若复数z对应点在实轴负半轴上，则解得m＝1，∴z＝－

2.复数的模[例4]　设z∈C，判断满足下列条件的复数z对应的点Z的集合是什么图形．1|z|＝2；2|z|≤

3.[精解详析]　法一1复数z的模等于2，这表明向量的长度等于2，即点Z到原点的距离等于2，因此满足条件|z|＝2的点Z的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆．2满足条件|z|≤3的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的圆及其内部．法二设z＝x＋yix，y∈R．1|z|＝2，∴x2＋y2＝4，∴点Z的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆．2|z|≤3，∴x2＋y2≤

9.∴点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的圆及其内部．[一点通]　1解决此类问题有两种方法

①根据|z|表示点Z和原点间的距离，把复数条件转化为几何条件；

②设出复数，利用模的定义，把复数方程不等式转化为实数方程不等式．2设出复数，把复数问题实数化，是解决复数问题的基本思想．8．设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1||z2|，则实数a的取值范围是　　A．a－1或a1B．－1a1C．a1D.a0解析∵|z1|＝，|z2|＝＝，∴，即a2＋45，∴a21，即－1a

1.答案B9．求复数z1＝6＋8i及z2＝－－i的模，并比较它们的模的大小．解∵z1＝6＋8i，z2＝－－i，∴|z1|＝＝10，|z2|＝＝.∵10，∴|z1||z2|.1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bib≠0，b∈R不要只记形式，要注意b≠

0.2．复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数z＝a＋bia，b∈R、复平面内的点Za，b和平面向量之间的关系可用图表示．1．复数1＋i2的实部和虚部分别是　　A．1和iB．i和1C．1和－1D.0和0解析∵1＋i2＝1－1＝0，故选D.答案D2．当m1时，复数z＝3m－2＋m－1i在复平面上对应的点位于　　A．第一象限B．第二象限C．第三象限D.第四象限解析∵m1，∴3m－20，m－10，∴点3m－2，m－1在第四象限．答案D3．若x2－1＋x2＋3x＋2i是纯虚数，则实数x的值是　　A．－1B．1C．±1D.－1或－2解析∵x2－1＋x2＋3x＋2i是纯虚数，∴由x2－1＝0，得x＝±1，又由x2＋3x＋2≠0，得x≠－2且x≠－1，∴x＝

1.答案B4．已知虚数z＝x＋yi的模为1其中x，y均为实数，则的取值范围是　　A.B.∪C.D.解析∵|z|＝1，∴x2＋y2＝

1.设k＝，则k为过圆x2＋y2＝1上的点和点－20的直线斜率，作图如图所示，∴k≤＝.又∵z为虚数，∴y≠0，∴k≠

0.又由对称性可得k∈∪.答案B5．湖北高考i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.解析由复数的几何意义知，z1，z2的实部，虚部均互为相反数，故z2＝－2＋3i.答案－2＋3i6．如果m2－1＋m2－2mi0，则实数m的值为________．解析由于两个不全为实数的复数不能比较大小，可知m2－1＋m2－2mi应为实数，得解得m＝

2.答案27．已知复数z＝m2－3m＋m2－m－6i，当实数m为何值时，

①z是实数；

②z＝4＋6i；

③z对应的点在第三象限？解z＝m2－3m＋m2－m－6i.

①令m2－m－6＝0⇒m＝3或m＝－2，即m＝3或m＝－2时，z为实数．

②⇒m＝

4.即m＝4时z＝4＋6i.

③若z所对应的点在第三象限，则⇒0m

3.即0m3时z对应的点在第三象限．8．在复平面内画出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的向量，，，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．解根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为，－10，，则向量，，如图所示．|z1|＝＝1，|z2|＝|－1|＝1，|z3|＝＝

1.∴在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．。